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PROBLEMAS DE VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES
1.- Una máquina de bebidas en base a jugos de frutas se llena al principio de un día dado con una cantidad aleatoria y se despacha durante el día una cantidad aleatoria ( medida en galones ). No se le vuelve a proveer durante el día y entonces Se ha observado que X^ 1 y tienen una función de densidad conjunta: K = 0 en t. o. l. Usando esta información encuentre: a) La función marginal de. = 1 K= = 0 en t. o. l. b) Calcule la probabilidad de que se venda menos de 0,5 galón, dado que la máquina contiene 1 galón al inicio del día. 0 en t. o. l.
2.- En cierto proceso para elaborar una sustancia química farmacéutica , el producto resultante contiene dos tipos de impurezas. En una muestra específica de este proceso, denota la proporción de impurezas en la muestra y la proporción de la impureza de tipo I entre todas las impurezas encontradas. Suponga que la función de densidad de probabilidad conjunta de y está dada por: 2(1- ) = 0 en t. o. l. a) Calcule la esperanza de la proporción de impurezas en la muestra, dado que la proporción de impurezas de tipo I es igual a 0,3. 0,3) = = 0, b) Calcule la covarianza de y y comente el resultado. c) Son independientes las variables en estudio. Son variables independientes
4.- Una fábrica de refrigeradores somete sus productos terminados a un inspección final. Hay dos tipos de defectos: raspadura o grietas en el acabado de porcelana y defectos mecánicos. El número de cada tipo de defecto es una variable aleatoria. El resultado de la inspección de 50 refrigeradores se muestra en la siguiente tabla, donde X representa ocurrencia de defectos de terminados e Y representa ocurrencias de defectos mecánicos. 0 1 2 3 4 5 0 0,220 0,080 0,040 0,020 0,020 0, 1 0,160 0,060 0,040 0,020 0,020 0, 2 0,080 0,060 0,040 0,020 0,000 0, 3 0,060 0,020 0,000 0,000 0,000 0, 4 0,020 0,000 0,000 0,000 0,000 0, Y X a) Determine las siguientes probabilidades e interprete los resultados: P( X=3 ; Y=1) = P( X>2 ; Y 1) = b) Encuentre la distribución marginal de .Y y calcule su esperanza c) Determine la distribución de probabilidad de defectos mecánicos, dado que no hay defectos de terminados. d) ¿ Son X e Y independientes? respalde su respuesta. 5.- Una máquina fabrica ejes de diámetro x y otra máquina fabrica cojinetes de diámetro interior y supongamos que la función de densidad conjunta de x e y, está dada por: K 0 en t. o. l. a) Determine el valor de K para que la función quede definida. b) Un cojinete se adapta satisfactoriamente a un eje, si su diámetro excede al del eje en al menos 0,004, pero no es más de 0,036. ¿Cuál es la probabilidad de que un eje y un cojinete elegidos al azar ajusten bien? c) Determine la esperanza de x y de y e interprete los resultados. d) Obtenga la función de densidad condicional de x dado y. 6.- Suponga que X y Y tienen la siguiente función de densidad de probabilidad:
K(x+y) 0 en t.o.l. a) Calcular el valor de K para que la función de densidad de probabilidad conjunta quede definida. b) Determine la función de distribución acumulativa de probabilidad c) A partir de F(x,y) determine d) Calcule la probabilidad de e) Obtenga la función condicional:. 7.- Un sistema electrónico tiene dos tipos diferentes de componente en operación conjunta. Si X y Y representan las duraciones aleatorias de los componentes 1 y 2, respectivamente, la función de densidad conjunta está determinada por la expresión: x > 0 f(x,y) = y > 0 0 en t. o. l. a) Calcule la P( X >1, Y>1). b) Determine las distribuciones marginales de X y Y. c) Analice, si las variables aleatorias X y Y son independientes. 8.- En seguida se muestra la función de probabilidad conjunta relacionada con los datos obtenidos en un estudio sobre los accidente de automóvil en los que viajaba un niño ( de menos de 5 años de edad ), de los cuales por lo menos uno resultó fatal. El estudio se concentró en determinar si el niño sobrevivió y en el tipo de cinturón de seguridad que llevaba puesto, si acaso lo utilizaban. Defina: 0 si el niño sobrevive = 1 si el niño no sobrevive 0 si no tenía puesto el cinturón de seguridad = 1 si utiliza cinturón de seguridad un adulto 2 si utiliza el cinturón de seguridad en el asiento del bebé Observe que representa la cantidad de muertes de niños y, como los asientos para bebé por lo común tienen dos cinturones, representa el número de cinturones de seguridad utilizados en el momento del accidente.
para f(x,y) = 0 en t. o. l. a) Calcule el periodo esperado de utilización de las instalaciones correspondiente a los que llegan en automóvil. b) Calcule la probabilidad de que las instalaciones para quienes llegan en automóvil se utilicen menos de la mitad del tiempo. c) Calcule y d) ¿ Son independientes X y Y ?, fundamente su respuesta. 11.- .- Sean X e Y dos variables aleatorias que tienen la siguiente función de densidad conjunta: x + y 0 en t. o. l. a) Determine la función de densidad marginal de x e y. b) Calcule P ( x < 0,5 ; y > 0,3 ) = c) Calcule la función densidad condicional de X dado Y. d) Calcule E ( X/Y ) =
