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MULTICOLINEALIDAD
La multicolinealidad no está relacionado con las hipótesis del modelo, es un problema de la muestra. “La multicolinealidad está asociada a la naturaleza de la información que tenemos a nuestro alcance. Las variables económicas están, en general, interrelacionadas entre sí ( "todo depende de todo"). En este contexto, hablamos de multicolinealidad cuando obtenemos resultados "ambiguos" de nuestro análisis debido a la correlación entre variables explicativas”.
Consecuencias de la multicolinealidad:
- Coeficentes estimados no significativos, a pesar de que la F de la regresión conjunta ó el R^2 nos indican un buen ajuste del modelo.
- Las estimaciones pueden ser sensibles a la adición ó eliminación de unas pocas observaciones, ó a la eliminación del modelo de una variable, que aparentemente no es significativa.
- Estimaciones “inestables” de los parámetros (inflación de varianzas muestrales e intervalos de confianza sobre los parámetros poco informativos). Difícil identificar el efecto de las variables explicativas sobre la variable dependiente.
Ejemplo1: Malinvoud, importación de bienes y servicios en Francia y 1 durante el período 1949-1966, es función del producto interior bruto z 1 , la inversión bruta en capital real z 2 , consumo nacional z 3 y una variable ficticia z 4. Consideremos dos modelos alternativos, el primero incluye todas las variables y en el segundo eliminamos la variable z3.
Modelo 1.
yt = -0.021 z1t + 0.559 z2t + 0.235 z3t + 2.10 z4t - 8.
e.s. (0.051) (0.087) (0.077) (0.16) (1.38)
Modelo 2.
yt = 0.133 z1t + 0.550 z2t + 2.10 z4t - 5.
e.s. (0.006) (0.110) (0.20) (1.27)
Dejamos los resultados a la interpretación del lector. Como el autor señala, los datos revelan multicolinealidad entre producción y consumo: " De hecho, z3t ≈ 2/3 z1t para todo t=1,2, .., 18. Existe una relación aproximadamente lineal entre z 1 and z 3. Ello es debido a que el consumo absorbe la mayor parte de la producción, siendo esta proporción casi constante a lo largo de estos años."
Ejemplo 2: Jhonston.
Supongamos tres matrices X'X diferentes - que se diferencian en la covarianza entre las X`s - su correspondiente inversa y determinantes.
X'X (X'X)-1^ |X'X| Caso 1. 1 0 1 0 0 1 0 1 1
Caso 2. 1 0.9 5.26 -4. 0.9 1 -4.74 5.26 0.
Caso 3. 1 0.99 50 -49. 0.99 1 -49.5 50 0.
Las ecuaciones normales (X'X)b=X'Y en los casos 2 y 3 son las siguientes:
Caso 2. b 2 + 0.9 b 3 = 2.8 Caso 3. b 2 + 0.99 b 3 = 2. 0.9b 2 + b 3 = 2.9 0.99 b 2 + b 3 = 3.
b 2 =1 b 3 =2 b 2 = -13.436 b 3 = 16.
- El efecto de la colinealidad sobre los coeficientes también podemos estudiarlo a partir de la fórmulas del estimador y de la matriz de varianzas y covarianzas. Sea siguiente modelo de regresión, en desviaciones, Yi = ß 2 x2i + ß 3 x3i + ui
2 3i^2 2i^ i 2i^ 3i^ 2i^ i 2 3i 2i^ i 2i^ 3i^ 2i i (^2) 2i (^2) 3i (^) 2i 3i (^2 2) 2i^2 3i^223
(^2 2) 3i (^2) (^2 2 2 2 2 ) 2i 3i 2i^ 3i^ 2i^23
(^2) 2i 3i 2 23 (^2 3 2 2 ) 2i 3i 2i^ 3i
b =^ x^ x^ y^ -^ - ( x^ x^ )x y^ =^ x^ xx^ y^ - x x(1-^ x r^ ) x y
x x x x
Var( b ) = ˆ^ x =
x x - (^ x x )^ x^ (1-^ r )
cov( b b ) = -^ x^ x^ = - r
x x - (^ x x )^ (
∑ ∑ ∑^ ∑^ ∑
∑ ∑ ∑^ ∑
∑ ∑ ∑ - r 223 ) ∑ x 2 2i^ ∑x3i^2
Supongamos que ßi0 representa la estimación de ßi para el caso ortogonal (SCTj sigue siendo constante), entonces
2 v a r ( ˆ j 0 ) = (^) S C T j β^ σ
y el aumento en la varianza muestral como consecuencia del incremento en la colinealidad vendrá dado por:
“El caso ortogonal no significa que sea un objetivo a alcanzar, sino es un punto de referencia para medir el incremento relativo de la varianza muestral de los coeficientes de regresión”.
( ) ( ) (^2) j j j
(^2) u
(^2) j j (^2) u
j 0
j FIV
1 R
SCT
SCT
( 1 R )
varˆ
var ˆ
- Regresiones auxiliares: para localizar las variables colineales. Las regresiones entre un regresor y los k-1 restantes también constituyen una guía útil para detectar la presencia de la multicolinealidad. Si un valor de un R^2 es alto, una dependencia lineal muy fuerte entre regresores puede detectarse utilizando entre criterio.
- Número de condición:(Belsey et al):
j^ m a x j κ ( X X′^ ) =^ λ ; j^ =1, ..., k λ
κ= λMAX λ min
- Descomposición de la matriz de varianzas-covarianzas del estimador:
En esta expresión podemos observar como la posible presencia de valores propios muy pequeños "dominará" estas varianzas.
