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C´alculo de l´ımites
En el c´alculo de l´ımites: Son indeterminaciones aquellas expresiones en las que, al sustituir en
ellas x por el valor al que tiende, se obtiene alguna de las siguientes relaciones:
, ∞^0 , 00 , 1 ∞
No son indeterminaciones aquellas expresiones donde, al sustituir en
ellas x por el valor al que tiende, se obtiene alguna de las siguientes relaciones
(siendo k una constante distinta de cero):
0
k
k
0
k
k
∞
A. Indeterminaci´on ∞ − ∞
En la mayor´ıa de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo
l´ım x→ 1
x + 1
x − 1
x 2
x^2 − 1
= l´ım x→ 1
(x + 1) 2 − x 2
x^2 − 1
= l´ım x→ 1
2 x + 1
x^2 − 1
l´ım x→ 1 +
2 x + 1
x^2 − 1
l´ım x→ 1 −
2 x + 1
x^2 − 1
⇒ x = 1 as´ıntota vertical de ramas divergentes.
En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta
con multiplicar y dividir por la expresi´on radical conjugada.
Ejemplo
l´ım x→+∞
(x−
x^2 + 1) = l´ım x→+∞
(x −
x^2 + 1)(x +
x^2 + 1)
x +
x^2 + 1
= l´ım x→+∞
x^2 − (x^2 + 1)
x +
x^2 + 1
= l´ım x→+∞
x^2 − x^2 − 1
x +
x^2 + 1
= l´ım x→+∞
x +
x^2 + 1
B. Indeterminaci´on 0 · ∞
En la mayor´ıa de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo
l´ım x→ 0
x^2
x − 1
x + 1
x^2
= l´ım x→ 0
x + 1
x − 1
C. Indeterminaci´on
Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer fac-
torialmente el numerador y el denominador.
Ejemplo
l´ım x→ 1
x^3 − 1
x^2 − 1
= l´ım x→ 1
(x − 1)(x^2 + x + 1)
(x + 1)(x − 1)
= l´ım x→ 1
x^2 + x + 1
x + 1
En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta
con multiplicar y dividir por la expresi´on radical conjugada.
Ejemplo
l´ım x→ 0
x
1 −
1 − x
= l´ım x→ 0
x(1 +
1 − x)
(1 −
1 − x)(1 +
1 − x)
= l´ım x→ 0
x(1 +
1 − x)
1 − 1 + x
= l´ım x→ 0
1 − x) = 2
Notas importantes
1. Indeterminaciones de las formas
Se resuelven mediante aplicaci´on de la regla de L’Hˆopital:
l´ım x→x 0
f (x)
g(x)
= l´ım x→x 0
f ′(x)
g′(x)
Ejemplos
l´ım x→∞
ln x
x
= l´ım x→∞
x 1
= l´ım x→∞
x
2. Indeterminaci´on de la forma 0 · ∞
Se convierten a la forma anterior, mediante la transformaci´on:
l´ım x→x 0
(f (x) · g(x)) = l´ım x→x 0
f (x) 1
g(x)
Utilizar L’Hˆopital a continuaci´on.
Ejemplos
l´ım x→ π 2
e tan x cos x = l´ım x→ π 2
etan^ x 1
cos x
= l´ım x→ π 2
cos^2 x
etan^ x
sin x
cos^2 x
= l´ım x→ π 2
etan^ x
sin x
3. Indeterminaci´on de la forma ∞ − ∞
Pueden convertirse a la forma
a trav´es de las siguientes transfor-
maciones
l´ım x→x 0
(f (x) − g(x)) = l´ım x→x 0
g(x)
f (x) 1
g(x)
f (x)
l´ım x→x 0
(f (x) − g(x)) = l´ım x→x 0
(f (x) − g(x))(f (x) + g(x))
f (x) + g(x)
= l´ım x→x 0
f (x)^2 − g(x)^2
f (x) + g(x)
Ejemplo
l´ım x→∞
x − 1 −
x + 1) = l´ım x→∞
x − 1 −
x + 1)(
x − 1 +
x + 1) √ x − 1 +
x + 1
= l´ım x→∞
x − 1 +
x + 1
4. Resoluci´on de indeterminaciones mediante
equivalencias
En ocasiones resulta ´util el empleo de sustituciones de infinit´esimos o infi-
nitos equivalentes para resolver distintas indeterminaciones. As´ı por ejemplo,
cuando x tiende a cero se verifican las siguientes equivalencias:
sin x → x tan x → x 1 − cos x →
x^2
2
ln(1 + x) → x
arcsin x → x arctan x → x a x − 1 → x ln a
Ejercicios
- l´ım x→∞
4 x − 1
x + 2
Sol: 4
- l´ım x→ 0
1 − cos x
x
Sol: 0
