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Documento que presenta el cálculo de la transformada de Laplace de diferentes señales, incluyendo una señal resultante del producto de una señal coseno por un escalón unitario. El documento también explica la importancia de la región de conjugada en el análisis de las transformadas de Laplace.
Tipo: Apuntes
1 / 74
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Universitat Oberta de Catalunya (UOC)
Caracterización de señales analógicas en el dominio transformado de
Laplace, caracterización de sistemas LIT analógicos mediante su
función de transferencia
Germán Cobo Rodríguez
(UOC) La Transformada de Laplace
Ejercicios de autoevaluación .............................................................................................. 72
Soluciones a los ejercicios de autoevaluación ..................................................................... 73
Bibliografía ........................................................................................................................ 74
(UOC) La Transformada de Laplace
Los principales objetivos de este módulo son los siguientes:
1. Conocer las ecuaciones de análisis y de síntesis de la Transformada de Laplace y entender
su significado.
2. Entender qué es la región de convergencia de la Transformada de Laplace y saber aplicarla
tanto en la transformada directa como en la transformada inversa.
3. Entender qué es el diagrama de polos y ceros de una transformada de Laplace, saber
interpretar su significado y saber representarlo gráficamente.
4. Conocer las transformadas de Laplace de las señales más típicas en la práctica. 5. Conocer las propiedades de la Transformada de Laplace y saber aplicarlas en combinación
con las transformadas conocidas de señales básicas para calcular las transformadas de
señales más complejas.
6. Conocer y saber aplicar estrategias que permiten resolver fácilmente problemas de cálculo
de la transformada inversa de Laplace de señales racionales.
7. Saber qué es la función de transferencia de un sistema LIT analógico y entender su
significado y su utilidad práctica.
8. Saber caracterizar sistemas LIT analógicos mediante su función de transferencia, así como
las asociaciones entre sistemas LIT analógicos.
9. Saber cómo solucionar ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes
mediante la Transformada de Laplace y saber cómo aplicar esta solución para obtener la
respuesta impulsional de sistemas LIT analógicos a partir de su relación entrada-salida.
10. Conocer y saber aplicar las herramientas que proporciona MATLAB a fin de simplificar los
cálculos requeridos en la caracterización de sistemas LIT analógicos mediante la
Transformada de Laplace.
(UOC) La Transformada de Laplace
En esta primera sección, se presentan e interpretan las ecuaciones que permiten calcular la
transformada de Laplace de una señal analógica y, en sentido opuesto, obtener la expresión
temporal de una señal analógica a partir de su transformada de Laplace (apartado 1.1).
A continuación, se introduce el concepto de «región de convergencia» de una transformada de
Laplace, de gran importancia a la hora de pasar del dominio temporal al dominio transformado
de Laplace, y viceversa (apartado 1.2). Y, finalmente, se introduce también el concepto de
«diagrama de polos y ceros» de una transformada de Laplace, que es de gran utilidad en
aplicaciones tanto de análisis como de diseño de sistemas LIT analógicos y que constituye la
única representación gráfica de señales que nos interesará hacer en el dominio transformado
de Laplace (apartado 1.3).
Sea 𝑥(𝑡) una señal analógica cualquiera. La transformada de Laplace de 𝒙(𝒕) es una señal que
denotaremos como 𝑋
. La notación comúnmente utilizada para expresar la relación entre
ambas señales es la siguiente:
ℒ
allí donde la letra ℒ simboliza la Transformada de Laplace.
La ecuación de análisis de la Transformada de Laplace es la operación que permite
calcular la transformada directa de Laplace , es decir, es la operación que permite
obtener 𝑿(𝒔) a partir de 𝒙(𝒕):
−𝑠𝑡
+∞
−∞
allí donde 𝑠 es la variable compleja (𝑠 ∈ ℂ) y donde 𝑋(𝑠) es una señal compleja de
variable compleja (𝑋
𝑖
𝑖
En primer lugar, es muy importante tener siempre presente que, al ser compleja, la variable 𝑠
puede ser descompuesta en otras dos variables, su parte real y su parte imaginaria:
(UOC) La Transformada de Laplace
La ecuación de síntesis de la Transformada de Laplace es la operación que permite
calcular la transformada inversa de Laplace , es decir, es la operación que permite
obtener 𝒙
a partir de 𝑿
− 1
𝑠𝑡
𝜎+𝑗∞
𝜎−𝑗∞
allí donde ℒ
− 1
denota la transformada inversa de Laplace.
Respecto de esta ecuación de síntesis de la Transformada de Laplace, únicamente interesa
saber interpretar su significado: permite expresar una señal analógica (𝑥(𝑡)) como el resultado
de una combinación lineal de exponenciales complejas (𝑒
𝑠𝑡
) ponderadas por los valores de la
transformada de Laplace de dicha señal (𝑋(𝑠)). Es fácil ver que, en su interpretación
algebraica, el significado de las ecuaciones ( 6 ) y ( 7 ) es exactamente el mismo, con la única
alteración de la base de señales utilizada en cada caso: señales delta en ( 6 ) y señales
exponencial compleja en ( 7 ).
Además, esta ecuación ( 7 ) también nos muestra que la Transformada de Laplace es una
operación reversible , es decir, que no se pierde información al pasar de 𝑥(𝑡) a 𝑋(𝑠), pues, si
se perdiese, no sería posible reconstruir 𝑥(𝑡) a partir de 𝑋(𝑠), que es justamente lo que se
hace en ( 7 ). Por tanto, esto nos permite concluir lo siguiente:
Una señal 𝑥(𝑡) y su transformada de Laplace 𝑋(𝑠) son representadas como dos señales
distintas, pero, en realidad, son una y la misma cosa. Podría decirse, incluso, que ambas
señales son la misma señal, en la medida en que ambas contienen exactamente la
misma información, solo que representada en dominios distintos.
Es en este sentido que calcular la transformada de una señal es lo mismo que aplicarle
un cambio de base a un vector: cambia la base de representación y, por tanto, los
coeficientes del vector, pero la información contenida en ellos es la misma (o sea, el
vector sigue siendo el mismo).
Se trata de algo parecido, si se quiere, a lo que sucede entre la relación entrada-salida
de un sistema LIT y su respuesta impulsional: en cierto modo, las dos son una y la misma
cosa, puesto que ambas contienen la misma información representada de un modo
diferente.
Dicho todo lo cual, nuestro interés por la ecuación ( 7 ) termina exactamente aquí. Nos
ahorraremos los detalles acerca de por qué sus límites de integración son los que son y no
otros, o de cuál es el origen del factor 1 2 𝜋𝑗
que multiplica la integral. Nos basta con saber
(UOC) La Transformada de Laplace
que se trata de una integral que permite calcular una suma a la largo de la variable 𝑠, que es lo
que se requiere para construir una combinación lineal de señales pertenecientes a la familia de
las exponenciales complejas de la forma 𝑒
𝑠𝑡
𝑠
1
𝑡
𝑠
2
𝑡
𝑠
3
𝑡
, etc.
Como veremos en los apartados y secciones siguientes, en la práctica nunca usaremos la
ecuación ( 7 ) para hacer ningún cálculo. En este sentido, nuestra estrategia consistirá en tomar
resultados conocidos de transformadas de Laplace de señales básicas (ver sección 2 de este
mismo módulo) y, mediante la aplicación de las propiedades de la Transformada de Laplace
(ver sección 3 de este mismo módulo), calcular las transformadas directas e inversas de
señales más complejas.
Se da la circunstancia de que no todas las señales analógicas tienen transformada de Laplace.
Esto es debido a que en la ecuación de análisis de la Transformada de Laplace se calcula una
integral definida entre 𝑡 → −∞ y 𝑡 → +∞ que no tiene por qué converger necesariamente.
Así, hay señales 𝑥
para las que dicha integral no converge. Estas señales no tienen
transformada de Laplace, es decir, no son expresables como el resultado de una combinación
lineal de exponenciales complejas de la forma 𝑒
𝑠𝑡
. Ciertamente, en este sentido la base
formada por las señales delta tiene un mayor poder expresivo que la formada por las señales
exponencial compleja.
Pero, si nos ocupamos de las señales que sí tienen transformada de Laplace, vemos que, en
realidad, la convergencia de la integral de la ecuación ( 2 ) no es «binaria». Es decir, que no se
trata de si la integral converge o no (o sea, de si la transforma de Laplace de la señal existe o
no), si no de para qué valores de 𝒔 converge la integral (o sea, de para qué valores de 𝒔 está
definida la transformada de Laplace de la señal ):
Sean una señal analógica 𝑥
y su transformada de Laplace 𝑋
. Se denomina región
de convergencia (𝑹𝑶𝑪, del inglés, Region of Convergence ) de la transformada de
Laplace de 𝑥(𝑡) a los valores de 𝒔 para los cuales 𝑿(𝒔) está definida ; es decir, al
conjunto de valores de 𝑠 para los que converge la integral de la ecuación de análisis de
la Transformada de Laplace aplicada a 𝑥(𝑡).
Por tanto, y en primer lugar, nunca es correcto afirmar que «la transformada de Laplace de
es 𝑋
», sino que «la transformada de Laplace de 𝑥
es 𝑋
con una 𝑅𝑂𝐶 𝑅»:
ℒ
allí donde 𝑅 es la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋(𝑠).
En segundo lugar, y muy importante, la convergencia de la ecuación de análisis de la
Transformada de Laplace depende siempre de 𝒙(𝒕) y de 𝕽𝖊(𝒔), pero nunca de ℑ𝔪(𝑠), puesto
(UOC) La Transformada de Laplace
En general, la 𝑹𝑶𝑪 se representa gráficamente sobre el plano complejo (el plano 𝒔 ). Así pues,
si 𝒙
es de longitud finita y absolutamente integrable, la 𝑹𝑶𝑪 de 𝑿
es todo el plano 𝒔:
Figura 1. Representación gráfica de la 𝑹𝑶𝑪 de 𝑿(𝒔) : 𝒙(𝒕) es de longitud finita y absolutamente integrable.
Sin embargo, si 𝑥
no es una señal de longitud finita, la definición de la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋
ya no
es tan sencilla. A continuación, se propone un pequeño ejercicio que ayudará a entender
mejor qué relación hay entre la 𝑅𝑂𝐶 y la naturaleza de 𝑥
Ejemplo 1
Se pide calcular la transformada de Laplace de las siguientes señales analógicas:
𝑥
1
( 𝑡
) = 𝑒
−𝑎𝑡
𝑢
( 𝑡
) ( 15 )
𝑥
2
(𝑡) = 𝑒
𝑎𝑡
𝑢(−𝑡) ( 16 )
𝑥
3
( 𝑡
) = 𝑒
−𝑎|𝑡|
( 17 )
allí donde 𝑎 es una constante real (𝑎 ∈ ℝ).
Solución
a) De entrada, vemos que 𝒙
𝟏
( 𝒕
) es una señal infinita orientada a la derecha. Calculamos su
transformada de Laplace aplicando directamente la ecuación de análisis con 𝑠 = 𝜎 + 𝑗Ω:
𝑋
1
( 𝑠
) = ∫ 𝑒
−𝑎𝑡
𝑢
( 𝑡
) ⏟
𝑥
1
(𝑡)
𝑒
−𝑠𝑡
𝑑𝑡
+∞
−∞
= ∫ 𝑒
−(𝑠+𝑎)𝑡
𝑑𝑡
+∞
0
=
− 1
𝑠 + 𝑎
[𝑒
−(𝑠+𝑎)𝑡
]
0
+∞
=
− 1
𝑠 + 𝑎
[𝑒
−
( 𝜎+𝑗Ω+𝑎
) 𝑡
]
0
+∞
=
− 1
𝑠 + 𝑎
[𝑒
−
( 𝜎+𝑎
) 𝑡
𝑒
−𝑗Ω𝑡
]
0
+∞
( 18 )
Se observa que el elemento crítico para la convergencia de la integral es 𝑒
−(𝜎+𝑎)∞
. Veámoslo:
−(𝜎+𝑎)∞
= 0 y la integral converge.
−(𝜎+𝑎)∞
→ +∞ y la integral diverge.
−
( 𝜎+𝑎
) 𝑡
= 1 , pero la integral no converge, puesto que la fase de
𝑒
−𝑗Ω∞
es de valor indeterminado.
(UOC) La Transformada de Laplace
Por tanto, si ℜ𝔢(𝑠) > −𝑎:
𝑋
1
( 𝑠
− 1
𝑠 + 𝑎
[𝑒
−(𝑠+𝑎)𝑡
]
0
+∞
=
− 1
𝑠 + 𝑎
( 0 − 𝑒
−(𝑠+𝑎) 0
) =
− 1
𝑠 + 𝑎
( 0 − 1
1
𝑠 + 𝑎
( 19 )
Por tanto, la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋
1
(𝑠) es ℜ𝔢(𝑠) > −𝑎 y podemos concluir que:
𝑒
−𝑎𝑡
𝑢
( 𝑡
)
ℒ
↔
1
𝑠 + 𝑎
, ℜ𝔢
( 𝑠
) > −𝑎
( 20 )
Así pues, tal y como se ilustra en la Figura 2 , vemos que la 𝑹𝑶𝑪 de 𝑿
𝟏
( 𝒔
) puede representarse
gráficamente en el plano complejo (el plano 𝒔 ): es la región del plano 𝒔 que queda a la derecha
de la recta 𝕽𝖊
( 𝒔
) = −𝒂.
Figura 2. Representación gráfica de la 𝑹𝑶𝑪 de 𝑿
𝟏
(𝒔) : 𝒙
𝟏
(𝒕) es una señal infinita orientada a la derecha.
b) Ahora, vemos que 𝒙
𝟐
(𝒕) es una señal infinita orientada a la izquierda. Análogamente,
calculamos su transformada de Laplace:
𝑋
2
(𝑠) = ∫ 𝑒
𝑎𝑡
𝑢(−𝑡) ⏟
𝑥 2
( 𝑡
)
𝑒
−𝑠𝑡
𝑑𝑡
+∞
−∞
= ∫ 𝑒
−(𝑠−𝑎)𝑡
𝑑𝑡
0
−∞
=
− 1
𝑠 − 𝑎
[𝑒
−(𝑠−𝑎)𝑡
]
−∞
0
=
− 1
𝑠 − 𝑎
[𝑒
−(𝜎+𝑗Ω−𝑎)𝑡
]
−∞
0
=
− 1
𝑠 − 𝑎
[𝑒
−(𝜎−𝑎)𝑡
𝑒
−𝑗Ω𝑡
]
−∞
0
( 21 )
Ahora, el término problemático es 𝑒
(𝜎−𝑎)∞
. Acerca de este término, se observa lo siguiente:
(𝜎−𝑎)∞
= 0 y la integral converge.
( 𝜎−𝑎
) ∞
→ +∞ y la integral diverge.
−
( 𝜎−𝑎
) 𝑡
= 1 , pero la integral no converge debido a 𝑒
𝑗Ω∞
.
Por tanto, si ℜ𝔢(𝑠) < 𝑎:
𝑋
2
( 𝑠
− 1
𝑠 − 𝑎
[𝑒
−(𝑠−𝑎)𝑡
]
−∞
0
=
− 1
𝑠 − 𝑎
(𝑒
−(𝑠−𝑎) 0
) =
− 1
𝑠 − 𝑎
( 22 )
Por tanto, la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋
2
(𝑠) es ℜ𝔢(𝑠) < 𝑎 y podemos concluir que:
𝑒
𝑎𝑡
𝑢(−𝑡)
ℒ
↔
− 1
𝑠 − 𝑎
, ℜ𝔢(𝑠) < 𝑎
( 23 )
(UOC) La Transformada de Laplace
Figura 4. Representación gráfica de la 𝑹𝑶𝑪 de 𝑿
𝟑
(𝒔) : 𝒙
𝟑
(𝒕) es una señal infinita orientada a ambos lados.
Los resultados obtenidos en este ejercicio ilustran bien las siguientes conclusiones generales
acerca de la relación entre la naturaleza de 𝑥(𝑡) y el tipo de 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋(𝑠):
Sea 𝑥(𝑡) una señal analógica; si existe, sea 𝑋(𝑠) la transformada de Laplace de 𝑥(𝑡); y
sean 𝑎 y 𝑏 dos constantes reales arbitrarias (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) tales que 𝑎 < 𝑏.
Solo puede darse uno de los siguientes casos:
ningún valor de 𝑠.
es finita y la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋
es todo el plano 𝒔:
ℒ
es infinita orientada a la derecha y la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋
es la región
del plano 𝒔 que queda a la derecha de una recta del tipo 𝕽𝖊(𝒔) = 𝒂:
ℒ
del plano 𝒔 que queda a la izquierda de una recta del tipo 𝕽𝖊
ℒ
es infinita orientada a ambos lados y la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋
es la región
del plano 𝒔 comprendida entre dos rectas del tipo 𝕽𝖊(𝒔) = 𝒂 y 𝕽𝖊(𝒔) = 𝒃:
ℒ
(UOC) La Transformada de Laplace
En general, no nos vamos a detener a comentar cómo representar gráficamente señales en el
dominio transformado de Laplace, pues es algo que no vamos a necesitar en ningún caso. Nos
basta con tener claro que 𝑋
es una señal compleja de variable compleja y que, por tanto, su
representación gráfica daría lugar a dos gráficas tridimensionales de dos señales reales
representadas sobre el plano complejo, el plano 𝑠:
, que es una señal real de variable
compleja:
𝑖
variable compleja: 𝔄𝔯𝔤(𝑋(𝑠)) ∈ ℝ, ∀𝑠
𝑖
Sin embargo, como ya hemos visto en el apartado anterior, la representación gráfica de la 𝑅𝑂𝐶
de 𝑋
tiene su interés. En este sentido, hay otro aspecto de la naturaleza de 𝑋
cuya
representación gráfica resulta ser de gran utilidad y que, además, está íntimamente
relacionado con la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋
: el «diagrama de polos y ceros» de 𝑋
Sea 𝑥(𝑡) una señal analógica y sea 𝑋(𝑠) su transformada de Laplace.
Un cero de 𝑋(𝑠) es todo valor de 𝒔 para el que la expresión de 𝑿(𝒔) es igual a 𝟎:
Ceros de 𝑋(𝑠) = {𝑐
𝑖
𝑖
𝑖
allí donde 𝑐
𝑖
es el cero 𝑖-ésimo de 𝑋
Un polo de 𝑋(𝑠) es todo valor de 𝒔 para el que la expresión de 𝑿(𝒔) tiende a infinito :
Polos de 𝑋
𝑖
𝑖
𝑖
allí donde 𝑝
𝑖
es el polo 𝑖-ésimo de 𝑋(𝑠).
El diagrama de polos y ceros de 𝑋(𝑠) es una representación gráfica sobre el plano 𝒔 de
los polos y los ceros de 𝑿(𝒔) en la cual:
𝑖
𝑗
, con 𝑖 ≠ 𝑗) se
simboliza mediante un superíndice añadido al círculo (○
2
3
𝑁
𝑖
𝑗
, con 𝑖 ≠ 𝑗) se
simboliza mediante un superíndice añadido a la cruz (×
2
3
𝑁
A fin de ilustrar más adecuadamente esta cuestión, tomemos, por ejemplo, la transformada de
Laplace obtenida en la ecuación ( 20 ) del Ejemplo 1 , para 𝑎 = 1 , calculemos sus ceros y sus
polos, y representemos gráficamente su diagrama de polos y ceros:
(UOC) La Transformada de Laplace
= ∫ cos
0
−𝑠𝑡
+∞
−∞
𝑗𝜔
0
𝑡
−𝑗𝜔
0
𝑡
−𝑠𝑡
+∞
0
(𝑗𝜔
0
−𝑠)𝑡
+∞
0
−(𝑗𝜔
0
+𝑠)𝑡
+∞
0
(𝑗𝜔
0
−𝑠)𝑡
0
+∞
0
−(𝑗𝜔
0
+𝑠)𝑡
0
+∞
0
−𝜎𝑡
−𝑗
( Ω−𝜔 0
) 𝑡
0
+∞
0
−𝜎𝑡
−𝑗
( 𝜔 0
+Ω
) 𝑡
0
+∞
0
si 𝜎> 0
0
0
0
0
0
0
2
0
2
2
0
2
Por tanto, la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋 2
es ℜ𝔢
> 0 y podemos concluir que:
cos(𝜔
0
ℒ
2
0
2
En este caso, vemos que 𝑋(𝑠) presenta un cero en 𝑠 = 0 :
2
0
2
1
También, y de forma similar al caso anterior, hay otro cero ubicado en el infinito. Se observa
que, para 𝑠 → ∞, tienden a infinito tanto el numerador como el denominador. Sin embargo,
sucede lo siguiente:
en
en 𝑠 → ∞ (pues tanto el factor 𝑠 − 𝑗𝜔
0
como el factor 𝑠 + 𝑗𝜔
0
tienden a infinito para
De este modo, el polo provocado por el numerador en 𝑠 → ∞ se anula con uno de los dos
ceros provocados por el denominador también en 𝑠 → ∞. Y así, como conclusión, queda un
único cero de 𝑋(𝑠) en 𝑠 → ∞:
2
0
2
2
Y, respecto de los polos, vemos que 𝑋
presenta dos polos ubicados en 𝑠 = 𝑗𝜔
0
y 𝑠 = −𝑗𝜔
0
(que son los valores de 𝑠 para los que se anula el denominador), los cuales, de nuevo, están
justamente situados sobre la recta frontera que delimita la 𝑹𝑶𝑪:
0
0
2
0
2
1
0
0
0
2
0
2
2
0
(UOC) La Transformada de Laplace
Por tanto, el diagrama de polos y ceros de 𝑋(𝑠) es el siguiente (para la representación, se
asume arbitrariamente que 𝜔 0
Figura 6. Diagrama de polos y ceros con un cero en 𝒔 = 𝟎 (y con otro en 𝒔 → ∞ ) y dos polos en 𝒔 = 𝒋𝝅 y 𝒔 = −𝒋𝝅.
Así las cosas, es importante tener siempre muy presente que la 𝑅𝑂𝐶 de una transformada de
Laplace y los ceros y los polos de la misma son dos cosas íntimamente relacionadas entre sí. Es
debido a esto que, por lo general, lo verdaderamente interesante es la representación gráfica
conjunta del diagrama de polos y ceros y la 𝑹𝑶𝑪. De esta manera, toda la información
relevante acerca de las condiciones de existencia de la transformada y de los valores singulares
de la expresión de la misma queda representada de forma compacta y en su totalidad en una
única gráfica.
En este sentido, en la Figura 7 y la Figura 8 se muestran las 𝑅𝑂𝐶 de las transformadas de
Laplace que acabamos de calcular en ( 33 ) y ( 37 ) junto con sus ceros y sus polos,
respectivamente.
Figura 7. 𝑹𝑶𝑪 de la transformada de Laplace de una señal infinita orientada a la derecha con un polo en 𝒔 = −𝟏
(y un cero en 𝒔 → ∞ ).
