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FICHA 01: LEYES DE EXPONENTES – ECUACIONES EXPONENCIALES
Sea a 0 yn
, la potencia enésima de “a” denotado por
n
a , se define por:
n
n veces
a a a a ... a P
PRINCIPALES LEYES DE EXPONENTES
Seana,b 0 y m,n,p
, entonces:
Producto de bases iguales
m n m n
a a a
Cociente de bases iguales
m
m n
n
a
a
a
Exponente Negativo
m
m
1
a
a
Potencia de un Producto
m n p mp np
(a a ) a a
Potencia
de un cociente
p m mp
n np
a a
b b
Potencia de Potencia
p m n mnp (a (^) ) (^) a
Nota:
p n m n p m (a ) (^) a
Prof.: William Mostacero Montoya
ÁLGEBRA
Exponente nulo
0 a 1
Exponente Fraccionario
m
n n^ m a a
Nota:
m n (^) m n a a
Raíz de un producto n^ n^ n^ n a b c a b c
Raíz
de
un cociente
n
n
n
a a
b (^) b
Raíz de Raíz m n^ p^ mnp a a
Radicales Sucesivos
n (^) m p (^) n nm nmp a b c a b c
Regla Práctica
a (^) m b (^) n c p abc (mb n)c p x x x x
( + + + …)
a (^) m b (^) n c (^) p abc (mb n)c p
x x x x
( + …)
Expresiones al Infinito
n n (^) n n 1 a a a... a
n n (^) n n 1 a a a... a
03. Hallar x en:
2x 2 2x 2 x
a) 1 b) 3 c) – 2 d) 2 e) – 1
04. Halle el valor de:
n 1 (^) n (^2 2 2) n (^2 2 2 ) 8
a) 1/5 b) 5 c) 1/25 d) 25 e) 125
05. Simplificar:
n 1
n n 2 2n 2
W
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
06. Si
4 x 40
x 2 , entonces
8
x es igual a:
a) 256 b) 82 c) 1024 d) 4096 e) 64
07. Si se tiene la igualdad
x x 5 125 (^32) 2 , determine la suma de cifras de
4
6x
a) 9 b) 4 c) 5 d) 10 e) 7
08. Si
(^2 3 ) a a^ ^2 , halle
(^3 ) W a
a) 2 2 b)
4 2 c) 2 d) 3 2 e) 4 2
09. Calcule el valor aproximado de A + B, en base a las siguientes igualdades:
3
A 6 6 6 ... , B 6 2 2 2...
a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
10. A partir de la siguiente igualdad
3 x
x 64 , calcule el valor de
2
x x 1
a) 32 b) 45 c) 68 d) 73 e) 82
11. Calcular “x” en:
4 x
x 64
a)
4
4 b)
4
2 c)
4
8 d) 12 e)
3
12. Calcular el valor aproximado de AB, si se consideran las siguientes relaciones:
A 1 20 20 20 ... , B 3 3 3 3...
a) 3 b) 6 c) 6 d) 20 e) 3
13. Indique el valor de verdad en:
I)
(^2 )
x 3 x 9
II)
3 2 6 x x
x x ; x 0
III)
1 1
IV)
3 3 2 2
x x ; x 0
a) VVVV b) VVFV c) VVFF d) FFVF e) FFVV
14. Si se cumple que:
11 x (^) a
121x 2a, proporcione el valor de:
33 x
W
2a
a) 1/2 b) 1 c) 33 d) 3 e) 11
- Halle el valor de que verifica:
1
a) 2 1 b) 2 1 c) 2 2 d) 1 2 e) 2 2
16. Calcule el valor de
2
x si se sabe que
3x 4 x 9
a) 25 b) 4 c) 1 d) 9 e) 3
17. Calcule
2 3
5 2
a) 10 b) 14 c) 70 d) 7 e) 2
18. Si se verifica la igualdad:
b
a 2 , halle el valor de:
2 3
2 3 4
b b a
b b b
a
W
a a a
a) 128 b) 256 c) 512 d) 64 e) 32
19. Al simplificar la expresión:
2 x 5 2x x 1 2x 1
x 3 2x 1 x 1 2x
W
, se obtiene:
a) 3 b) 81 c) 49 d) 196 e) 9
28. Teniendo en cuenta la siguiente igualdad:
6n 1 1 n 3
n 2
, calcule el valor de
24n
n
a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16
29. A partir de la siguiente igualdad:
2
b (^9)
b 3
, halle el valor de
3b
a) 1 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
30. Indique el exponente final de
2
x luego que simplifique:
(^4 2 ) (^2 5 )
4 0 2 3 2 2 2 3 3 1 4
x x x
x x x
(^)
a) 22 b) – 22 c) 13 d) – 10 e) – 3
31. Calcule el valor de
n n n
W a b c en base a las siguientes relaciones:
2 n n 1 n n 1
a b ; b c ; a 2
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 1/
32. Si el exponente de
2x
x en la siguiente expresión
2x 2x
x es igual a 4. Halle el valor de
2
W x x 1
a) 2 b) 1/2 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/
33. Determine el valor de
12 6
x x 2 , si:
2 3 5 x 6
x 5
a) 25 b) 26 c) 28 d) 20 e) 30
34. Si
3 3
m 24 3 128 y n 9 243 32. Determine mn
a) 12 b) 3 c) 6 d) 8 e) 2
35. Calcule el valor de:
2 1 n 2 n (^2 ) 8 2 2 2
^ ^
a) 1 b) 0,5 c) 0,25 d) 0,125 e) 2
36. Siendo a, b y c números reales positivos cuyo producto es 81, calcule el valor de:
7
a b c c a b b c a
a) 3 b) 3 c) 2 d) 1 e) 2
37.Simplifique:
(^3 )
6 8 16
a) 1 b) 2 c) 2 d) 3 e)
3
38. Sabiendo que
x x 1
, halle el valor de
x x 1
a) 36 b) 48 c) 24 2 d) 112 2 e) 120
39. Si se sabe que:
2 x x 2
, calcule
2x 1 4x W x
a) 1 b) 0,5 c) 0,25 d) 0,125 e) 2
40. Vanesa tiene cierta cantidad de dinero que reparte entre sus hijos Leonardo y Carlos a
quienes correspondió 8m y 15n soles respectivamente, luego de ello Vanesa se quedó con 12
soles. Si m y n satisfacen las igualdades mostradas:
2m (^) 3m 2 2m 3m 20 12m 5 5 5 5
;
2
(^3 ) 3 2 5 6 n
3 2
a a a a a , a 0
a
Determine la suma de las cifras de la cantidad de dinero que tenía Vanesa al inicio.
a) 3 b) 6 c) 2 d) 5 e) 7
41. Para n , con n^ ^2 , el equivalente de la expresión:
2
n
n (^) n n^3 2 3 n 3 5 2n 1 a a a ... a a a a ... a
, es:
a) a b)
n a c) a d)
n a e)
n 1 a
51. Dada la ecuación exponencial
2x 2x 3
, calcule el valor de
x 1 W 4 2
a) 64 b) 6 c) 5/3 d) 16 e) 32
52. Al resolver:
x 7 8 32
16 2 , la suma de las cifras de
2
x , es:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
53. Hallar el valor de
2
W x x 1 , si se cumple que:
2 x 1
x x^1
x x 2 1
a) 7 b) 9 c) 12 d) 15 e) 3
- Si
2x 1
2
2x 1 ; x 2 4x 4x 1
, halle el valor dex 2
a) 0,25 b) 0,5 c) 5 d) 2 e) 1,
55. Hallar el valor de x, en:
2x 4 2x 2 2x 3
a) 3 b) 2 c) 0 d) 1 e) – 1
56. Hallar x:
2x 2 2x 2 x
a) 1 b) 3 c) – 2 d) 2 e) – 1
- Resolver:
x 2 x
x 1 x 1
a) 0,25 b) 0,5 c) 2 d) 2 ^1 e)^2 ^1
- Halle el valor de
x 1 W x 1
, donde “x” satisface:
x 3 x 8 x 2 2 x 0
a) 1 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4
59. A partir de las siguientes relaciones:
x 6 2 y x y
x 2 ; y x
Calcule el valor de
x
2
y
a) 2 b)
3 2 c)
6 2 d)
8 2 e)
4 2
60. Determine el equivalente reducido de:
9
(^9 ) 2 81 (^9 9 ) (^9 9 1 ) (^9 9 ) 81 81
^
^
a) 3 b) 9 c) 81 d)
9
9 e)
9
61. Sea “a” un número real no nulo y “n” un entero positivo, al reducir la siguiente expresión:
(n 1) veces
3 3 3 3
(n 2) veces
n 2 n 2 n 2 ... n 2
a a a ... a
, se obtiene
n
125a, halle el valor de
n 1
a) 2 b) 4 c) 32 d) 8 e) 16
62. Al reducir la expresión
3 5 3 3 3
4 2 2 2
x y x y
x y x y
^
se obtiene
m
y
x
, determine el valor de
m 2
W m
a) 1 b) 16 c) 243 d) 4098 e) 1/
63. Si
13 3 a x a 2197x 3a, hallar el valor de
3
26 x
W
a
a) 4 b) 8 c) 2 d) 6 e) 10
64. Hallar “n” en:
5 n 2n 3 n 2 81 27 243
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 11
65. Si x y además
16 veces
80 80 80 26
15 veces
x x ... x 16
16 16 16 ... 16
, calcule el valor de
2
x 1
a) 15 b) 8 c) 1 d) 3 e) 24
66. Indique el valor real de “x” que verifica:
4 x 2 2x x 1 x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
75. De la igualdad
2 x 1 x 2x 1
, calcular el valor de
x x
a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 10
76. Si “x” es la solución de la ecuacion:
x 1 x 12
, entonces, la suma de los dígitos de
“x” es:
a) 15 b) 13 c) 17 d) 12 e) 11
77. El precio de un reloj viene dado por P(n) 100n 20 , donde “n” es el mayor valor de las
soluciones de la ecuacion:
2x 1 x 2x 2 3 13 6 6 2 0
^ ^ ^ ^ ^ . Halle el precio de 3 relojes
a) 210 b) 90 c) 360 d) 660 e) 960
78. El precio de un libro se modela por P(y) 2y 5 , donde “y” es el mayor valor de las
soluciones de la ecuacion:
2 2 2 x x 1 x x x x 3 3 9 3 3 351
Halle el precio de 2 libros.
a) 9 b) 12 c) 18 d) 16 e) 13
79. Si se sabe que:
x x
, determine el valor de
x x
x x
W
a) 98 b) 100 c) 102 d) 25 e) 125
80. Si se cumple que:
16 k k
2 4 k , halle la suma de cifras de
2
k 1
a) 11 b) 9 c) 10 d) 8 e) 17
- Si
3x
3 2
3x 1 ; con x
3 x 9 3
, halle el valor de (x – 1)
a) 1/9 b) 1/3 c) 3 d) 2 e) 4/
82. Calcular el valor de
2 W x 5 a partir de
x 2 6 4 2 3 81
a) 4 b) 2 c) 5 d) 1 e) 3
83. Hallar el valor de “x” en la ecuacion:
15 x
8 x 4 3
a a
a
a a
, donde:a 0 , a 1
a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 13
84. Para n , con n 2 , el equivalente de la expresión:
2
n
n n n^3 2 3 n 3 5 2n 1 a a a ... a a a a ... a
, es:
a) a b)
n a c) a d)
n a e)
n 1 a
85. Simplificar:
n 3 n 1
n
W
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1/
86. Reducir:
48 factores
3 3 3 3 3
1
44 factores
x x x ... x x W ; x 0
x x x ... x x
a) x b)
4 x c)
7 x d)
5 x e)
3 x
87. Hallar el valor de “x” en:
3 x 9 x 3
a) 3 b) 1/3 c) 1/9 d) 9 e) 3
- Hallar el valor de “x” en:
x x^1 x x (^8) a a
a) 8 b) 2 c) 0,5 d) 0,125 e) 0,
89. Halle el valor de “n” en:
n 2 n 1 8 4 3 9
a) 1 b) 2 c) 8 d) 3 e) 9
90. Hallar el valor de “x” en:
1 x 9 8 1 9 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
91. Resolver la siguiente ecuacion:
2x 1 2 x 2 1 25 5
a) – 1 b) 1 c) – 3 d) 3 e) 2
103. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en las siguientes proposiciones:
I)
2
n
n n n n
2 veces
II)
7 14
2
2 2 3 3
III)
ab ba ab ba La secuencia correcta es:
a) VVV b) FFF c) FVF d) FFV e) VFF
104. Si
(^2 3 ) a a^ ^2 , halle
(^3 ) W a
a) 2 2 b)
4 2 c) 2 d) 3 2 e) 4 2
105. Si
x x 2 , halle:
x 1 x 1 1 2x x 1 x x x
W x x x
a) 4 b) 8 c) 16 d) 2 e) 5
106. Si se cumple que
x x 2 , entonces
x 1 x 1 x 1
x
x
, viene a ser:
a) 4 b) 8 c) 32 d) 64 e) 16
107. Halle el valor de “m” en:
m 4 2 2 2 2 2
a) 4 b) 6 c) – 3 d) – 2 e) – 6
108. Hallar el valor de c, si el exponente final de x en:
a 3 b 5 c
x x x es la unidad, además
c
a b
a) 10 b) 20 c) 30 d) 15 e) 25
El hombre que es un maestro de la paciencia es un maestro de todo lo demás…
