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ISBN 978-84-7829-089-5

9 788478 290895

Este libro de texto está concebido para cursos de Cálculo general,

especialmente para los estudiantes de Ciencias e Ingeniería.

El objetivo de este manual es presentar el cálculo de una

forma clara, coherente y legible, y sobre todo de manera que

sus lectores lo encuentren interesante. La mejor forma de

profundizar en nuestra comprensión del cálculo es resolver

ejercicios, y convencernos de que lo hemos entendido. Este

libro contiene numerosos ejercicios, algunos de ellos son

directos, que nos ayudarán a desarrollar nuestras propias

destrezas en cálculo. Otros ejercicios están diseñados para

ampliar la teoría desarrollada en el texto y mejorar, por tanto,

nuestra comprensión de los conceptos del cálculo.

Novedades de esta edición:

• Los problemas y ejercicios están graduados por nivel de

dificultad.

• Contiene un capítulo completo dedicado a ecuaciones

diferenciales.

• Se presentan problemas que requieren el uso de un

ordenador utilizando un software de matemáticas

(como Maple o Mathematica), o bien una de hoja de

cálculo (por ejemplo, Lotus 123, Excel de Microsoft o

Quattro Pro).

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Cálculo

Adams

ISBN 978-84-7829-089-5

9 78 8 4 7 8 2 9 0 8 9 5

Robert A. Adams

Cálculo

6ª edición

6ª ed.

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Robert A. Adams

Cálculo

6ª edición

Cálculo

Sexta edición

Robert A. Adams University of British Columbia

Traducción: Inés Portillo García Universidad Pontificia de Comillas

Revisión técnica: Javier Portillo García Universidad Politécnica de Madrid

Madrid México Santafé de Bogotá Buenos Aires Caracas Lima Montevideo San Juan San José Santiago Sa˜ o Paulo Reading, Massachusetts Harlow, England

A Anne

P Preliminares ¿Qué es el cálculo? x x i x
- P.1. Los números reales y la recta real
  - Intervalos
  - El valor absoluto
  - Ecuaciones e inecuaciones con valores absolutos
- P.2. Coordenadas cartesianas del plano
  - Escalas de los ejes
  - Incrementos y distancias
  - Gráficas
  - Líneas rectas
  - Ecuaciones de la recta
- P.3. Gráficas de ecuaciones cuadráticas
  - Circunferencias y discos
  - Ecuaciones de parábolas
  - Propiedades de reflexión de las parábolas
  - Escalado de una gráfica
  - Desplazamiento de una gráfica
  - Elipses e hipérbolas
- P.4. Funciones y sus gráficas
  - Convenio para el dominio
  - Gráficas de funciones
  - Funciones pares e impares. Simetría y reflexiones
  - Reflexiones en rectas
  - Definición y dibujo de funciones con Maple
- P.5. Combinación de funciones para crear otras nuevas
  - Sumas, diferencias, productos, cocientes y múltiplos
    - Composición de funciones
    - Funciones definidas por tramos
- P.6. Polinomios y funciones racionales - Raíces y factores - Raíces y factores de polinomios cuadráticos - Factorizaciones diversas
- P.7. Las funciones trigonométricas - Identidades de utilidad - Algunos ángulos especiales - Fórmulas de sumas - Otras funciones trigonométricas - Cálculos con Maple - Repaso de trigonometría
1 Límites y continuidad
- 1.1. Ejemplos de velocidad, tasa de crecimiento y área
  - Velocidad media y velocidad instantánea
  - Crecimiento de un cultivo de algas
  - Área de un círculo
- 1.2. Límites de funciones
  - Límites unilaterales
  - Reglas para el cálculo de límites
  - El teorema del sándwich
- 1.3. Límites en el infinito y límites infinitos
  - Límites en el infinito
  - Límites en el infinito de funciones racionales
  - Límites infinitos
  - Uso de Maple para calcular límites
- 1.4. Continuidad
  - Continuidad en un punto
  - Continuidad en un intervalo
  - Existen muchas funciones continuas
  - Extensiones continuas y discontinuidades evitables
  - Funciones continuas en intervalos cerrados y finitos
  - Obtención de máximos y mínimos por métodos gráficos
  - Cálculo de raíces de ecuaciones
- 1.5. Definición formal de límite
  - Uso de la definición de límite para demostrar teoremas
  - Otras clases de límites
  - Repaso del capítulo
2 Diferenciación
- 2.1. Rectas tangentes y sus pendientes
  - Normales
- 2.2. La derivada
  - Algunas derivadas importantes
    - Notación de Leibniz
    - Diferenciales
    - Las derivadas tienen la propiedad del valor medio
  - 2.3. Reglas de diferenciación
    - Sumas y productos por constantes
    - Regla del Producto
    - Regla de la Inversa
    - Regla del Cociente
  - 2.4. Regla de la Cadena
    - Cálculo de derivadas con Maple
    - Uso de la Regla de la Cadena en las fórmulas de diferenciación
    - Demostración de la Regla de la Cadena (Teorema 6)
  - 2.5. Derivadas de funciones trigonométricas
    - Algunos límites especiales
    - Derivadas del seno y el coseno
    - Derivadas de otras funciones trigonométricas
  - 2.6. El Teorema del Valor Medio
    - Funciones crecientes y decrecientes
    - Demostración del Teorema del Valor Medio
  - 2.7. Aplicación de las derivadas
    - Aproximación de pequeños cambios
    - Velocidad de cambio media e instantánea
    - Sensibilidad a los cambios
    - Derivadas en economía
  - 2.8. Derivadas de orden superior
  - 2.9. Diferenciación implícita
    - Derivadas de orden superior
    - Regla General de la Potencia
- 2.10. Primitivas y problemas de valor inicial - Primitivas - La integral indefinida - Ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial
- 2.11. Velocidad y aceleración - Velocidad - Aceleración - Caída libre - Repaso del capítulo
3 Funciones trascendentes - 3.1. Funciones inversas - Inversión de funciones que no son uno a uno - Derivadas de funciones inversas - 3.2. Las funciones exponencial y logarítmica - Exponenciales - Logaritmos
- 3.3. La exponencial y el logaritmo natural
  - El logaritmo natural
  - La función exponencial
  - Exponenciales y logaritmos generales
  - Diferenciación logarítmica
- 3.4. Crecimiento y decrecimiento
  - Crecimiento de exponenciales y logaritmos
  - Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial
  - Interés de inversiones
  - Crecimiento logístico
- 3.5. Funciones trigonométricas inversas
  - Función inversa del seno (o arcoseno)
  - Función inversa de la tangente (o arcotangente)
  - Otras funciones trigonométricas inversas
- 3.6. Funciones hiperbólicas
  - Funciones hiperbólicas inversas
- 3.7. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes
  - Procedimiento para resolver ay ññ! by ñ! cy %
  - Movimiento armónico simple
  - Movimiento armónico amortiguado
  - Repaso del capítulo
4 Aplicaciones de las derivadas
- 4.1. Tasas relacionadas
  - Procedimiento para problemas de tasas relacionadas
- 4.2. Problemas de valores extremos
  - Valores máximo y mínimo
  - Puntos críticos, puntos singulares y extremos
  - Cálculo de valores extremos absolutos
  - El test de la primera derivada
  - Funciones no definidas en intervalos cerrados y finitos
- 4.3. Concavidad y puntos de inflexión
  - El test de la segunda derivada
- 4.4. Dibujo de la gráfica de una función
  - Asíntotas
  - Ejemplos de dibujo formal de curvas
- 4.5. Problemas de valores extremos
  - Procedimiento para resolver problemas de valores extremos
- 4.6. Cálculo de raíces de ecuaciones
  - Método de Newton
  - Iteración del punto fijo
  - Rutinas «Solve»
- 4.7. Aproximaciones lineales
  - Aproximación de valores de funciones
  - Análisis del error
- 4.8. Polinomios de Taylor
  - Fórmula de Taylor
  - Notación O
- 4.9. Formas indeterminadas
  - Reglas de l’Hoˆpital
  - Repaso del capítulo
5 Integración
- 5.1. Sumas y notación sigma
  - Cálculo de sumas
- 5.2. Áreas como límites de sumas
  - El problema básico del área
  - Cálculo de algunas áreas
- 5.3. La integral definida
  - Particiones y sumas de Riemann
  - La integral definida
  - Sumas de Riemann generales
- 5.4. Propiedades de la integral definida
  - Un Teorema del Valor Medio para integrales
  - Definición de integrales de funciones continuas por tramos
- 5.5. El Teorema Fundamental del Cálculo
- 5.6. El método de sustitución
  - Integrales trigonométricas
- 5.7. Áreas de regiones planas
  - Área entre dos curvas
  - Repaso del capítulo
6 Técnicas de integración
- 6.1. Integración por partes
  - Fórmulas de reducción
- 6.2. Sustituciones inversas
  - Las sustituciones trigonométricas inversas
  - Completar el cuadrado
  - Otras sustituciones inversas
  - El cambio tan (h/2)
- 6.3. Integrales de funciones racionales
  - Denominadores lineales y cuadráticos
  - Descomposición en fracciones simples
- 6.4. Integración mediante programas de computador o tablas
  - Uso de Maple para integración
  - Uso de tablas de integrales
- 6.5. Integrales impropias
  - Integrales impropias de tipo I
  - Integrales impropias de tipo II
  - Estimación de la convergencia y la divergencia
- 6.6. La Regla del Trapecio y la Regla del Punto Medio
  - La Regla del Trapecio
  - La Regla del Punto Medio
  - Estimaciones del error
- 6.7. La Regla de Simpson
- 6.8. Otros aspectos de la integración aproximada
  - Aproximación de integrales impropias
  - Uso de la fórmula de Taylor
  - Integración de Romberg
  - Otros métodos
  - Repaso del capítulo
7 Aplicaciones de la integración
- 7.1. Cálculo de volúmenes mediante rodajas: Sólidos de revolución
  - Cálculo de volúmenes mediante rodajas
  - Sólidos de revolución
  - Tubos cilíndricos
- 7.2. Más volúmenes mediante rodajas
- 7.3. Longitud de un arco y área de una superficie
  - Longitud de un arco
  - Longitud de arco de la gráfica de una función
  - Áreas de superficies de revolución
- 7.4. Masas, momentos y centros de masas
  - Masa y densidad
  - Momentos y centros de masas
  - Ejemplos en dos y tres dimensiones
- 7.5. Centroides
  - Teorema de Pappus
- 7.6. Otras aplicaciones en física
  - Presión hidrostática
  - Trabajo
  - Energía potencial y energía cinética
- 7.7. Aplicaciones en negocios, finanzas y ecología
  - Valor actual de una serie de pagos futuros
  - Economía de explotación de recursos renovables
- 7.8. Probabilidad
  - Variables aleatorias discretas
  - Esperanza, media, varianza, y desviación típica
  - Variables aleatorias continuas
  - La distribución normal
- 7.9. Ecuaciones diferenciales de primer orden
  - Ecuaciones separables
  - Ecuaciones lineales de primer orden
  - Repaso del capítulo
8 Cónicas, curvas paramétricas y curvas en polares
- 8.1. Cónicas
  - Parábolas
  - Propiedad focal de la parábola
  - Elipses
  - La propiedad focal de la elipse
  - Directrices de una elipse
  - Hipérbolas
  - Propiedad focal de una hipérbola
  - Clasificación de cónicas generales
- 8.2. Curvas paramétricas
  - Curvas planas generales y parametrizaciones
  - Algunas curvas planas de interés
- 8.3. Curvas paramétricas suaves y sus pendientes
  - Pendiente de una curva paramétrica
  - Dibujo de curvas paramétricas
- 8.4. Longitudes de arco y áreas de curvas paramétricas
  - Longitudes de arco y áreas de superficie
  - Áreas limitadas por curvas paramétricas
- 8.5. Coordenadas polares y curvas en polares
  - Algunas curvas en polares
  - Intersecciones de curvas en polares
  - Cónicas en polares
- 8.6. Pendientes, áreas y longitudes de arco de curvas en polares
  - Áreas limitadas por curvas en polares
  - Longitudes de arco de curvas en polares
  - Repaso del capítulo
9 Secuencias, series y series de potencias
- 9.1. Secuencias y convergencia
  - Convergencia de secuencias
- 9.2. Series infinitas
  - Serie geométrica
  - Series telescópicas y series armónicas
  - Algunos teoremas sobre series
- 9.3. Tests de convergencia para series positivas
  - El test de la integral
  - Uso de cotas de integrales para estimar la suma de una serie
  - Tests de comparación
  - Tests de la razón y de la raíz
  - Uso de cotas de la serie geométrica para estimar la suma de una serie
- 9.4. Convergencia absoluta y condicional
  - El test de la serie alternante
  - Reordenación de los términos de una serie
- 9.5. Series de potencias
  - Operaciones algebraicas en series de potencias
  - Diferenciación e integración de series de potencias
  - Cálculos con Maple
- 9.6. Series de Taylor y Maclaurin
  - Series de Maclaurin de algunas funciones elementales
  - Otras series de Taylor y Maclaurin
  - Revisión de la fórmula de Taylor
- 9.7. Aplicaciones de las series de Taylor y Maclaurin
  - Aproximación de valores de funciones
  - Funciones definidas por integrales
  - Formas indeterminadas
- 9.8. El teorema binomial y la serie binomial
  - La serie binomial
- 9.9. Series de Fourier
  - Funciones periódicas
  - Series de Fourier
  - Convergencia de la serie de Fourier
  - Serie de Fourier en cosenos y senos
  - Repaso del capítulo
tridimensional 10 Vectores y geometría de coordenadas en el espacio
- 10.1. Geometría analítica en tres dimensiones - Espacio euclídeo n -dimensional - n -dimensional Descripción de conjuntos en el plano, el espacio tridimensional y el espacio
- 10.2. Vectores - Vectores en el espacio tridimensional - Cables y cadenas que cuelgan - Producto escalar y proyecciones - Vectores en el espacio n -dimensional
- 10.3. Producto vectorial en el espacio tridimensional - Determinantes - El producto vectorial como un determinante - Aplicaciones del producto vectorial
- 10.4. Planos y rectas - Planos en el espacio tridimensional - Rectas en el espacio tridimensional - Distancias
- 10.5. Superficies cuadráticas
- 10.6. Un poco de álgebra lineal - Matrices - Determinantes e inversos de matrices - Transformaciones lineales - Ecuaciones lineales - Formas cuadráticas, autovalores y autovectores
- 10.7. Uso de Maple para cálculos con vectores y matrices - Vectores
  - Matrices
  - Ecuaciones lineales
  - Autovectores y autofunciones
  - Repaso del capítulo
11 Funciones vectoriales y curvas
- 11.1. Funciones vectoriales de una variable
  - Diferenciación de combinaciones de vectores
- 11.2. Algunas aplicaciones de la diferenciación vectorial
  - Movimiento de una masa variable
  - Movimiento circular
  - Sistemas en rotación y el efecto de Coriolis
- 11.3. Curvas y parametrizaciones
  - Parametrización de la curva de intersección de dos superficies
  - Longitud de arco
  - Curvas suaves por tramos
  - Parametrización mediante la longitud de arco
- 11.4. Curvatura, torsión y sistema de referencia de Frenet
  - El vector tangente unitario
  - Curvatura y normal unitaria
  - Torsión y binormal, fórmulas de Frenet-Serret
- 11.5. Curvatura y torsión para parametrizaciones generales
  - Aceleración tangencial y normal
  - Evolutas
  - Aplicación al diseño de vías (o carreteras)
  - Cálculos con Maple
- 11.6. Leyes de Kepler del movimiento planetario
  - Elipses en coordenadas polares
  - Componentes polares de la velocidad y la aceleración
  - Fuerzas centrales y segunda ley de Kepler
  - Obtención de las leyes de Kepler primera y tercera
  - Conservación de la energía
  - Repaso del capítulo
12 Diferenciación parcial
- 12.1. Funciones de varias variables
  - Representaciones gráficas
  - Uso de gráficos en Maple
- 12.2. Límites y continuidad
- 12.3. Derivadas parciales
  - Planos tangentes y rectas normales
  - Distancia de un punto a una superficie: un ejemplo geométrico
- 12.4. Derivadas de orden superior
  - Las ecuaciones de Laplace y de onda
- 12.5. La Regla de la Cadena
  - Funciones homogéneas
  - Derivadas de orden superior
- 12.6. Aproximaciones lineales, diferenciabilidad y diferenciales
  - Demostración de la Regla de la Cadena
  - Diferenciales
  - Funciones de un espacio de n dimensiones en un espacio de m dimensiones
- 12.7. Gradientes y derivadas direccionales
  - Derivadas direccionales
  - Tasas de cambio percibidas por un observador en movimiento
  - El gradiente en tres y más dimensiones
- 12.8. Funciones implícitas
  - Sistemas de ecuaciones
  - Determinantes jacobianos
  - El Teorema de la Función Implícita
- 12.9. Aproximaciones mediante series de Taylor
  - Aproximación de funciones implícitas
  - Repaso del capítulo
13 Aplicaciones de las derivadas parciales
- 13.1. Valores extremos
  - Clasificación de los puntos críticos
- 13.2. Valores extremos de funciones definidas en dominios restringidos
  - Programación lineal
- 13.3. Multiplicadores de Lagrange
  - El método de los multiplicadores de Lagrange
  - Problemas con más de una restricción
  - Programación no lineal
- 13.4. El método de los mínimos cuadrados
  - Regresión lineal
  - Aplicaciones del método de los mínimos cuadrados a integrales
- 13.5. Problemas paramétricos
  - Diferenciación de integrales con parámetros
  - Envolventes
  - Ecuaciones con perturbaciones
- 13.6. Método de Newton
  - Realización del Método de Newton utilizando una hoja de cálculo
- 13.7. Cálculos con Maple
  - Resolución de sistemas de ecuaciones
  - Búsqueda y clasificación de puntos críticos
  - Repaso del capítulo
14 Integración múltiple
- 14.1. Integrales dobles
  - Integrales dobles en dominios más generales
  - Propiedades de la integral doble
  - Resolución de integrales dobles por inspección
- 14.2. Iteración de integrales dobles en coordenadas cartesianas
- 14.3. Integrales impropias y un teorema del valor medio
  - Integrales impropias de funciones positivas
  - Un teorema del valor medio para integrales dobles
- 14.4. Integrales dobles en coordenadas polares
  - Cambio de variables en integrales dobles
- 14.5. Integrales triples
- 14.6. Cambio de variables en integrales triples
  - Coordenadas cilíndricas
  - Coordenadas esféricas
- 14.7. Aplicaciones de las integrales múltiples
  - Área de la superficie de una gráfica
  - Atracción gravitatoria de un disco
  - Momentos y centros de masa
  - Momento de inercia
  - Repaso del capítulo
15 Campos vectoriales
- 15.1. Campos escalares y vectoriales
  - Líneas de campo (curvas integrales)
  - Campos vectoriales en coordenadas polares
- 15.2. Campos conservativos
  - Superficies y curvas equipotenciales
  - Fuentes, sumideros y dipolos
- 15.3. Integrales sobre curvas
  - Cálculo de integrales sobre curvas
- 15.4. Integrales sobre curvas de campos vectoriales
  - Dominios conexos y simplemente conexos
  - Independencia del camino
- 15.5. Superficies e integrales de superficie
  - Superficies paramétricas
  - Superficies compuestas
  - Integrales de superficie
  - Superficies suaves, normales y elementos de área
  - Cálculo de integrales de superficie
  - Atracción de una corteza esférica
- 15.6. Superficies orientadas e integrales de flujo
  - Superficies orientadas
  - Flujo de un campo vectorial por una superficie
  - Repaso del capítulo
16 Cálculo vectorial
- 16.1. Gradiente, divergencia y rotacional
  - Interpretación de la divergencia
  - Distribuciones y funciones delta
  - Interpretación del rotacional
- 16.2. Algunas identidades con el gradiente, la divergencia y el rotacional
  - Potencial escalar y potencial vector
  - Cálculos con Maple
- 16.3. El Teorema de Green en el plano
  - El Teorema de la Divergencia en dos dimensiones
- 16.4. El Teorema de la Divergencia en el espacio tridimensional
  - Variantes del Teorema de la Divergencia
- 16.5. El Teorema de Stokes
- 16.6. Algunas aplicaciones en Física del cálculo vectorial
  - Dinámica de fluidos
  - Electromagnetismo
  - Electrostática
  - Magnetostática
  - Ecuaciones de Maxwell
- 16.7. Coordenadas curvilíneas ortogonales
  - Curvas coordenadas y superficies coordenadas
  - Factores de escala y elementos diferenciales
  - Grad, div y rot en coordenadas curvilíneas ortogonales
  - Repaso del capítulo
17 Ecuaciones diferenciales ordinarias
- 17.1. Clasificación de las ecuaciones diferenciales
- 17.2. Solución de ecuaciones de primer orden
  - Ecuaciones separables
  - Ecuaciones homogéneas de primer orden
  - Ecuaciones exactas
  - Factores de integración
  - Ecuaciones lineales de primero orden
- 17.3. Existencia, unicidad y métodos numéricos
  - Existencia y unicidad de soluciones
  - Métodos numéricos
- 17.4. Ecuaciones diferenciales de segundo orden
  - Ecuaciones reducibles a primer orden
  - Ecuaciones lineales de segundo orden
- 17.5. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
  - Ecuaciones de orden superior con coeficientes constantes
  - Ecuaciones de Euler (equidimensionales)
- 17.6. Ecuaciones lineales no homogéneas
  - Resonancia
  - Variación de parámetros
  - Cálculos con Maple
- 17.7. Soluciones de ecuaciones diferenciales basadas en series
  - Repaso del capítulo
- Apéndice I. Números complejos
  - Definición de números complejos

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