Libro Calculo, Apuntes de Cálculo

¡Descarga Libro Calculo y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!

Cálculo

30 marzo 2012

Índice

• ii –

9 Límites y continuidad de funciones de varias variables 253 9.1 El espacio euclídeo R n^ 253 9.2 Funciones de varias variables 257 9.3 Límite fun- cional 258 9.4 Continuidad 260 9.5 Extremos absolutos 261 9.6 Ejercicios 262

10 Diferenciabilidad 269 10.1 Derivadas parciales 269 10.2 Función diferenciable 270 10.3 Reglas de deri- vación 273 10.4 Teorema de la función inversa y Teorema de la función implícita 274 10.5 Polinomio de Taylor 278 10.6 Extremos relativos 280 10.7 Extremos condicio- nados 284 10.8 Extremos absolutos 287 10.9 Ejercicios 288

11 Integrales múltiples 331 11.1 Integrales dobles 331 11.2 Integración en dominios acotados 333 11.3 Inte- grales en dimensiones superiores 336 11.4 Cambio de variable 336 11.5 Aplicacio- nes 341 11.6 Ejercicios 341

A Funciones 355 A.1 Definiciones 355 A.2 Funciones elementales 362

B Geometría 375 B.1 Parábolas, elipses e hipérbolas 375 B.2 Superficies cuadráticas 376

C Algunas tablas 381 C.1 Derivadas 381 C.2 Desarrollo de Taylor 382 C.3 Primitivas 382

D Progresiones aritméticas y geométricas 385 D.1 Progresiones aritméticas 385 D.2 Progresiones geométricas 386

E Algunos ejemplos y contraejemplos 387

Glosario 389

Números reales El conjuntos de los números reales

Números reales

1

1.1 El conjuntos de los números reales 3 1.2 Naturales, enteros, racionales e irracionales 6 1.3 Valor absoluto 7 1.4 El principio de inducción 8 1.5 Intervalos y conjuntos destacados 11 1.6 Ejercicios 12

Existen diferentes formas de formalizar el conjunto de los números reales aunque se pueden agrupar en dos variantes: constructivos y axiomáticos. Los primeros son dema- siado laboriosos para un curso de Cálculo y, por este motivo, hemos preferido dejarlos de lado. En su lugar, hemos asumido que el conjunto de los números reales es conocido por el lector y elegimos la definición axiomática de este conjunto.

1.1 El conjuntos de los números reales

Vamos a definir el conjunto de los números reales, R, en términos de qué sabemos hacer con sus elementos. Es difícil que si alguien nos pregunta seamos capaces de dar una respuesta clara de qué es un número pero sí somos capaces de decir qué cosas podemos hacer con ellos. En el conjunto de los números reales tenemos definidas varias operaciones. La primera que todos aprendemos es la suma.

Suma de números reales

Las suma verifica, entre otras, las siguientes propiedades. Sean a , b y c números reales cualesquiera.

1. Propiedad asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c.
2. Propiedad conmutativa: a + b = b + a.
3. Existencia de elemento neutro: a + 0 = a.
4. Existencia de elemento opuesto: a + (− a ) = 0. Estas cuatro propiedades se resumen diciendo que (R, +) es un grupo abeliano o conmu- tativo.

Producto de números reales

Además de la suma también sabemos multiplicar números reales. Por el mismo mo- tivo, se supone que sabemos dividir. Mucho cuidado con esta afirmación. No estamos hablando de cómo se dividen números sino de que, supuesto conocido el producto de números, la división es la operación inversa. Ocurre lo mismo con la suma: no hemos dicho como se restan números reales pero, en teoría restar una cantidad es simplemen- te sumar la cantidad cambiada de signo. Con el producto, dividir por un número a es multiplicar por 1 / a.

Números reales El conjuntos de los números reales

b) Sea A un subconjunto de R. Diremos que a 0 ∈ A es el máximo absoluto (resp. mínimo Máximo absoluto absoluto ) de A si verifica que a ≤ a 0 (resp. a ≥ a 0 ) para cualquier a ∈ A.

Veamos algunos ejemplos de estos conceptos.

Ejemplo 1.3. a) El conjunto de los números naturales no es un conjunto acotado. Más concretamente, no es un conjunto acotado superiormente pero sí está acotado inferiormente. Como no está acotado superiormente no tiene máximo. Sí tiene mínimo: 1 ≤ n para cualquier natural n b) El conjunto

1 n :^ n^ ∈^ N

está acotado superior e inferiormente: 0 ≤ (^1) n ≤ 1 para cualquier natural n. Tiene máximo: el 1, pero no tiene mínimo. El mínimo podría ser el cero pero no pertenece al conjunto./ A la vista de los ejemplos, la existencia de máximo implica que el conjunto esta acota- do pero el recíproco no es cierto. Hay conjuntos acotados y que no tienen ni máximo ni mínimo: piensa en el intervalo ]0, 1[. Sin embargo, aunque ni el 0 ni el 1 sean ni máximo ni mínimo, sí parece claro que tienen un papel destacado. De alguna forma son los extre- mos del conjunto, pertenezcan o no a dicho conjunto. El supremo y el ínfimo van a ser una forma de reconocer este tipo de puntos.

Definición 1.4. Sea A un subconjunto acotado superiormente de R. El supremo del Supremo conjunto A , sup( A ), es la menor de sus cotas superiores. Análogamente se define el ínfimo de un conjunto acotado inferiormente como la mayor de sus cotas inferiores y Ínfimo lo notaremos inf( A ).

Con esta definición ya podemos añadir la última propiedad que nos falta para definir el conjunto de los números reales:

Axioma del supremo : todo conjunto acotado superiormente tiene supremo.

Este axioma es equivalente al “axioma del ínfimo”. Sólo hay que darse cuenta de que si cambiamos el signo las desigualdades también cambian.

Ejemplo 1.5. Los extremos de un intervalo acotado son el supremo e ínfimo de dicho intervalo independientemente de si pertenecen o no al intervalo. En el caso particular de que alguno de ellos esté en dicho intervalo serán, además máximo o mínimo (lo que corresponda). /

Proposición 1.6. Sea A un conjunto acotado superiormente y sea x el supremo de A. a) Si x ∈/ A, entonces A no tiene máximo. b) Si x ∈ A, entonces A tiene máximo y, de hecho, x = max( A ).

La siguiente proposición será útil en la demostración de algunos resultados posteriores.

Proposición 1.7. Sea A ⊂ R un subconjunto acotado superiormente y sea x ∈ R_. Entonces_

x = sup( A ) ⇐⇒

i ) a ≤ x , para todo a ∈ A ii ) dado ε > 0 , ∃ a ∈ A tal que x − ε < a.

Naturales, enteros, racionales e irracionales Números reales

1.2 Naturales, enteros, racionales e irracionales

Números naturales

El conjunto de los números naturales, al que denotaremos N, es

N = { 1 , 2 , 3 ,.. .}

La inclusión del cero como número natural es una convención. En algunos textos aparece como natural y en otros no. Nosotros no lo vamos a incluir para simplificar algunas nota- ciones. Por ejemplo, para poder hablar de ln( n ) o de (^1) n sin necesidad de estar recordando constantemente que n no puede ser cero.

Números enteros

El conjunto de los números enteros, Z, es

Z = {... , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .}

La operación suma en Z es una operación interna: la suma (y la resta) de enteros es un entero. No ocurre lo mismo con el producto. El inverso de un número entero no nulo es un número racional.

Números racionales e irracionales

Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como cociente de un en- tero y un natural:

Q =

p q

: p ∈ Z, q ∈ N

Los números irracionales, R \ Q, son aquellos que no son racionales. Probablemente es- tás más acostumbrado a tratar con la representación decimal de los números reales. Los racionales tienen una cantidad finita de decimales o infinita periódica. Los irracionales, por tanto, tienen una cantidad infinita de decimales no periódicos. Observación 1.8. El conjunto de los números irracionales no es, ni siquiera, un espacio vectorial como lo es el conjunto de los números racionales. El elemento neutro para la suma o el producto, 0 y 1, no son irracionales. Es muy fácil encontrar ejemplos de que la suma y el producto de números irracionales no es necesariamente un numero irracional: 2 π π =^2. Dentro de los números reales podemos distinguir entre números algebraicos y núme- Número al- ros trascendentes. Un número es algebraico si es solución de un polinomio con coeficientes gebraico (^) enteros. Por ejemplo, cualquier racional o √ 2 son números algebraicos. Si no se puede ex-

Número tras- presar como raíz de un polinomio con coeficientes enteros diremos que es un número cendente (^) trascendente. No es fácil buscar las raíces irracionales de un polinomio, pero sí podemos buscar las posibles raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros.

El principio de inducción Números reales

a) si x ≤ 1 , | x − 3 | < | x − 1 | ⇐⇒ −( x − 3) < −( x − 1) ⇐⇒ − 3 > − 1 lo que, claramente, no es cierto, b) si 1 ≤ x ≤ 3 , | x − 3 | < | x − 1 | ⇐⇒ −( x − 3) < ( x − 1) ⇐⇒ 2 < x , y por último c) si x ≥ 3 , | x − 3 | < | x − 1 | ⇐⇒ ( x − 3) < ( x − 1) ⇐⇒ − 3 < − 1. Resumiendo, la desigualdad es cierta si, y sólo si, x > 2. / También podemos aprovechar el hecho de que elevar al cuadrado conserva el orden en los reales positivos: 0 < a < b ⇐⇒ a^2 < b^2. Vamos a utilizar esto para demostrar la desigualdad triangular: ∣∣ ∣ x + y

∣ ≤ | x | +

∣ y

∣ x + y

2 ≤

| x | +

∣ y

⇐⇒ x^2 + y^2 + 2 xy ≤ x^2 + y^2 + 2

∣ (^) xy

⇐⇒ xy ≤

∣ (^) xy

lo cual, evidentemente, es cierto. Observa que, de regalo, hemos probado que la igualdad en la desigualdad triangular es cierta si, y sólo si, xy =

∣ (^) xy

∣ (^) o, lo que es lo mismo, si x e y tienen el mismo signo. Prueba tú a demostrar el resto de afirmaciones de la proposición anterior.

1.4 El principio de inducción

La definición del conjunto de los números naturales puede hacerse como la definición que hemos dado del conjunto de los números reales mediante una serie de propiedades que lo caractericen en lugar de especificar cuáles son sus elementos. Si el axioma del supremo es la propiedad clave que nos ha permitido definir los números reales, en el caso de los naturales dicha propiedad es la de ser inductivo.

Conjunto Definición 1.14. Un subconjunto A de los números reales diremos que es inductivo inductivo (^) si verifica las siguientes dos propiedades: a) 1 ∈ A , b) si a ∈ A , entonces a + 1 ∈ A.

Ejemplo 1.15. a) R, Q, Z, N, R+^ son conjuntos inductivos. b) Ningún conjunto acotado puede ser un conjunto inductivo./

Definición 1.16. El conjunto de los números naturales es el menor conjunto induc- tivo o, lo que es lo mismo, la intersección de todos los conjuntos inductivos.

Principio de Proposición 1.17. Sea A un subconjunto de los números reales verificando que inducción (^) a) A es inductivo, b) A ⊂ N_. Entonces A_ = N_._ En otras palabras, para demostrar que un subconjunto del conjunto de los números naturales, A ⊂ N, es, en realidad, el conjunto de los naturales es suficiente con comprobar que a) 1 ∈ A , y que

Números reales El principio de inducción

b) si n ∈ A , entonces n + 1 ∈ A. La principal utilidad de este principio es demostrar que una propiedad indicada en el conjunto de los naturales es cierta. Por ejemplo, la propiedad “todos los números de la forma n^3 + 5 n son divisibles por 6 ” son en realidad muchas (tantas como naturales) afir- maciones. No es difícil fijar un natural y comprobar que para ese concreto la propiedad es cierta. Pero, ¿cómo podemos hacerlo para todos a la vez? En este tipo de demostraciones, el principio de inducción nos proporciona una ventaja. Para demostrar que se cumple para un natural puede suponerse que la propiedad es cierta para el natural anterior (hi- pótesis de inducción). Esto puede ser muy útil en algunas ocasiones. Ejemplo 1.18. Demostrar que 1 + 3 + 5 +... + (2 n − 1) = n^2 , para cualquier n ∈ N. Lo demostramos usando el método de inducción. Tenemos que comprobar que el con- junto

A =

n ∈ N; 1 + 3 + 5 +... + (2 n − 1) = n^2

coincide con N. Para ello es suficiente con demostrar que A es un conjunto inductivo, o sea, tenemos que comprobar que a) la propiedad es cierta para n = 1 , y que b) si la propiedad es cierta para un número natural, también es cierta para el siguiente número natural. Vamos allá. a) Es inmediato comprobar que la propiedad se cumple la propiedad para n = 1. b) Supongamos que se cumple para un natural fijo m y comprobemos que se cumple para m + 1 : 1 + 3 + 5 +... + (2 m − 1) + (2 m + 1) = m^2 + (2 m + 1) = ( m + 1)^2.

Por tanto, A = N y la propiedad se cumple para todos los naturales. /

1.4.1 Una aplicación del principio de inducción: el binomio de Newton

¿Cuántas posibilidades tienes de que aciertes la lotería primitiva? Tienes que escoger 6 números de entre 47 sin importar el orden. El número de combinaciones posibles es

6

Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, y sin tener en cuenta el orden de colocación de sus elementos. El número de combinaciones que se pueden construir de esta forma es ( n p

n! p !( n − p )!

A los números de la forma

( n p

, “ n sobre p ” se les suele llamar números combinatorios. (^) Números combi- Recordemos que el factorial de un número natural n es natorios

n! = 1 · 2 · 3 · · · n

y que 0! = 1.

Números reales Intervalos y conjuntos destacados

n triángulo de Pascal no^ combinatorio ( a + b ) n 0 1

0

0

1

a + b 2 1 2 1

0

1

2

a^2 + 2 ab + b^2 3 1 3 3 1

0

1

2

3

a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3 Tabla 1.1 Triángulo de Pascal o Tartaglia

1.5 Intervalos y conjuntos destacados

Los conjuntos que van a jugar un papel más destacado son los intervalos.

Definición 1.20. Un subconjunto I de R es un intervalo si para cualesquiera x , y ∈ I Intervalo se cumple que

[

x , y

]

= { t ∈ R : x ≤ t ≤ y } ⊂ I.

Ya conoces cuáles son los distintos intervalos: abiertos, semiabiertos, cerrados, acotados o no:

[ a , b ] = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b } ] a , b ] = { x ∈ R : a < x ≤ b } [ a , b [= { x ∈ R : a ≤ x < b } ] a , b [= { x ∈ R : a < x < b } [ a , +∞[= { x ∈ R : a ≤ x } ] a , +∞[= { x ∈ R : a < x } ] − ∞, b ] = { x ∈ R : x ≤ b } ] − ∞, b [= { x ∈ R : x < b }

Definición 1.21. Sea A un subconjunto de R. a) Diremos que a ∈ A es un punto interior si existe ε > 0 tal que ] a − ε, a + ε[⊂ I. Punto interior b) El interior de A es el conjunto, A ˚ =

a ∈ A : a es un punto interior

. Diremos que el conjunto A es abierto si coincide con su interior. c) Diremos que x ∈ R es un punto adherente si para cualquier ε > 0 se tiene que Punto adherente

] a − ε, a + ε[∩ A 6 = ∅.

d) El cierre o adherencia del conjunto A es A =

x ∈ R : x es un punto adherente de A

Diremos que el conjunto A es cerrado si coincide con su adherencia. e) Diremos que x ∈ R es un punto de acumulación de A si para cualquier r positivo Punto de acumu- se cumple que lación

] a − r , a + r [∩ ( A \ { a }) 6 = ∅.

Notaremos A ′^ al conjunto de todos los puntos de acumulación de A.

Ejercicios Números reales

Punto aislado f) Diremos que x ∈ R es un punto aislado del conjunto A si existe r > 0 tal que

] a − r , a + r [∩ A = { a }.

Frontera g) La frontera de A es Fr( A ) = A \ A ˚.

Ejemplo 1.22. a) Los intervalos abiertos, ya sean acotados o no, son conjuntos abiertos. De la misma forma los intervalos cerrados son conjuntos cerrados. b) El conjunto de los naturales N es cerrado y tiene interior vacío al igual que Z. Además todos sus puntos son aislados. c) El conjunto A =

1 n :^ n^ ∈^ N

tiene interior vacío, todos sus puntos son aislados y su cierre es A ∪ { 0 }. Más concretamente, 0 es un punto de acumulación de A ./ Proposición 1.23. Sea A un subconjunto de R_. Se verifican las siguientes afirmaciones. a) A_ ˚ ⊂ A ⊂ A, b) A es abierto si, y sólo si, R \ A es cerrado.

1.6 Ejercicios

Ejercicio 1.1. Calcular para qué valores de x se verifica que (^2) xx +− 23 < 13.

Solución 1.1. Para quitar denominadores tenemos que multiplicar por x + 2. a) Si x > − 2 , entonces x + 2 > 0 y (^2) xx +− 23 < 13 ⇐⇒ 6 x − 9 < x + 2 ⇐⇒ x < 115. b) Si x < − 2 , entonces x + 2 < 0 y (^2) xx +− 23 < 13 ⇐⇒ 6 x − 9 > x + 2 ⇐⇒ x > 115 , que no se verifica. Resumiendo (^2) xx +− 23 < 13 ⇐⇒ − 2 < x < 115.

Ejercicio 1.2. Encontrar aquellos valores de x que verifican que: a) (^1) x + (^11) − x > 0 , b) x^2 − 5 x + 9 > x , c) x^3 ( x − 2)( x + 3)^2 < 0 ,

d) x^2 6 x , e) x^3 6 x , f) x^2 − ( a + b ) x + ab < 0.

Solución 1.2. a) 0 < (^1) x + (^11) − x = (^) x (1^1 − x ) ⇐⇒ 0 < x (1 − x ) ⇐⇒ 0 < x < 1. b) x^2 − 5 x + 9 > x ⇐⇒ x^2 − 6 x + 9 > 0 ⇐⇒ ( x − 3)^2 > 0 ⇐⇒ x 6 = 3. c) x^3 ( x − 2)( x + 3)^2 < 0 ⇐⇒ x^3 ( x − 2) < 0 ⇐⇒ 0 < x < 2. d) x^2 ≤ x ⇐⇒ x^2 − x ≤ 0 ⇐⇒ x ( x − 1) ≤ 0 ⇐⇒ x ∈ [0, 1]. e) x^3 ≤ x ⇐⇒ x ( x − 1)( x + 1) ≤ 0 ⇐⇒ ] − ∞, −1] ∪ [0, 1]. f) 0 > x^2 − ( a + b ) x + ab = ( x − a )( x − b ) ⇐⇒ x ∈] min{ a , b }, max{ a , b }[.

Ejercicio 1.3. Discutir para qué valores de x se verifica que: a) | x − 1 | | x + 2 | = 3 , b) | x^2 − x | > 1 ,

c) | x − 1 | + | x + 1 | < 1 , d) | x + 1 | < | x + 3 |.

Solución 1.3.

Ejercicios Números reales

La segunda desigualdad se cumple siempre. Para estudiar la primera desigualdad, calculamos las raíces del polinomio:

x^2 + 2 x +

x −

x −

< 0 ⇐⇒ x ∈

]

[

d) inf( A ) = min( A ) = 0 , no tiene supremo ni máximo.

1.6.1 Principio de inducción

Ejercicio 1.7. Demostrar que 1 + 1 + 2 + 22 + 23 +... + 2 n^ = 2 n +^1 , para cualquier n ∈ N.

Solución 1.7. Lo demostramos usando el método de inducción. Es inmediato que se cumple la propiedad para n = 1. Supongamos que se cumple para un natural fijo n y comprobemos que se cumple para n + 1 :

1 + 20 + 21 + 22 +... + 2 n^ + 2 n +^1 = 2 n +^1 + 2 n +^1 = 2 n +^2.

Ejercicio 1.8. Demostrar que 12 + 14 + 18 +... + (^2) n^1 − 1 ≤ 1 para cualquier natural mayor o igual que dos.

Solución 1.8. Lo demostramos usando el método de inducción. Es inmediato que se cumple la propiedad para n = 1. Supongamos que se cumple para un natural fijo n y comprobemos que se cumple para n + 1 : 1 2

2 n −^1

2 n^

2 n −^1

Ejercicio 1.9. Probar que la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos es divisible por 9.

Solución 1.9. Tenemos que demostrar que n^3 + ( n + 1)^3 + ( n + 2)^3 es divisible por 9 para cualquier natural n. Es fácil comprobar que se cumple para n = 1. Supongamos que es cierto para un natura fijo n y veamos si es cierto para n + 1 : ( n + 1)^3 + ( n + 2)^3 + ( n + 3)^3 =( n + 1)^3 + ( n + 2)^3 + ( n^3 + 9 n^2 + 27 n + 27) =( n^3 + ( n + 1)^3 + ( n + 2)^2 ) + (9 n^2 + 27 n + 27).

Para acabar sólo hay que recordar que la suma de dos números divisibles por 9, es divi- sible por 9.

Ejercicio 1.10. Demostrar por inducción que 1 + 2 + 3 +... + n = n ( n 2 + 1), para cualquier n ∈ N.

Solución 1.10. Para n = 1 la igualdad es inmediata. Supongamos que se cumple para un natural n y veamos que también es cierta para n + 1 :

1 + 2 + 3 +... + n + ( n + 1) =

n ( n + 1) 2

• ( n + 1) =

n^2 + n + 3 n + 2 2

( n + 1)( n + 2) 2

Números reales Ejercicios

Ejercicio 1.11. Demostrar que 12 + 22 + 32 +... + n^2 = n ( n +1)(2 6 n +1), para cualquier n ∈ N.

Solución 1.11. Para n = 1 la igualdad es inmediata. Supongamos que se cumple para un natural n y veamos que también es cierta para n + 1 :

12 + 22 + 32 +... + n^2 + ( n + 1)^2 =

n ( n + 1)(2 n + 1) 6

• ( n + 1)^2 =

( n + 1)( n + 2)( n + 3) 6

Ejercicio 1.12. Demostrar que 13 + 23 + 33 +... + n^3 = n

(^2) ( n +1) 2 4 , para^ n^ ∈^ N. Solución 1.12. Similar al Ejercicio 1.11.

1.6.2 Ejercicios complementarios

Ejercicio 1.1. Demostrar por inducción que todos los números de la forma n^3 + 5 n son divisibles por 6.

Ejercicio 1.2. Demostrar por inducción que todos los números de la forma 32 n^ − 1 son divisibles por 8.

Ejercicio 1.3. Pruébese que para todo natural n ≥ 2 se verifica que 3 no divide a n^3 − n + 1.

Ejercicio 1.4. Pruébese que para todo natural n ≥ 2 se verifica que: 5 divide a n^5 − n.

Ejercicio 1.5. Demostrar que (1 + x ) n^ > 1 + nx , ∀ n ∈ N, n > 1. para x ∈ R \ { 0 }, x > − 1.

Ejercicio 1.6. Demostrar que xn +^1 + (^) xn^1 + 1 > xn^ + (^) x^1 n , para cualquier natural n y cualquier real x positivo distinto de uno.

Ejercicio 1.7. Probar que si x ∈ R \ { 1 }, entonces se verifica que

1 + x + x^2 + x^3 +... + xn^ = xn +^1 − 1 x − 1

, ∀ n ∈ N.

Ejercicio 1.8. Demostrar que, dado un natural n ,

n es natural o irracional.

Ejercicio 1.9. Demostrar que

3 es irracional.

Números complejos Introducción

Números complejos

2

2.1 Introducción 17 2.2 Forma binómica de un número complejo 20 2.3 Re- presentación gráfica. Conjugado y módulo de un número complejo 21 2.4 For- ma polar y argumento de un número complejo 22 2.5 Funciones elementa- les 25

2.1 Introducción

Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de polémicas y controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia de su utilidad, acabaron por ser aceptados, aunque no fueron bien compren- didos hasta épocas recientes. Nada hay de extraño en ello si pensamos que los números negativos no fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII. Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Car- dano (1501–1576) y Bombelli (1526–1572) relacionados con el cálculo de las raíces de la cúbica o ecuación de tercer grado. Fue René Descartes (1596–1650) quien afirmó que “cier- tas ecuaciones algebraicas sólo tienen solución en nuestra imaginación” y acuñó el califi- cativo imaginarias para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuen- cia, cuando la solución de un problema resulta ser un número complejo esto se interpreta como que el problema no tiene solución. Las razones de todo esto son claras. Así como los números reales responden al pro- blema cotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los números complejos. Mientras los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus ob- jetos de estudio, no se avanzó mucho en la comprensión de los números complejos. El éxito de Euler y Gauss al trabajar con números complejos se debió a que ellos no se preocuparon de la naturaleza de los mismos; no se preguntaron ¿qué es un número complejo?, sino que se dijeron ¿para qué sirven?, ¿qué puede hacerse con ellos? Es Gauss quien definitivamente concede a los números complejos un lugar privilegiado dentro de las matemáticas al probar en 1799 el conocido como Teorema Fundamental del álgebra que afirma que toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos tiene, si cada raíz se cuenta tantas veces como su orden, n raíces que también son números complejos. Algunas de sus implicaciones las podemos comentar directamente. Fíjate en cada una de las ecuaciones: x + 3 = 0 , 2 x + 3 = 0 , x^2 − 2 = 0 , x^2 + 2 x + 2 = 0 ,

cuyas soluciones x = − 3 , x = 3 / 2 , x = ±

2 y x = 1 ± i tienen sentido cuando x es, respecti- vamente, un número entero, racional, real o complejo. Podría ocurrir que este proceso de ampliación del campo numérico continuara. ¿Qué ocurrirá si ahora consideramos ecua- ciones polinómicas con coeficientes complejos? Por ejemplo:

x^5 + (1 − i ) x^4 + (1/ 5 − i

2. x^2 − 8 x + 3 − i /

Introducción Números complejos

¿Cómo serán sus soluciones? ¿Aparecerán también nuevos tipos de números? El teorema fundamental del álgebra nos dice que esa ecuación tiene soluciones que también son nú- meros complejos y, por tanto, que no aparecerán ya por este procedimiento nuevos tipos de números. El término, hoy usado de “números complejos” se debe a Gauss, quien también hizo po- pular la letra “ i ” que Euler (1707–1783) había usado esporádicamente. En 1806 Argand interpreta los números complejos como vectores en el plano. La fecha de 1825 es conside- rada como el nacimiento de la teoría de funciones de variable compleja, pues se publica en dicho año la Memoria sobre la Integración Compleja que Cauchy había escrito ya en

En estas notas vamos a dar solamente unos breves conceptos de distintas formas de expresar los números complejos y cómo se trabaja con ellos. Pero antes de empezar una advertencia: aunque históricamente (y vulgarmente) se llama i a la raíz cuadrada de − 1 esta expresión no es totalmente cierta. Si así fuera obtendríamos la siguiente cadena de igualdades que no es posible,...¿verdad?

1 =

− 1 = ii = i^2 = − 1.

Suma de números complejos

v

u

u + w

Figura 2.1 La suma de números complejos es la suma usual de vecto- res en el plano

Recordemos que para dotar a un conjunto, en este caso R × R, de estructura de cuerpo se necesita una suma y un producto que verifiquen ciertas propiedades. La su- ma no es nada nuevo, es la suma de R^2 como espacio vectorial, es decir, si ( a , b ), ( c , d ) son dos elementos de R^2 , definimos su suma como

( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ).

Es evidente (por otra parte nosotros ya lo sabíamos del estudio de espacios vectoriales) que esta suma cumple las propiedades que tiene que cumplir:

1. Asociativa.
2. Conmutativa.
3. Existencia de neutro ((0, 0)).
4. Existencia de inverso (−( a , b ) = (− a , − b )). La representación gráfica de la suma es conocida. Dos números complejos z = a + ib y w = c + id determinan un paralelogramo cuya diagonal (ver figura 2.1) es z + w.

Producto de números complejos

El producto sí es nuevo. Dados ( a , b ), ( c , d ) ∈ R^2 , definimos su producto como

( a , b )( c , d ) = ( ac − bd , ad + bc ).

Tampoco es difícil comprobar que este producto es adecuado, en el sentido de que verifica las propiedades