LABORATORIO 1 TANQUES, Ejercicios de Cálculo diferencial y integral

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LABORATORIO 1

INTRODUCCIÓN

El laboratorio propuesto trata de encontrar el área superficial de un líquido que se encuentra en un tanque

esférico, gracias a lo visto en clase podemos realizar los cálculos que nos llevaron a las correctas soluciones

de estas distintas incógnitas, por medio de límites, factorización, despeje de ecuaciones, reemplazo de

incógnitas y graficas de las funciones encontradas.

Gracias a este laboratorio nos introducimos al concepto de las derivadas, además, podemos comprender y

apreciar más el trabajo de los ingenieros de distintas ramas en donde aplican todos los conceptos y

conocimientos adquiridos en sus carreras profesionales para poder dar solución a las problemáticas

planteadas.

OBJETIVO: En un contexto real y a través de una figura geométrica, plantear

funciones e inducir al concepto de la variación.

Tanques esféricos

1. Enunciado

Los depósitos esféricos se utilizan en muchas industrias para almacenar productos gaseosos y

líquidos tales como amoníaco anhidro, GLP, LGN, gasolina, nafta, butadieno, etileno,

hidrógeno, oxígeno, nitrógeno, argón, biogás, gas de aguas residuales y aguas residuales.

Una forma esférica ofrece una distribución uniforme de la tensión bajo carga interna, lo que

resulta en un almacenamiento presurizado altamente eficiente. Con respecto otras opciones del

almacenamiento presurizado sus costos son más bajos debido a que utiliza menor espacio e tierra y

también sus fundaciones, revestimientos, accesorios y tuberías son más económicos.

b) En particular para uno de los tanques de diámetro de 4 𝑚:

i) Halle el dominio de la función e indique qué representa en la situación descrita.

ii) Establezca el rango de la función y describa qué representa en el contexto del

problema.

iii) Determine si el siguiente enunciado es verdadero falso, justifique.

“A medida que el nivel del líquido aumenta dentro de la esfera, el área de la superficie

libre del líquido también aumenta”

iv) Utilice un dispositivo graficador para representar la función A(h).

v) Determine a partir de la gráfica, el nivel que debe alcanzar el líquido para que el

área de la superficie libre del líquido sea máxima. Explique cómo encontró este valor.

2. Variación

Para el tanque de 4 m de diámetro se requiere establecer la razón de cambio del área superficial con

respecto a la altura cuando h=1.9 m.

a) Complete las siguientes tablas

Intervalo

h 1 ≤ h ≤ h 2

h ∆ =h 2

− h 1

2

1

∆ A

∆ h

Ecuación recta secante

que pasa por puntos

)) y

0.3 -0.1 -0.3 y = -1/3x+13.

0.2 0 0 y = 12.

0,1 0,03 0,3 y = 0.3x-

0,05 0,02 0,4 y = 0.4x-3.

0,025 0,01 0,4 y = 0.4x-3.

0,0125 0,01 0,8 y = 0.8x-8.

Intervalo

h 1 ≤

h ≤ h 2

h ∆ =h 2

− h 1

∆ A

∆ h

Ecuación recta secante

que pasa por puntos

1

1

1 )) y

2

2

2

0.2 0.25132 1.2566 Y=1.25663x+10.

0.1 0.09424 0.9424 Y=0.3π+3.42π

0.05 0.03926 0.7852 Y=0.78539x+11.

0.025 0.01767 0.7068 Y= 0.70685x+11.

0.0125 0.00834 0.6672 Y=0.66758x+11.

c) ¿Qué cree usted que pasará con la recta secante si cada vez h 1 se acerca más a h 2

d) Haga una conjetura acerca de cómo hallar la pendiente de la recta tangente, en

cualquier punto de coordenadas h  a , y  A ( h ) , utilizando límites.

e) Halle la ecuación de la recta tangente en h 1_._ 9.

CONCLUSIÓN

A manera de conclusión de la primera parte, se llegó a entender que a medida que el líquido del tanque

esférico aumenta, el área de la superficie de este aumenta solamente hasta la mitad, ya que después de sobre

pasar dicho límite de la esfera empieza a disminuir de nuevo el área superficial. Con respecto al segundo

segmento del presente laboratorio, como grupo hemos llegado a comprender los comportamientos de las

rectas secantes entre los intervalos dados, se observó que al hacerse más pequeña la diferencia entre los

puntos la recta secante se asemejaba cada vez más a una recta tangente, lo que nos hace pensar que, si la

diferencia en h llegase a tender a 0, entonces tendríamos una recta tangente en un solo punto a diferencia de

una recta secante.