Estadística: Teoría de las Variables Aleatorias, Apuntes de Estadística

¡Descarga Estadística: Teoría de las Variables Aleatorias y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!

ESTADÍSTICA

Ó

TEÓRICA

VARIABLES ALEATORIAS

TEMA II

V

ariables aleatorias discretas y continuas

y

Función de distribución.

Esperanza y Varianza

Tipificación de una variable.

Distribución Conjunta de Probabilidad

Distribución Conjunta de Probabilidad

Distribuciones Marginales

Distribuciones Condicionadas

Independencia

Esperanzas de funciones de una v a

Esperanzas de funciones de una v.a.

Función de distribución o de probabilidad acumulada

p

Sea X una variable aleatoria discreta, representaremos a la fución dedistribución F(x

) como la probabilidad de que X tome un valor menor 0

i^

l^

d^

i

o igual que x

, es decir 0

 



^

(^

0

0

x x

x P x X P x F

Propiedades:

^ x^0 x

)^

x

x F

i^

Valor esperado

Si)

1

0

1

0

x F x F x x

ii^

x

x F

i^

^

Valor

esperado

El valor esperado o la esperanza de una variable aleatoria X discretase define como:

n

Di h

l^

di

) (

) (

1

i

n i

i^

x P x

X E^



Di

cho valor se conoce como su media y se representa por

X

V

arianza La varianza se representa por

y se obtiene

^

^

(^

2

2

2

n

x P x X E X

Var

 

2 X

Propiedades

^

^

1

i

X

i

i

X

X^

x P x X E X

Var

^ 

La varianza de una variable discreta X puede expresarse como:

2

2

2

2

2

) (

) (

) (^

X

n

i

i

X

X^

x P x X E X

Var





^











Sea X una variable aleatoria con media

y varianza

y sean a y b

dos constantes Definimos la variable aleatoria

Entonces la

1

X

i X

X^

 ^ X

2 X  bX

Z^

dos

constantes. Definimos la variable aleatoria

.Entonces la

media y la varianza de Z son:

bX a Z^

(^

X

bE a

bX a E

Z

E

Z^

(^

2

2

X

Var b

bX a

Var

Z

Var

Z^

Por tanto la desviación típica de Z es

X

Z^

b





Propiedades:

Propiedades:

Si )^

1

0

1

0

x F x F x x

ii^

F

i

b

ti

F

x f

dx

x dF iv

)^

Sea X una variable aleatoria continua entonces:

)^

a F b F

dx x f b X a P

iii

a

^

^

continua es x F v^

Sea

X una variable aleatoria continua, entonces: (i) la media de X, representada por

se define

 

dx x xf

X

E

X

(ii) la varianza de X, representada por

se define 2 X

  

^

dx x xf

X

E

X^

p^

p^

X

^

^

  

^

dx x f x X E X

Var

X

X

X^

(^

2

2

2







Otra expresión de la varianza es



2

2

2

2

2

(^

X

X

X^

dx x f x X E X

Var

 

^

(^

X

X

X^

dx x f x X E X

Var

 

Sea X una variable aleatoria con media

y varianza

y sean a y b

X 

2 X 

y^

y^

y

dos constantes. Definimos la variable aleatoria

.Entonces la

media y la varianza de Z son:

X 

bX a Z^

^

X ) ( ) ( ) (

2

2

X

Var b

bX a

Var

Z

Var

X

bE a

bX a E

Z

E

Z Z

Por tanto la desviación típica de Z es

X

Z^

b





Un caso particular es tipificar la variable y definir

X

X

X Z

que es una variable aleatoria que tiene de media 0 y varianza 1.

DISTRIBUCIÓN CONJUNTA DE V.A. DISCRETA

S

UC ÓN CONJUN

V.

.^

SC

Variable aleatoria discreta. Función de probabilidad conjuntadonde debe de verificar

) , (^

y x P 1 ) , ( 0





y x P



 ^





1 ) , (^

j i^

y x P

Función de distribución bidimensional:



 ^

 1

1

) , (

i^

j

j i^

y

 











j i^

y x P y Y x X P y x F

) , ( ) , ( ) ,

(^

^

 x x^

y y i^

i

DISTRIBUCIONES MARGINALES Y CONDICIONADAS

S

UC ON

S

G N

S

CON

C ON

S

Distribuciones marginales



 





j^

j

j i

i i

i

ij^

y x P x P x P P P

) , ( ) ( )

(^

.

1

1



 





i^

i

j i

j j

j

ij j^

j

y x P y P y P P P

) , ( ) ( )

(^

.

2

2

Distribuciones condicionadas

0 ) (

) (

)

,

(

) | (^

.

.









j j

j j

j

i

j

i^

y

P

y P

y Y x X P y x P

j j

ESPERANZAS

S

N

S

Variable aleatoria discreta. Llamamos valor esperado o esperanza de la función g(X,Y), para lavariable (X,Y), con distribución de probabilidad

^



) , (^

j i^

y x P

^

^

 

j i

j i

j i^

y x P y x g Y X g E

,

) , ( ) , ( ) , (

La esperanza de un suma se define como:









j i

j

i^

y x P y x Y X E

) , ( ) ( ) (

La esperanza de un producto se define como:



j i

j i

j

i^

y

y

,

) , ( ) ( ) (

) , (

)

(^

j i

j i^

y x P y x

XY E

 

,^ ji

Propiedades

p

) (

) (

)

(^

Y E X E Y X E







si X e Y son independientes ) ( ) (

)

(^

Y E X E

XY E



Varianza de sumas y diferencias Si

X

e

Y

son

independientes

deduciremos

posteriormente

que

Si

X

e

Y

son

independientes

deduciremos

, posteriormente, que:

)

var( )

var( )

var(

Y

X

Y

X







)

var( )

var( )

var(

Y

X

Y

X







V

arianza de sumas y diferencias

y

Si

se verifica que

Y

X

Z





Si

se

verifica

que

) ,

cov( 2 )

var( )

var( )

var(

Y X

Y

X

Z

   Y X Z



Si

se

verifica

que

Y

X

Z





) ,

cov( 2 )

var( )

var( )

var(

Y X

Y

X

Z







por tanto si

X

e

Y

son independientes

)

var( )

var( )

var(

Y

X

Y

X







)

var( )

var( )

var(

Y

X

Y

X





