Interpolaci´on y aproximaci´on polinomial
Interpolaci´on de Lagrange
UNAH
Universidad Nacional Aut´onoma de Honduras
Escuela de Matem´atica y Ciencias de la Computaci´on
Departamento de Matem´atica Aplicada
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interpolacion de lagrange unah, Ejercicios de Métodos Matemáticos para Análisis Numérico y Optimización
se explica el tema de interpolacion de lagrange
Tipo: Ejercicios
2020/2021
1 / 15
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Interpolaci´on y aproximaci´on polinomial
Interpolaci´on de Lagrange
UNAH
Universidad Nacional Aut´onoma de Honduras Escuela de Matem´atica y Ciencias de la Computaci´on Departamento de Matem´atica Aplicada
Contenido
Introducci´on Introducci´on Interpolaci´on de Lagrange
Ejemplos Ejemplo 1 Ejemplo 2
Introducci´on
Al tener datos de un experimento o la recolecci´on de datos sobre un tema de inter´es resumidos en una tabla, pero se tiene la necesidad de estimar un dato que no se encuentra en la misma, se recurre a aproximar mediante funciones. Este proceso recibe el nombre de interpolaci´on
Figura: Censo Honduras 1791 - 1935.
Figura: Interpretaci´on geom´etrica de la interpolaci´on.
Teorema
Si x 0 , x 1 , x 2 , · · · , xn son n + 1 n´umeros distintos y si f es una funci´on cuyos valores est´an dados en esos n´umeros, entonces existe un ´unico polinomio P(x) de grado a lo m´as n, con la propieda de que f (xk ) = P(xk ) para cada k = 0, 1 , · · · , n
Este polinomio est´a dado por
P(x) =
∑^ n k=
f (xk )Ln,k (x)
donde para cada k = 0, 1 , · · · , n
Ln,k =
∏^ n
i^ i 6 ==0k
(x − xi ) (xk − xi )
Error
Teorema
Supongamos que x 0 , x 1 , · · · , xn son n´umeros distintos en el intervalo [a, b] y que f ∈ C n+1[a, b]. Entonces, para cada x en [a, b] existe un n´umero ξ(x) en (a, b) con
f (x) = P(x) + f (n+1)(ξ(x)) (n + 1)! (x − x 0 )(x − x 1 ) · · · (x − xn)
donde P(x) es el polinomio interpolante de Lagrange. La f´ormula del error es un resultado te´orico muy importante, porque los polinomios de Lagrange son fundamentales para deducir f´ormulas de derivaci´on num´erica e integraci´on num´erica. Adem´as nos permi- te determinar cotas de error de los polinomios as´ı como de ´estos m´etodos de derivaci´on e integraci´on num´erica.
Ejemplo 1
Considere la funci´on f (x) = x^3 ln x con los nodos x 0 = 0. 1 , x 1 =
7 , x 2 = 1.2. Determine:
el polinomio interpolador de Lagrange, P 2 (x), en forma can´onica.
una cota superior para el error en el intervalo [0. 1 , 1 .2]
Primero determinamos cada uno de los Li (x) para i = 0, 1 , 2
L 0 (x) = (x − 0 .7)(x − 1 .2) (0. 1 − 0 .7)(0. 1 − 1 .2) =
33 x
33 x^ +
≈ 1. 5152 x^2 − 2. 8788 x + 1. 2727
L 1 (x) =
(x − 0 .1)(x − 1 .2) (0. 7 − 0 .1)(0. 7 − 1 .2) =^ −^
3 x
2 +^13
3 x^ −^
≈ − 3. 3333 x^2 + 4. 3333 x − 0. 4000 L 2 (x) = (x − 0 .1)(x − 0 .7) (1. 2 − 0 .1)(1. 2 − 0 .7)
x^2 −
x +
≈ 1. 8182 x^2 − 1. 4545 x + 0. 1273
As´ı que,
P 2 (x) = − 0. 0023 L 0 (x) − 0. 1223 L 1 (x) + 0. 3151 L 2 (x) = 0. 9771 x^2 − 0. 9817 x + 0. 0861
Ejemplo 2
Sea P 3 (x) el polinomio interpolante de Lagrange de los datos
x 8 8.5 9 9. g (x) 16.63553 18.19056 19.77502 α
Determine el valor de α si el coeficiente de x en P 3 (x) es 1.66546.
Primero determinamos cada uno de los Li (x) para i = 0, 1 , 2 , 3
L 0 (x) = (x − 8 .5)(x − 9)(x − 9 .5) (8 − 8 .5)(8 − 9)(8 − 9 .5)
x^3 + 36x^2 −
x + 969
L 1 (x) = (x − 8)(x − 9)(x − 9 .5) (8. 5 − 8)(8. 5 − 9)(8. 5 − 9 .5) = 4x^3 − 106 x^2 +934x − 2736
L 2 (x) =
(x − 8)(x − 8 .5)(x − 9 .5) (9 − 8)(9 − 8 .5)(9 − 9 .5) =^ −^4 x
(^3) + 104x (^2) − 899 x + 2584
L 3 (x) = (x − 8)(x − 8 .5)(x − 9) (9. 5 − 8)(9. 5 − 8 .5)(9. 5 − 9)
x^3 − 34 x^2 +
x − 816
As´ı que,
P 3 (x) = 16. 63553 L 0 (x) + 18. 19056 L 1 (x) + 19. 77502 L 2 (x) + αL 3 (x)