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EGULR SANMARCOS 2014 ARII– 11 ÍAMETRGONOTRI 0 EMAT
SnII2T
TrIGonomETrÍa
TEma 0
ÁnGULo TrIGonomÉTrIco
DESARROLLO DEL TEMA
I. ConCepto
Es la figura geométrica generada en un plano “P” por la rotación de un rayo contenido en él, alrededor de su origen (vértice del ángulo) desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final).
P
Lado
final
Lado inicial (^) A
B
O
vértice (^) q
II. RotaCIones
A. Giro Horario B. Giro Antihorario
O A
B
b
O A
B
q
- “ b” es una medida angular negativa
- “ q” es una medida angular positiva
III. aMpLItUD De GIRo
- ∞ < m ∠ trigonométrico < + ∞
Iv. ánGULo De Una vUeLta
O AB
O AB
v. sIsteMas De MeDIDas anGULaRes
A. Sistema Sexagesimal (Inglés)
Equivalencias
1° < > 60' 1' < > 60'' m∠1V = 360°
Notación Angular A° + B´ + C" = A° B' C"
- B y C deben ser menos que 60
B. Sistema Centesimal (Francés)
Equivalencias
1 g^ < > 100 m^ 1 m^ < > 100 s^ m∠1V = 400°
Notación angular X g^ + Y m^ + Z s^ = X g^ Y m^ Z s
- Y y Z deben ser menores que 100
C. Sistema Radial (Circular o Internacional)
Su unidad angular es el radián cuya representación es 1rad. Un radián es la medida del ángulo en el centro de una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio.
m∠1V = 2 prad
D. Relación entre los sistemas
La medida del ángulo de una vuelta en los tres siste- mas es:
m∠1V : 360° < > 400 g^ < > 2 prad
Simplificando obtenemos:
180° < > 200 g^ < > prad y 9° < > 10 g
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
0 MATE AETRÍONOMTRIG 2 2 EGULR SANMARCOS 2014 ARII–
Problema 1 Del gráfico mostrado, calcular "x"
(5x – 9)° 160 g
A
B
O
A) 26 B) 25 C) –
D) – 27 E) – 17
Resolución: Del grafico: (5x – 9)° < > – 160g Recordad: a°< >b g^ ⇒ a 9
b 10
5x – 9 9
= (^) 10 5x – 9 = – 144 x = – 27
Respuesta: –
Problema 2 Del triángulo mostrado, calcular la medida del ángulo "B" en radianes.
9x°
B
A C
10x^ g 9
px^ rad 30
A) p 3
rad
B) p 4
rad
C) p 2
rad
D) prad
E) p 7 rad
Resolución: Transformando todos los ángulos al sistema sexagesimal.
A =. = 3x °
10x g 3
g g 10 g B = 9x°
C = px. = 6x ° 30
prad
3x° + 9x° + 6x° = 180° ⇒ x = 10
⇒ A + B + C = 180°
∴ __ b = 90° < > p 2
rad
Respuesta: p
rad
Problema 3 En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos miden (40n) g^ y (24n) ° .¿Cuál es el valor de "n"?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 1
E) 3
Resolución: Graficando notamos que para operar los ángulos deben estar en las mismas unidades.
(40n) g
(24n) ° B
C
A
C = (40n) g.^9 ° 10 g^
= (36n)°
Sabemos: A + C = 96° Entonces: (24n)° + (36n)° = 90° 60n = 90 ∴ n =^3 2
Respuesta: ∴n =^3
pRoBLeMas ResUeLtos
1. Calcular el equivalente en sexagesi- males de:
I. 3 prad 10
II. 4 prad 9 A) 45º y 90º B) 48º y 86º C) 36º y 80º D) 18º y 76º E) 54º y 80º
2. Del gráfico, determinar una relación entre α, b y q.
q
α b
A) α – b + q = – 360° B) α + b – q = 360° C) α + b + θ = 360° D) α – b – q = 360° E) α + b – q = – 360°
3. Simplificar:
b g^ (5b) m 7b m
E =
A) 11 B) 13
C) 15 D) 17
E) 19
4. Calcular: a + b + c sabiendo que: AºB’C’’ = 7º42’38’’ + 19º34’51’’ A) 70 B) 71 C) 72 D) 73 E) 74
pRoBLeMas De CLase
SANMARCOSREGULAR2014–II 11 ÍAMETRGONOTRI 1 EMAT
SNII2T
TRIGONOMETRÍA TEMA 1
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
Y SECTOR CIRCULAR
DESARROLLO DEL TEMA
I. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Tomando como referencia un plano, el ángulo trigonométrico es aquella figura que se genera por rotación de un rayo alrededor de su origen, desde una posición inicial hasta una posición final.
Origen
Antihorario ( + )
Horario ( – )
Lado final
Lado final
Lado inicial
Nota: Todo ángulo trigonométrico es orientado, es decir, sus medidas pueden ser positivas o negativas.
II. EXTENSIÓN
Sea q la medida de un ángulo trigonométrico.
L.F.
L.I.
+ ∞ L.F.
L.I.
- ∞ < q < ∞
III. SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLÉS)
Unidad: Grado sexagesimal (1°)
m ] 9 = 360°
Equivalentes menores
1° <> 60' 1' <> 60" 1° <> 3600"
Nota: Debes tener en cuenta: a ° b ' c ''^ <>a °+ b '^ + c '' x g^ y m^ z s^ <> x g^ + y m+ z s Para realizar operaciones con ángulos trigonométricos, estos deberán estar en el mismo sentido. Se cumple:
q (^) a
- q a – q = 180°
a + ( – q) = 180°
IV. SISTEMA CENTESIMAL (FRANCÉS)
Unidad: Grado centesimal (1 g )
m ] 9 = 400 g
Equivalentes menores
1 g^ <> 100 m^ 1 m^ <> 100 s^ 1 g^ <> 10 000 s
V. SISTEMA RADIAL – CIRCULAR – INTER-
NACIONAL
Unidad: Un radián (1 rad)
O
r
r
q r
q = 1 rad
El radián se define como la medida de un ángulo central que subtiene un arco de igual longitud que el radio de la circunferencia.
m ] 9 = 2 prad
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR
1 MATE AETRÍONOMTRIG 2 2 SANMARCOSREGULAR2014–II
Nota: El valor de (p) no es exacto, es irracional. Los valores aproximados son:
p ≈ 3,
p ≈ 22 7 p ≈ 3 +^2 p ≈ 10
VI. EQUIVALENCIA ANGULARES NOTABLES
m ] 9 = 360° <> 400 g^ <> 2prad m = 180° <> 200 g^ <> prad
⇒ 180° <> prad 200 g^ <> prad
9° <> 10 g
VII. FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN
S: número de grados sexagesimales C: número de grados centesimales r: número de radianes
Números convencionales 1442443
A.
S
C
R
p
= = = K
S = 180k C = 200k R = kp
B. S
C
R
p/
= = (^) = n
S = 9n C = 10n R = np 20
C. Fórmula simplificada:
S
C
S
C
Nota: Para situaciones problemáticas, por lo general, si se observan los 3 números convencionales, es conveniente la constante (k), y, si aparece solo S y C, es conveniente la constante (n).
I. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Circunferencia
Círculo
R
Longitud de la circunferencia: L = 2 pR
Área de círculo: A = pR^2
II. LONGITUD DE ARCO
Sea q la medida de un ángulo trigonométrico.
R
R
qradL
Fórmula básica
L = qR
0 < q ≤ 2 p
q R
L
III. NÚMERO DE VUELTAS QUE GIRA UNA
RUEDA SIN RESBALAR
r r
L R
n: N.° de vueltas: (^) n = L R 2 pr
L R : Longitud del recorrido
Nota: En el sector circular, la medida del ángulo central siempre debe estar expresada en radianes; entonces, es importante recordar: p rad <> 180° <> 200 g
SECTOR CIRCULAR
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR
1 MATE AETRÍONOMTRIG 4 4 SANMARCOSREGULAR2014–II
Problema 3
5u
A
O (^2) qq
C
D
B
F E
5u
Del gráfico mostrado AOB y COD son sectores circulares. Indique el perímetro del sector circular COD. A) 27 u B) 26 u C) 25 u
D) 28 u E) 24 u PRE UNMSM 2013–II
Resolución: En el sector circular AOF → (5) = (2q)(5)
2 q = 1 1 = (^) 2 q rad
En el sector circular COD → EC = (1)(8) = 8 u En el sector circular EOD →
ED =
J
K
L
N
O
P
(8) = 4 u
Graficando el sector COD
O
C
D
Perímetro = 28
Respuesta: 28 u
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN
1. Si se cumple: (5x + 6)° <> (10x + 4) g calcule el valor de (x) A) 1/5 B) 2 C) 3/ D) 3 E) 5 2. En base a los datos de la figura mostrada AOB y COD son sectores circulares.
y
B
A
C
D
O^14
x
Calcule: 22x y
M = 3
N
O
P
x + y x – y
J
K
L
A) –1 B) –2 C) –
D) –4 E) –
3. Sabiendo que AOB es un sector circular, además OA = 8 u
A
O B
150 g
Calcule el área del sector circular. A) pu^2 B) 2 pu^2 C) 3 pu^2
D) 3 p 2
u^2 E) 2 p 3
u^2
4. Siendo S y C lo convencional para una medida angular, indique el valor de: pS + pC + 20R 0,2(pC – pS)
M =
A) 5 B) ± 5 C) 10
D) ± 10 E) 20
5. El promedio de los números convencionales de una medida angular resulta (380 + p). Calcule la medida del ángulo en el sistema centesimal. A) 200 g^ B) 300 g^ C) 400 g D) 500 g^ E) 600 g
PROFUNDIZACIÓN
6. Del gráfico mostrado indique el área del sector circular AOB.
A
O B
(x – 1)rad
(2x – 1)m
(3x + 1)m
A) 24 m^2 B) 25 m^2 C) 20 m^2 D) 26 m^2 E) 23 m^2
7. Calcule el valor de (x) sabiendo que se cumple:
5 g
(x + 3)° °^
15 g
(4x – 18)°
g <>
A) 39 B) 40 C) 41
D) 42 E) 43
8. Si (a)rad y (b)rad son complemen- tarios y se cumple a = p 4
+ 2S
b = p 5
– C
; S y C son lo conven- cional. Calcula la medida del ángulo en radianes. A) p 10
rad B) p 20
rad
C)
J
K
L
p 5
N
O
P
2 rad D)
N^2
O
P
J
K
L
p 10
rad
E)
N^2
O
P
J
K
L
p 10
rad
9. En base a los datos de la figura, calcule
N^ g O P
J
K
L
10x 3
en radianes.
(2x + 10) g^ (7 – 7x) °
A) 3 p 4
rad B) 2 p 3
rad C)
p 6 rad
D) p 5
rad E) p 4
rad
SISTEMATIZACIÓN
10. Siendo S, C y R lo convencional para una medida angular y se cumple: S + C + R 38R =^
40R
p
C – S
2(C + S)
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR
SANMARCOSREGULAR2014–II 55 ÍAMETRGONOTRI 1 AEMT
Calcule la medida del ángulo en radianes.
A) 1
rad B) 1 3
rad
C)
4 rad^ D)^
rad
E)
6 rad
11. Si el área del trapecio ABCD es 10 pu^2 ; BC = 4. Calcule el perímetro del sector circular COD.
A
B
C
O 45°
D
A) 3(p + 6) B) 3(p + 8) C) 4(p + 6) D) 4(p + 8) E) 5(p + 6)
12. Si el área del sector circular AOB y el área del trapecio circular BCDE están en la relación de 5 a 3.
Calcule el área del sector circular BOE. A
B
C
O E D
A) 107
7 p
u^2 B) 103 5 p
u^2
C) 93 9 p
u^2 D) 3 p 172
u^2
E) 89 p 101
u^2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
2 MATE AETRÍONOMTRIG 2 2 SANMARCOSREGULAR2014–II
IV. TANGENTE Y COTANGENTE DEL ÁN-
GULO MITAD
A B
C
a
b
c
Tan A = Csc A – Cot A 2
Cot = Csc A + Cot A
A
Demostración:
D B
A/
A/
b^ a
A c
A
b
C
- Se prolonga el lado BA hasta el punto "D" tal que AD = AC.
- Formamos un triángulo isósceles uniendo "D" y "C"
- Del triángulo DBC
Cot A = = + 2
b + c a
b a
c a
N
O
P
J
K
L
Cot A = Csc A + Cot A 2
N
O
P
J
K
L
Observación: Triángulos pitagóricos mas usados.
V. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
NOTABLES
A. Exactos
k
1 k
1 k
k
2 k
1 k
B. Aproximados
5 k
3 k
4 k
24 k
25 k
7 k
VI. TABLA DE VALORES NOTABLES
Sen 1/2 (^) 3/2 2/2 3/5 4/
Cos (^) 3/2 1/2 (^) 2/2 4/5 3/
Tan (^) 3/3 3 1 3/4 4/
Cot (^3) 3/3 1 4/3 3/
Sec (^2) 3/3 2 2 5/4 5/
Csc (^2 2) 3/3 2 5/3 5/
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
SANMARCOSREGULAR2014–II 33 ÍAMETRGONOTRI 2 AEMT
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 Halle el valor de:
N
O
P
N
P
N
P
J
K
L
Sen60° – Sen30° (^3) Sen60° + Sen30°
2– (^3)
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 3
UNMSM 2014–I
Resolución: Planteamiento Sabemos:
k
k 2k
Procedimiento Sea:
P = 2 +
N
O
P
N
P
N
P
J
K
L
Sen60° – Sen30° (^3) Sen60° + Sen30°
2– (^3)
P =
J K K L J K K L
J K K L J K K L
2 NP^ +^^3 NP
2– (^3)
-
P = 2 NP + 3 NP
J
K
K
K
L
J
K
K
K
L
2– (^3)
- +
Se racionaliza
P = 2 NP + 3 NP
J
K
K
K
L
J
K
K
K
L
J
K
K
K
L
J
K
K
K
L
2– (^3)
**- –
P =
2– (^3)
2 NP + NP
J
K
L
J
K
3 L
2 3 –
P = (2 + 3 ) (2 – 3
2– (^3)
P = 1 →∴ P = 1
2– (^3)
Respuesta: 1
Problema 2 En el triángulo BAC de la figura, AC = b cm y BC – AB = k cm donde b > k, halle Tg a 2
N
O
P
J
K
L
A B
C
a
A) 2k B) kb C) k b D) k a
E) 1
UNMSM 2012–I
Resolución:
Análisis de datos
Sabemos:
Tg q 2
N
O
P
J
K
L
= Cscq – Cotq
Operación del Problema
A B
C
a b
c
a
Tg a 2
N
O
P
J
K
L
= Csca – Cota
Del gráfico
Tg a 2
N
O
P
J
K
L
= a b
- c b
Tg a 2
N
O
P
J
K
L
= a^ –^ c b
; por dato (a – c = k)
Tg a 2
N
O
P
J
K
L
= k b
Respuesta: k
b
Problema 3 En la figura, AD = 12cm, Halle BC
C
B
A D
A) 3 3 B) 3( 3 + 1)
C) 2 3 D) 3 – 1
E) 3( 3 – 1)
UNMSM 2009–I
Resolución: Análisis de datos:
A C
B
P
D
x
Se traza DP ⊥ AB
APD notable (30° y 60°)
→ AP = 6 3 y DP = 6
DPB notable 45°
→ PB = 6
En el ABC
Sen30° = x 6 3 + 6
Respuesta : 3( 3 + 1)
SANMARCOSREGULAR2014–II 11 ÍAMETRGONOTRI 3 EMAT
SNII2T
TRIGONOMETRÍA TEMA 3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
DESARROLLO DEL TEMA
I. INTRODUCCIÓN
Sabemos que todo triángulo tiene seis elementos básicos, tres lados y tres ángulos. Además otros elementos auxiliares como alturas, medianas, bisectrices, ..., etc. Resolver un triángulo consiste fundamentalmente en hallar los elementos básicos de este, para lo cual debemos conocer por lo menos tres de sus elementos (necesariamente uno de ellos no angular).
II. TRES CASOS
1.er^ Caso
Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo.
q
a y
x
Para “x” x a
= Cosq → x = aCosq
Para “y” y a
= Senq → y = aSenq
2.do^ Caso
Conociendo un ángulo agudo y longitud de su cateto opuesto.
q
y a
x
Para “x” x a
= Cotq → x = aCotq
Para “y” y a
= Cscq → y = aCscq
3.er^ Caso
Conociendo un ángulo agudo y la longitud de su cateto adyacente.
q
y x
a
Para “x” x a
= Tanq → x = aTanq
Para “y” y a
= Secq → y = aSecq
III. ÁREA DE REGIÓN TRIANGULAR
q
a
b
S S^ =^
a.b 2
Senq
Ejemplo: Calcule el área de la región triangular ABC, sabiendo que AB = 5 cm, AC = 6 cm y el ángulo comprendido entre dichos lados es igual a 37°. Resolución:
S =^1
. 5. 6 Sen37°
S =^1
J
K
L
N
O
P
S = 9 u^2
IV. LEY DE PROYECCIONES
En todo triángulo ABC; se cumple:
c a
A b
B
C
aCosB + bCosA = c
bCosC + cCosB = a
aCosC + cCosA = b
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
3 MATE AETRÍONOMTRIG 2 2 SANMARCOSREGULAR2014–II
Problema 1 De la figura S 1 y S 2 : áreas. Calcular S^1 S 2
q q
S 1
S 2
A) Senq B) Cosq C) Sec2q D) Csc2q E) Sen2q
Resolución: Sabemos
a (^) b S
q
S = ab 2
Senq
asignamos variables en la figura:
q q
S 1
S 2
a
b
n
Aplicando fórmula:
S 1 S 2
an 3
Senq
bn 3
Senq
= a b
De la figura: S 1 S 2
= Sec2q
Respuesta: Sec2 q
Problema 2
De la figura AC = DE = a
a
q
A E B
C
D
DC = b. Halla b/a. A) (Sena – Cosq) B) (Csca – Secq) C) (Tga – Ctgq) D) (Csca – Cosq) E) (Cosq – Csca)
Análisis del problema: Se sabe:
q
m mSenq
mCosq Resolución:
a
q
A
a
a
E B
C
D
b
aCosq
aSena
En el triángulo ABC, BC a
= Cosq → BC = aCosq
En el triángulo EBD, BD a =^ Senq^ →^ BD^ =^ aSenq
aSena = aCosq + b → a(Sena – Cosq) = b
→ Sena – Cosq =
b a
Respuesta: (Sen a – Cos q )
Problema 3 Dado un triángulo ABC y siendo "p" el semi-perímetro determinar qué repre- senta la siguiente expresión: K = (a + b)CosC + (a + c)CosB + (b + c)CosA A) 2p B) p C) p + a D) p – a E) p + b
Resolución: De acuerdo con la ley de proyecciones, se sabe: Dado el triángulo ABC: aCosB + bCosA = c aCosC + cCosA = b bCosC + cCosB = a
Planteamiento Aplicando la propiedad distributiva: K = aCosC + bCosC + aCosB + cCosB + bCosA + cCosA
Análisis de los datos Agrupando convencionalmente: K = (aCosC + cCosA) + (bCosC + cCosB) + 14444244443 14444244443 b a (aCosB + bCosA) 14444244443 c K = a + b + c k: perímetro
Respuesta: 2p
PROBLEMAS RESUELTOS
Prueba: Trazando una altura y aplicando uno de los casos mencionados anteriormente llegamos a:
A
A
cCosA aCosC
B
C
c a
C
b
Se concluye: cCosA + aCosC = b
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
3 MATE AETRÍONOMTRIG 4 4 SANMARCOSREGULAR2014–II
SISTEMATIZACIÓN
10. Siendo “q” la medida del ángulo que forman las diagonales de un cubo. Calcule. 9Sen^2 q A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 11. De la figura mostradas; AM = MC; calcule: Tana – 2Tanb
B
A
N C
a M
b
A) Senb B) Cotb C) Cosb D) Tanb E) Cscb
12. Del gráfico adjunto calcule el valor de Cotb –^3 Cota
Dado: AB = 8 y BD = EC = 2
b
a A 30°
B
D
C
E
A) 7 +^3 B) 9 +^3
C) 7 –^3 D) 9 –^3
E) 7 –^3
SANMARCOSREGULAR2014–II 11 ÍAMETRGONOTRI 4 EMAT
SNII2T
TRIGONOMETRÍA TEMA 4
GEOMETRÍA ANALÍTICA -
ECUACIÓN DE LA RECTA I
I. CONCEPTO
Sistema formado por dos rectas numéricas que se inter- sectan en un punto de coordenadas (o;o), llamado origen de coordenadas y forman un ángulo recto. Al plano que lo determina se le llama "Plano Cartesiano" en honor a René Descartes y está dividido en 4 regiones llamadas cuadrantes (C).
Segundo cuadrante Primer cuadrante
Cuarto cuadrante Tercer cuandrante
x' x
y
y'
O
Donde:
x 'x (^) : Eje de los abscisas
y 'y (^) : Eje de las ordenadas
O: Origen de coordenadas
II. UBICACIÓN DE UN PUNTO
A cada punto del plano cartesiano le corresponde un par ordenado (x ; y) llamados "Coordenadas cartesianas".
y y
x O x
Abcisa
radio vector
Ordenado
III. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Sean las coordenadas de dos puntos cualesquiera P 1 (x 1 ; y 1 ) y P 2 (x 2 ; y 2 ) del plano cartesiano la distancia "d" comprendida entre ellos se determinan por:
P 2 (x 2 ; y 2 )
P 1 (x 1 ; y 1 )
d
y
x
d = (x^1 – x^2 )^2 + (y^1 – y^2 )^2
IV. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA
RAZÓN INDICADA
A(x 1 ; y 1 )
B(x 2 ; y 2 )
mk P nk
P = nA + mB n + m
V. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO
DE UN SEGMENTO
Si M(x 0 ;y 0 ) es el punto medio del segmento que tiene por extremos: P 1 (x 1 ; y 1 ) y P 2 (x 2 ; y 2 ). Entonces las coordenadas del punto M se determina así:
M(x 0 ; y 0 )
P 2 (x 2 ; y 2 )
P 1 (x 1 ; y 1 )
x 0 =
x 1 + x 2 2
y 0 =
y 1 + y 2 2
DESARROLLO DEL TEMA
GEOMETRÍA ANALÍTICA - ECUACIÓN DE LA RECTA I
SANMARCOSREGULAR2014–II 33 ÍAMETRGONOTRI 4 AEMT
B. Conociendo los interceptos con los ejes coor-
denadas
Y
L
X
O
b
a
(Ecuación simétrica)
x a
y + (^) b = (^) 1
C. Ecuación general de la recta
La ecuación general de una recta se representa así:
Ax + By + C = 0 A, B, C ∈ R
De esta, se deduce que la pendiente:
m = – ; B ≠ 0
A
B
D. Rectas paralelas y perpendiculares
Dada dos rectas no verticales L 1 y L 2 son paralelas si y sólo si tiene igual pendiente. Y (^) L 1
L 2
O
m 1 = m (^2)
Dadas dos rectas no verticales L1 y L2 son perpendiculares si y sólo sí el producto de sus pendientes es –1.
Problema 1 Determine as coordenadas del punto P.
n
2n
B(7; 4)
A(1; 1)
P(x, y)
A) (3; 2) B) (2, 1) C) (5; 2)
D) ( – 3; 2) E) (2; 3)
Resolución:
2n
n P(x, y)
B(7, 4)
A(1, 1)
De la figura: 2A + 1. B = (2 + 1)P
2(1; 1) + 1(7; 4) = 3P
(3; 2) = P
(9; 6) = 3P
(2; 2) + (7; 4) = 3P
Respuesta: (3;2)
Problema 2 Calcular la pendiente de la recta L. Si BC = 2AB. y
x
D
L
1
C
B
A(3; 0)
A) 2/11 B) 3/4 C) 11/
D) 2/7 E) 7/
Resolución: y
x
D(11; 6)
L 1
C
B
A(3; 0)
O
De la figura: OB = 4; OA = 3M; AB = 5 Desde el punto trazamos un perpendicular al eje "x". La recta 1 pasa por los puntos B y D. Cálculo de pendiente.
m = =
Respuesta: 2/
Problema 3 Determine el área de una región triangular limitada por los ejes cartesianos y la recta. L = 2x – 3y – 60 = 0 A) 100 m^2 B) 200 m^2 C) 300 m^2 D) 400 m^2 E) 500 m^2
Resolución: 2x – 3y – 60 = 0 →Tabulando: Para x = 0 Graficando:
S = 300m^2
S = (30)(20)
S
(^30) x
y
2(0) – 3y – 60 = 0 y = –20 ⇒ (0; –20) Para y = 0 2x – 3(0) – 60 = 0 x = 30 ⇒ (30; 0)
PROBLEMAS RESUELTOS
GEOMETRÍA ANALÍTICA - ECUACIÓN DE LA RECTA I
4 MATE AETRÍONOMTRIG 4 4 SANMARCOSREGULAR2014–II
EJERCITACIÓN
1. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (–2; 2) y sea paralela a la recta L: x – y – 3 = 0 A) y = x + 4 B) y = –x + 4 C) y = 2x + 1 D) y = 2x – 1 E) y = –x + 1 2. Si los puntos A(2; 3); B(4; 6); C(6; 1) forman un triángulo ABC. Determine la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al lado AC. A) y = 3x + 1 B) y = 2x – 2 C) y = y – 4 D) y = 2x + 1 E) y = 2x – 3 3. Del gráfico mostrado, determine las coordenadas del punto P.
A(1; 1)
B
C(7; 4)
S
2S
A) (2, 3) B) (2, 5/2)
C) (4, 2) D) (3; 2)
E) (4; 3)
4. Los puntos M(1/3; 4) y P(8/3; 5) son los puntos de trisección del segmentos AB. Calcule la longitud del segmento AB.
A) 6 B) 7
C) 8 D) 57
E) 58
5. Calcule la distancia entre los puntos P(a + 1; b + 4), Q (a + 5, b + 1). A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
PROFUNDIZACIÓN
6. Determine el ángulo de inclinación de la recta L: x + y + 8 = 0. A) 30° B) 75° C) 105° D) 120° E) 135° 7. Determine el punto en el eje de ordenadas que equidistan de los puntos (3; 1) y (6; 4). A) (0; 3) B) (0; 4) C) (0; 5) D) (0; 6) E) (0; 7) 8. Calcular las coordenadas del punto medio del segmentos AB, si: A(a + 3; b + 4) A) (2; 3) B) (3; 2) C) (5; 3) D) (5; 5) E) (5; 4) 9. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (–1; 2) y que tiene como pendiente 2/3. A) 2x + 3y + 8 = 0 B) 2x + 3y – 8 = 0 C) 2x – 3y + 8 = 0 D) 2x – 3y – 8 = 0 E) 2x – 3y – 4 = 0
SISTEMATIZACIÓN
10. Determine la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto de intersección de las rectas: L 1 : 32x – 27y + 2 = 0 y L 2 : 23x + 15y – 8 = 0 A) 161x – 93y = 0 B) 151x + 91y = 0 C) 163x + 91y = 0 D) 127x – 91y = 0 E) 151x – 93y = 0 11. Las rectas: L 1 : x – y + 2 = 0; L 2 : x + 2y – 7 = 0 y los tres puntos de intersección forman un triángulo. Calcule la tangente del menor ángulo interior. A) 1/ B) 1/ C) 3/ D) 1 E) 4/ 12. Si los vértices de una región triangular son A(–3; –6), B(6; 9) y C(3; 12), determine la ecuación de la recta paralela a AB y que pasa por el baricentro de la región triangular mencionada. A) 5x + 3y + 5 = 0 B) 5x – 3y – 5 = 0 C) 5x – 3y + 5 = 0 D) 5x + 3y – 5 = 0 E) 5x + 3y + 15 = 0
PROBLEMAS DE CLASE
