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3.5. Propiedades de los tri´angulos 67
A
B C
Ic
Ib
Ia
I
Xa
Xc Xb
Ya
Yb
Yc
Za
Zb
Zc
Definici´on 3.35 Llamaremos excentros de un tri´angulo a los puntos de inter- secci´on de cada par de bisectrices exteriores con la bisectriz interior del tercer ´angulo. Los representaremos por Ia, Ib, Ic. La distancias de cada excentro a las prolongaciones de los lados se llaman exradios, ra, rb, rc. Las circunferencias determinadas por los excentros y los exradios se llaman circunferencias excritas al tri´angulo y son tangentes a un lado y a las prolongaciones de los otros dos. Las circunferencias excritas y la circunferencia inscrita se llaman circunferencias tritangentes al tri´angulo.
Es f´acil determinar los puntos donde los exc´ırculos tocan a los lados. Note- mos que BXb = BZb y por otro lado
BXb + BZb = BC + CXb + BA + AZb = BC + CY (^) b + BA + AY (^) b = a + b + c = 2s.
Por consiguiente BXb = s, luego CY (^) b = CXb = BXb − BC = s − a. Similarmente podemos calcular la distancia de cualquier v´ertice a cualquier punto de tangencia.
El teorema de Ceva Los tri´angulos tienen asociados varias ternas de rectas concurrentes. Ya nos hemos encontrado con las mediatrices y las bisectrices. El matem´atico italiano Giovanni Ceva (1647–1734) obtuvo un resultado general sobre este tipo de rectas, a ra´ız del cual se llaman cevianas de un tri´angulo a las rectas que pasan por un v´ertice y cortan a la prolongaci´on del lado opuesto en
68 Cap´ıtulo 3. La geometr´ıa eucl´ıdea
puntos distintos de los v´ertices, de modo que cuando hablamos de tres cevianas en un tri´angulo se sobrentiende que cada una pasa por uno de los v´ertices.
Para enunciar el teorema de Ceva conviene introducir un convenio: si A, B, C y D son cuatro puntos colineales, consideraremos que la raz´on
AB CD
es positiva si las relaciones <AB y <CD son iguales, mientras que ser´a negativa si las relaciones son mutuamente inversas. De este modo, dados tres puntos colineales A, B y C con A = B, existe un ´unico punto D colineal con ellos y para el que la proporci´on anterior tome un valor dado (en principio habr´ıa dos puntos posibles, uno en cada semirrecta de origen C, pero el ajuste del signo descarta a uno de ellos).
Teorema 3.36 (Ceva) En un tri´angulo arbitrario, tres cevianas AX, BY , CZ son concurrentes si y s´olo si
BX XC
CY
Y A
AZ
ZB
A
B C
P
X
Z Y
Demostraci´on: Supongamos en primer lugar que las cevianas se cortan en un punto P. Por definici´on de ceviana el punto X es distinto de B y C. As´ı mismo, el punto P no puede estar en la recta BC, o de lo contrario ser´ıa Y = C. Por lo dem´as X puede estar o no entre B y C. En cualquier caso los tri´angulos ABX̂ y ̂AXC tienen la misma altura, as´ı como P BX̂ y ̂P XC, luego
∣ ∣ ∣ ∣
BX
XC
(ABX)
(AXC)
(P BX)
(P XC)
±(ABX) ± (P BX)
±(AXC) ± (P XC)
(ABP )
(ACP )
(Notar que la elecci´on del signo es la misma en el numerador y el denominador, seg´un la posici´on de P respecto a A y X.) Del mismo modo obtenemos ∣ ∣ ∣ ∣
CY
Y A
(BCP )
(BAP )
AZ
ZB
(CAP )
(CBP )
Multiplicando las tres igualdades resulta
BX XC
CY
Y A
AZ
ZB
Estudiemos el signo. Si dos de los factores son positivos, por ejemplo los dos primeros, eso significa que X est´a entre B y C y que Y est´a entre A y C.
Entonces la semirrecta
AX est´a contenida en Aˆ, luego ha de cortar al segmento
70 Cap´ıtulo 3. La geometr´ıa eucl´ıdea
Por la misma raz´on (BCC′) = (ACC′), luego 2y + x = 2z + x (es claro que podemos sumar las ´areas). As´ı pues y = z, y del mismo modo se concluye que las seis ´areas son iguales. Esto a su vez implica que (GAB) = 2(GBA′), y como los dos tri´angulos comparten una altura, se ha de cumplir que AG = 2 GA′. En otros t´erminos: las medianas de un tri´angulo se cortan en raz´on 2 : 1.
El ortocentro Veamos que el teorema de Ceva es aplicable a las alturas de un tri´angulo no rect´angulo (notemos que las alturas de un tri´angulo rect´angulo se cortan trivialmente en el v´ertice correspondiente al ´angulo recto).
A
X B C
Y
Z
H
Para ello basta observar que
BX XC
c cos Bˆ b cos C ˆ
donde el signo del coseno ajusta correctamente el signo de la proporci´on (tener presente que a lo sumo uno de los ´angulos es obtuso). Las otras dos proporciones se calculan del mismo modo:
CY Y A
a cos Cˆ c cos A ˆ
AZ
ZB
b cos Aˆ a cos B ˆ
y es claro que su producto es 1.
Definici´on 3.38 La intersecci´on de las alturas de un tri´angulo se llama orto- centro (gr./lat. ‘centro de perpendiculares’), y lo representaremos por H. Si el tri´angulo no es rect´angulo, los pies de las alturas determinan un tri´angulo que recibe el nombre de tri´angulo ´ortico.
Es f´acil comprobar que las bisectrices de dos ´angulos adyacentes son perpen- diculares, de donde se sigue que todo tri´angulo es el tri´angulo ´ortico del tri´angulo formado por sus excentros. Veamos que se cumple el rec´ıproco. Consideremos un tri´angulo acut´angulo.
B C
A
D
E
F
H
Es claro que el circuncentro de un tri´angulo rect´angulo es el punto medio de su hipotenusa. Por lo tanto, los tri´angulos BEĤ y BHD̂ tienen el mismo ortocentro, luego los cuatro puntos B, F , E y D est´an sobre un mismo c´ırculo. Por lo tanto los ´angulos F BĤ y F DĤ son iguales (abarcan el mismo arco). El primero es claramente π − Aˆ, luego lo mismo vale para el segundo. Por el mismo argumento EDĤ = π − Aˆ. Vemos, pues, que la altura AD divide el ´angulo Dˆ del tri´angulo ´ortico en dos ´angulos iguales, o sea, es la bisectriz de Dˆ. Adem´as entonces el lado BC es la bisectriz de los ´angulos adyacentes de Dˆ. Como esto es v´alido por igual para todos los v´ertices, hemos probado lo siguiente:
3.5. Propiedades de los tri´angulos 71
El baricentro y los v´ertices de un tri´angulo acut´angulo coinciden res- pectivamente con el incentro y los excentros de su tri´angulo ´ortico.
La situaci´on es similar en el caso de tri´angulos obtus´angulos. De hecho, si en la figura anterior consideramos que ̂AHC es un tri´angulo obtus´angulo arbitrario, entonces ̂DEF sigue siendo el tri´angulo ´ortico y B es el ortocentro, de modo que en un tri´angulo obtus´angulo, el v´ertice correspondiente al ´angulo obtuso es el incentro del tri´angulo ´ortico y el baricentro junto con los otros dos v´ertices son los excentros. Dejamos las comprobaciones a cargo del lector.
Para terminar se˜nalamos que los tri´angulos ̂AF E, ̂BF D y CDÊ son todos semejantes a ̂ABC.
