¡Descarga Tangentes verticales y horizontales de la curva y más Ejercicios en PDF de Cálculo diferencial y integral solo en Docsity!
29. ¿En qué puntos la curva x= 2 a cos t−a cos 2 t y= 2 a sen t−a sen 2 t tiene rectas tangentes verticales u horizontales? Use esta información para ayudarse a trazar la curva. Solución: Hallar la derivada de. Derivar x: x= 2 a cos t−a cos 2 t x , = d x dt ( 2 a cos (t)−a cos ( 2 t )) x , = d x dt ( 2 a cos (t))+ d x dt (−a cos ( 2 t )) x , = 2 a d x dt (cos (t))−a d x dt (cos ( 2 t)) x , = 2 a(−sen(t ))−a d x dt ( cos( 2 t) d x dt ( 2 t)) x , = 2 a(−sen(t ))−a(−sen( 2 t) d x dt ( 2 t )) x , = 2 a(−sen(t ))−a(−sen( 2 t)( 2 )) x , =− 2 a sen (t)+ 2 a sen ( 2 t) Derivar y: y= 2 a sen t−a sen 2 t y , = d y dt ( 2 a sen (t)−a sen ( 2 t)) y , = d y dt ( 2 a sen (t))+ d y dt (−a sen( 2 t)) y , = 2 a d y dt (sen (t))−a d y dt ( sen ( 2 t )) y , = 2 a cos(t)−a d y dt ( sen ( 2 t ) d y dt ( 2 t))
y , = 2 a cos(t)−acos ( 2 t) d y dt ( 2 t ) y , = 2 a cos(t)−acos ( 2 t)( 2 ) y , = 2 a cos(t)− 2 a cos ( 2 t ) ⅆ y ⅆ x
ⅆ y ⅆ t ⅆ x dt
2 a cos (t )− 2 a cos( 2 t) − 2 a sen(t )+ 2 a sen( 2 t) ⅆ y ⅆ x
2 a( cos(t )−cos ( 2 t )) 2 a(−sen(t)+ sen ( 2 t)) ⅆ y ⅆ x
cos (t)−cos( 2 t ) −sen(t)+sen( 2 t) Las tangentes horizontales ocurren cuando el numerador es igualado a
0 =cos (t)−cos ( 2 t)
0 =cos t−(^2 cos
2
t− 1 )
0 =cos t− 2 cos 2 t+ 1 0 = 2 cos 2 t−cos t− 1 (Se multiplica por -1) 0 =( 2 cos t + 1 )(cos t− 1 ) cos t= 1 :t= 2 nπ (n es un entero) cos t=
:t= 2 π 3
- 2 nπ , 4 π 3
- 2 nπ Las tangentes verticales ocurren cuando el denominador es igualado a
0 =−sen(t )+ sen( 2 t) 0 =−sen(t )+ 2 sen(t) cos (t) 0 =sen (t)(− 1 + 2 cos (t)) sen t= 0 :t =nπ (n es un entero)
La tangente en t= 2 nπes horizontal. Las tangentes verticales están en t=π + 2 nπ
