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Lagrange Interpolation, Diapositivas de Métodos Matemáticos para Análisis Numérico y Optimización
Numerical Methods
Tipo: Diapositivas
2015/2016
1 / 14
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ì
Ing. Raquel Landa ([email protected])
Numerical Methods
Curve fi:ng – Lagrange Interpola>on
Lagrangian Interpolation
Lagrangian interpolating polynomial is given by
∑
=
n
i
n i i
f x L x f x
0
where ‘ n ’ in f ( x )
n
stands for the
th
n order polynomial that approximates the function y = f ( x )
given at ( n + 1 ) data points as
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
x , y , x , y ,......, x , y , x , y
0 0 1 1 − 1 − 1
, and
∏
≠
=
n
j i
j i j
j
i
x x
x x
L x
0
L ( x )
i
is a weighting function that includes a product of ( n − 1 ) terms with terms of j = i
omitted.
Linear Interpolation
10 12 14 16 18 20 22 24
350
400
450
500
550
y
s
f ( range)
f x
desired
x
s
1
x + 10
s
0
− 10 x
s
, rangex
desired
,
1
0
i i
i
v t L t v t
=
= L t v t + L t v t
t = ν t =
t = ν t =
Linear Interpolation (contd)
≠
=
−
−
=
1
0
0 0
0
( )
j
j j
j
t t
t t
L t
0 1
1
t t
t t
−
−
=
≠
=
−
−
=
1
1
0 1
1
( )
j
j j
j
t t
t t
L t
1 0
0
t t
t t
−
−
=
( ) ( ) ( )
1
1 0
0
0
0 1
1
v t
t t
t t
v t
t t
t t
v t
−
−
−
−
= ( 517. 35 )
20 15
15
( 362. 78 )
15 20
20
−
−
−
−
=
t t
( 517. 35 )
20 15
16 15
( 362. 78 )
15 20
16 20
( 16 )
−
−
−
−
v =
= 0. 8 ( 362. 78 )+ 0. 2 ( 517. 35 )
m/s.
Example
The upward velocity of a rocket is given as a function of
time in Table 1. Find the velocity at t=16 seconds using
the Lagrangian method for quadratic interpolation.
Table Velocity as a
func>on of >me
Figure. Velocity vs. >me data
for the rocket example
(s) (m/s)
0 0
10 227.
15 362.
20 517.
22.5 602.
30 901.
t v ( t )
10 ,
0
t = ( ) 227. 04
0
v t =
15 ,
1
t = ( ) 362. 78
1
v t =
20 ,
2
t = ( ) 517. 35
2
v t =
∏
−
−
=
( )
j
j
j
j
t t
t t
L t
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
t t
t t
t t
t t
∏
−
−
=
( )
j
j j
j
t t
t t
L t
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
t t
t t
t t
t t
∏
−
−
=
( )
j
j
j
j
t t
t t
L t
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
t t
t t
t t
t t
Quadratic Interpolation
Cubic Interpolation Example
The upward velocity of a rocket is given as a function of
time in Table 1. Find the velocity at t=16 seconds using
the Lagrangian method for cubic interpolation.
Table Velocity as a
func>on of >me
Figure. Velocity vs. >me data
for the rocket example
(s) (m/s)
0 0
10 227.
15 362.
20 517.
22.5 602.
30 901.
t
v ( t )
Cubic Interpolation (contd)
o o
t vt 15 , ( ) 362. 78
1 1
t = vt =
2 2
t = vt = 22. 5 , ( ) 602. 97
3 3
t = vt =
≠
=
3
0
0 0
0
j
j j
j
t t
t t
L t
0 3
3
0 2
2
0 1
1
t t
t t
t t
t t
t t
t t
≠
=
3
1
0 1
1
j
j j
j
t t
t t
L t
1 3
3
1 2
2
1 0
0
t t
t t
t t
t t
t t
t t
≠
=
3
2
0 2
2
j
j j
j
t t
t t
L t
2 3
3
2 1
1
2 0
0
t t
t t
t t
t t
t t
t t
≠
=
3
3
0 3
3
j
j j
j
t t
t t
L t
3 2
2
3 1
1
3 0
0
t t
t t
t t
t t
t t
t t
Comparison Table
Order of Polynomial 1 2 3
v(t=16) m/s 393.69 392.19 392.
Absolute Rela>ve
Approximate Error
Exercise
Get the interpola>on polynomial using Lagrange’s
Method for these data points:
x 1 -‐4 -‐
y 10 10 34