¡Descarga Problemas de cálculo del primer parcial de Ingeniería Informática 2017/2018 - Prof. Muñoz y más Exámenes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Cálculo
1 oF Grado en Ingeniería Informática
Primer Parcial
Curso 2017/
- Calcula los límites siguientes:
a) (1.5 puntos) l´ım x→+∞ log(x)
[
log( 2 x^2 ) − log( 2 x^2 + 1 )
]
b) (1.5 puntos) l´ım x→ 0
2 − 2 cos(x) x^2
) 1 /x 2 .
Solución:
a) En primer lugar, vamos a escribir el límite de otra forma usando las propiedades de la función logaritmo y para evitar la indeterminación del tipo “∞ − ∞” que aparece por la diferencia de los dos logarimos.
l´ım x→+∞ log(x)
[
log( 2 x^2 ) − log( 2 x^2 + 1 )
]
= l´ım x→+∞ log(x) log
2 x^2 2 x^2 + 1
= l´ım x→+∞ log
[(
2 x^2 2 x^2 + 1
)log(x)]
Observamos que dentro del logaritmo tenemos una indeterminación del tipo “1∞”. Vamos a resolverla por la regla del número e:
l´ım x→+∞
2 x^2 2 x^2 + 1
)log(x) = eL^ ⇐⇒ l´ım x→+∞ log(x)
2 x^2 2 x^2 + 1
= L.
Nos ocupamos entonces del límite de la derecha:
l´ım x→+∞
log(x)
2 x^2 2 x^2 + 1
= l´ım x→+∞
log(x)
2 x^2 − 2 x^2 − 1 2 x^2 + 1
= l´ım x→+∞ log(x)
2 x^2 + 1
= l´ım x→+∞
− log(x) 2 x^2 + 1
donde hemos aplicado la regla de L’Hôpital o la escala de infinitos. Por tanto:
l´ım x→+∞ log(x)
[
log( 2 x^2 ) − log( 2 x^2 + 1 )
]
= l´ım x→+∞ log
[(
2 x^2 2 x^2 + 1
)log(x)] = log(e^0 ) = log( 1 ) = 0
b) En primer lugar, vamos a analizar el límite de la función que aparece en la base de la expresión que presenta una indeterminación del tipo “0/0”. Parta resolver dicha indeter- minacación aplicamos la regla de L’Hôpital.
l´ım x→ 0
2 − 2 cos(x) x^2
= l´ım x→ 0
2 sen(x) 2 x
= l´ım x→ 0
sen(x) x
= l´ım x→ 0
cos(x) 1
con lo que el límite pedido presenta una indeterminación del tipo “1∞”. (Hemos aplicado la regla de L’Hôpital dos veces consecutivas). Aplicamos ahora la regla del número e. Esto es, estudiamos el siguiente límite:
l´ım x→ 0
2 − 2 cos(x) x^2
) 1 /x 2 = eL^ ⇐⇒ l´ım x→ 0
x^2
2 − 2 cos(x) x^2
= L.
Para resolver el límite
l´ım x→ 0
x^2
2 − 2 cos(x) x^2
= l´ım x→ 0
2 − 2 cos(x) − x^2 x^4
aplicamos la regla de L’Hôpital, ya que presenta una indeterminación del tipo “0/0”. Nos queda entonces:
l´ım x→ 0
2 sen(x) − 2 x 4 x^3
= l´ım x→ 0
sen(x) − x 2 x^3
l´ım x→ 0
cos(x) − 1 6 x^2
= l´ım x→ 0
− sen(x) 12 x
Obsérvese que hemos aplicado la regla de L’Hôpital tres veces consecutivas. Por tanto, el límite que nos pedían es:
l´ım x→ 0
2 − 2 cos(x) x^2
) 1 /x 2 = e−^1 /^12.
- (2 puntos)
a) Determina el número de ceros de la función f (x) = 3 x^5 − 5 x^3 − 1. b) Calcula f ([ 0 , 2 ]).
Solución:
a) La función dada es continua y derivable en todo R (es una función polinómica). Al ser un polinomio de grado impar, ya podemos asegurar, gracias al teorema de Bolzano, que al menos admite un cero (Obsérvese que l´ım x→−∞ f (x) = −∞ y que l´ım x→+∞ f (x) = +∞). Para determinar el número exacto de ceros de f vamos a estudiar su derivada.
f ′(x) = 15 x^4 − 15 x^2 = 15 x^2 (x^2 − 1 ) = 15 x^2 (x + 1 )(x − 1 )
f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0 , x = 1 , x = − 1 Como consecuencia del teorema de Rolle, f tendrá, a lo sumo, cuatro ceros. Vamos a se- guir analizando los puntos críticos para determinar el número de ceros de la función. Para
- 4
4
0
(x, f (x))
Buscamos posibles puntos de extremos relativos. Para ello, calculamos puntos críticos:
g ′(x) = 1 −
x^3
x^3 − 2 x^3
⇐⇒ x^3 = 2 ⇐⇒ x =
Si utilizamos el test de la derivada segunda:
g′′(x) =
x^4
⇒ g′′^
24 /^3
por lo que se obtiene un punto de mínimo relativo. Y al ser el único punto crítico y extremo relativo que tiene la función, es el punto donde se alcanza el mínimo absoluto de g. Por tanto, las dimensiones que hacen que el perímetro sea mínimo es base igual a 3
2 y altura igual a f ( 3
- (2 puntos) El polinomio de Taylor de orden 2 centrado en el origen de una función dada f es:
1 − x +
x^2 2 Calcula el polinomio de Taylor del mismo orden y centro de la función g(x) = arctan( f (x)).
Solución: El polinomio dado es el polinomio de Taylor de orden 2 centrado en el origen de la función f ; es decir:
1 − x +
x^2 2
= P 2 (x) = f ( 0 ) + f ′( 0 )x +
f ′′( 0 ) 2!
x^2
Igualando coeficiente a coeficiente obtenemos:
f ( 0 ) = 1 f ′( 0 ) = − 1 f ′′( 0 ) 2!
⇒ f ′′( 0 ) = 1
Para calcular el polinomio de Taylor de la función g en a = 0 de orden 2 tenemos que calcular las derivadas sucesivas en el cero hasta la de orden 2. Es decir,
g(x) = arctan( f (x)) ⇒ g( 0 ) = arctan( f ( 0 )) = arctan( 1 ) =
π 4
g′(x) =
f ′(x) 1 + f (x)^2
⇒ g ′( 0 ) = −
g ′′(x) =
f ′′(x)( 1 + f (x)^2 ) − 2 f (x) f ′(x) f ′(x) ( 1 + f (x)^2 )^2
⇒ g ′′( 0 ) =
Entonces, el polinomio de Taylor pedido es:
T 2 (x) = g( 0 ) + g ′( 0 )x +
g′′( 0 ) 2!
x^2 =
π 4
x
Granada, 16 de noviembre de 2017
