¡Descarga TRIGONOMETRIA PAMER 2018 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
ARITMÉTICA
TEMA 1
RAZONESYPROPORCIONES
DESARROLLO DEL TEMA
I. RAZÓN
Es la comparación entre dos cantidades, la misma que se establece a través de dos operaciones matemáticas lo cual determina las dos clases de razones.
A. Razón aritmética
Es la comparación de dos cantidades mediante una diferencia. Sean a y b los números, con a mayor que b, tenemos:
a – b = r
Donde: a : Antecedente b : Consecuente r : valor de la razón
Ejemplo: Si Alejandra tiene 10 años y su hermana María tiene 8 años se puede establecer que la razón aritmética de sus edades es 2, es decir:
10 – 8 = 2 Lo cual representa que:
- María es excedida por Alejandra en 2 años.
- Alejandra excede a María en 2 años.
- Alejandra es mayor que María en 2 años.
B. Razón geométrica
Es la comparación de dos cantidades mediante la división de dichas cantidades. Sean a y b los números, entonces: a b
= k
Donde: a : Antecedente b: Consecuente k : valor de la razón
Ejemplo:
La expresión a b
indica o representa:
- La razón geométrica de a y b es 2/7.
- "a" es a "b" como 2 es a 7.
- "a" y "b" son entre sí como 2 es a 7.
- "a" y "b" están en la relación de 2 a 7.
- Por cada 2 unidades de "a" hay 7 unidades de "b".
Recuerda: A partir de aquí en adelante al término razón y no especificar de que clase es, hablaremos de la razón geométrica
C. Series de razones geométricas equivalentes
(SRGE)
Es un conjunto de razones todas iguales entre sí que poseen el mismo valor el cual se convierte en el valor de toda la serie.
a b
= c d
= ... = m n
= k
Propiedades
a + c + ... + m b + d + ... + n
= k
a × c × ... × m b × d × ... × n
= ka
a: N.° de razones
Serie de Razones Geométricas Equivalentes Continuas
a b
= b c
= c d
= k
Donde: c = dk ; b = dk^2 ; a = dk^3
RAZONES Y PROPORCIONES
TEMA 1 ARITMÉTICA 2 2 SANMARCOS
II. PROPORCIÓN
Es el resultado de tener dos razones de la misma clase que tienen igual valor. Pueden ser:
A. Proporción aritmética
- Discreta Cuando los términos medios son diferentes entre sí.
a – b = c – d
a y d : extremos b y c : medios d : cuarta diferencial
- Continua Cuando los términos medios son iguales.
a – b = b – c
a y c : extremos c : tercera diferencial b : media diferencial
B. Proporción geométrica
- Discreta Es cuando los términos medios son diferentes entre sí. a b
= c d
a y d : extremos b y c : medios d : cuarta proporcional
- Continua Cuando los términos medios son iguales.
a b
= b c
a y c : extremos c : tercera proporcional b : media proporcional
Proporción Aritmética
Discreta Continua Extremos
a – b = c – d
Medios d: cuarta diferencial de a, b y c.
Extremos
a – b = b – c
Medios b: media diferencial de a y c.
b = a^ +^ c 2
c: Tercera diferencial de a y b.
Proporción Geométrica
Discreta Continua
a b
= c d d: Cuarta proporcional de a, b y c.
a b
= b c b: Media proporcional de a y c.
b = a.c
c: Tercera proporcional de a y b
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 La suma de dos números excede en 36 a su diferencia. Si el menor es respecto del mayor como 3 es a 8, el número mayor es: A) 48 B) 40 C) 32 D) 16 E) 56 UNMSM 2004-I NIVEL FÁCIL
Resolución:
⇒ (a + b) – (a – b) = 36 b = 18
⇒ b 3 =^
a 8 18 3 =^
a 8
a = 48
Respuesta: 48
Problema 2 Si dos personas tienen 40 y 30 años. ¿Dentro de cuántos años la relación de sus edades será de 6 a 5? A) 10 B) 15 C) 20 D) 22 E) 30
UNMSM 2006-II NIVEL FÁCIL
ARITMÉTICA
TEMA 2
PROMEDIOS
DESARROLLO DEL TEMA
Es una cantidad representativa de un conjunto de valores (medidas de tendencia central).
De los valores, se tiene:
a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ …… ≤ a n ↓ ↓
MENOR ≤ PROMEDIO ≤ MAYOR VALOR VALOR
I. TIPOS DE PROMEDIO
A. Promedio Aritmético o Media Aritmética (MA)
o simplemente promedio
MA =
Suma de datos Número de datos
- Dar la MA de: 7; 13 y 4 Resolución 7 + 13 + 4 3
Nota: Sea “n” números y “S” suma de los números ⇒ S = n. MA (“n” números)
B. Promedios Geométricos o Media Geométrica
(MG)
MG = Producto^ de^ los^ datos
n
n: número de datos
Resolución
- 45
3 = 15
C. Promedio Armónico o Media Armónica (MH)
MA =
Número de datos Suma inversa de datos
- Dar la MH de: 2; 6 y 12 Resolución
Propiedades
1. Para datos diferentes
MH < MG < MA
menor promedio
mayor promedio
2. Datos iguales
MH = MG = MA
3. Para dos datos
MA MG MH
a + b 2 ab^1 a
b
= 2ab a + b
Se cumple:
MG^2 = MA × MH
(a – b)^2 = 4(MA^2 – MG^2 )
4. Datos en progresión aritmética
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
PROMEDIOS
el promedio de todos los términos:
MA =
a 1 + a n 2
5. La alteración de la media aritmética
Sean los números: 3, 5 y 10
MA =
3 =^^6
Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10:
P final =
P final =
3 +^
P final = P inicial + Variación
Variación =
(Aumenta) – (Disminuye) Total datos
D. Promedio ponderado (PP) (Promedio de
Promedios)
- Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13; siendo
los pesos de cada examen 2, 1 y 3. ¿Cuál será mi nota promedio? Resolución:
NOTAS PESOS TOTAL
11 2 11 × 2
17 1 17 × 1
13 3 13 × 3
La nota promedio será: 11.2 + 17.1 + 13. 2 + 1 + 3
=^78
En general:
PP =
a 1 P 1 + a 2 P 2 + a 3 P 3 + ... + a n P n P 1 + P 2 + P 3 + ... + P n
Donde: a n : enésimo de las notas, precios, … etc. P n : enésimo de los promedios, peso frecuencias, créditos, ...., etc.
Problema 1 El promedio de 6 números es x, si se retira el mayor, el promedio se reduce en 4 unidades. Halle la diferencia entre x y el número mayor retirado. A) – 24 B) 24 C) 20 D) – 20 E) 30 UNMSM 2001 NIVEL FÁCIL Resolución:
MA(6N°) = x
∑6N° 6
= x
∑ 6N° = 6x
∑ 5N° + Mayor = 6x
∑ 5N° = 6x – Mayor .............(1)
Donde:
MA(5N°) = x – 4
∑5N° 5
= x – 4
6x – Mayor 5
= x – 4
6x – Mayor = 5x – 20
Mayor – x = 20
Respuesta: 20
Problema 2 Juan viaja de A a B y, recíprocamente de B a A con velocidades medias de 30 y 60 millas por hora; respectivamente. La velocidad media en el viaje completo es: A) 40m/h B) 50m/h C) 45m/h D) 35m/h E) 30m/h
UNMSM 2004-I NIVEL INTERMEDIO
Resolución: Como aplicación de la media armónica tenemos el cálculo de la rapidez media
V promedio = MH (Velocidades)
V promedio =^2 ×^30 ×^60 30 + 60 V promedio = 40
Respuesta: 40m/h
Problema 3 La media aritmética de 30 números es
- Si agregamos 20 números cuya suma es 600, halle la media aritmética de los 50 números. A) 30 B) 10 C) 20 D) 24 E) 60 UNMSM 2013-I NIVEL FÁCIL Resolución:
∑50N° = ∑30N° + ∑20N°
∑50N° = 30 × 20 + 600w
Donde: MA(50N°)
⇒ ∑50N°
Respuesta: 24
PROBLEMAS RESUELTOS
MAGNITUDES PROPORCIONALES
B. Magnitudes inversamente proporcionales (IP)
Ejemplo ilustrativo:
- Para pintar las 60 habitaciones idénticas de un edificio se desea contratar obreros que pinten una habitación. Al analizar cómo varía el tiempo según el número de pintores contratados, se tendrá:
N° DE PINTORES 1 2 6 30
N° DE DÍAS 60 30 10 2
x
÷ 2 ÷ 3 ÷ 5
x3 x
⇒ (# de pintores) IP (# días) Se observa: (# de pintores)(# días) = 1.60 = 2.30 = 6.10 = 30. 2 = 60
Constante
En general: Se dice que “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de A, el respectivo valor de “B” disminuye o aumenta en la mismas proporción respectivamente. La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean IP es que el producto de cada par de sus valores correspondientes sea una constante.
A I.P.B ↔ (valor de A)(valor de B) = cte.
IMPORTANTE
I. La gráfica de 2 magnitudes D.P es una recta que pasa por el origen de coordenadas II. En cualquier punto de la gráfica (excepto el origen de coordenadas) el cociente de cada par de valores correspondientes resulta una constante. III. Si tenemos que “A” DP “B”
Valores correspondientes Magnitud A a 1 a 2 a 3 .... an Magnitud B b 1 b 2 b 3 .... bn
Se verifica:
a 1 b 1
a 2 b 2
a 3 b 3
an = = = ... = (^) bn= k
IV. Si tenemos que “A” DP “B”
F(X) = mX
m: pendiente (constante)
Interpretación Geométrica
Tiempo (días) (B)
de Pintores (^) Ramal de una hipér-
bola equilátera
A × B = 60 (Constante)
IMPORTANTE:
I. La gráfica de dos magnitudes ip es una rama de hipérbola equilátera. II. En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores correspondientes resulta una constante. III. La función de proporcionalidad inversa será:
F(x) =
m x m: Constante [área del rectángulo bajo la curva] IV. Si tenemos que "A" IP "B"
Valores Correspondientes Magnitud A a 1 a 2 a 3 .... a (^) n Magnitud B b 1 b 2 b 3 .... b (^) n
Se verifica: a 1. b 1 = a 2. b 2 = a 3. b 3 =... = an. bn = k
III. PROPIEDADES DE LAS MAGNITUDES
A. Para 2 magnitudes A y B se cumple:
*A D.P B ⇔ B D.P. A
*A I.P B ⇔ B I.P. A
*A D.P B ⇔ An^ D.P. Bn *A I.P B ⇔ An^ I.P. Bn
*A D.P B ⇔ A I.P. 1 B *A I.P B ⇔ A D.P. 1 B
B. Para 3 magnitudes A, B y C se cumple:
Si: A D. P. B (C es constante) A D. P. C (B es constante) ⇒ A D. P. (B. C)
∴ A B. C En general: Sean las magnitudes: A, B, C, D y E donde:
MAGNITUDES PROPORCIONALES
TEMA 3 ARITMÉTICA 8 8 SANMARCOS
Problema 1 Se usan 4/5 de una camionada de uva para elaborar 1/5 de la producción anual de vino en cierto depósito de licor. ¿Cuántas camionadas de uvas se necesitan para elaborar el total de vino anual? A) 8 B) 2 C) 4 D) 16/ E) 8/ UNMSM 2005-I NIVEL FÁCIL Resolución:
Camionada Producción 4 5
x 1
Camionadas Producción =
= x 1
x = 4
Respuesta: 4
Problema 2 Un albañil puede construir una casa en 20 días, pero con la ayuda de su hijo pueden construirla en 15 días. Si el hijo trabajara solo, ¿en cuántos días construiría la misma casa? A) 75 B) 50 C) 40 D) 45 E) 60 UNMSM 2009-I NIVEL INTERMEDIO Resolución: Obra x persona Días A 20 A + H 15 H X
Obra por persona × días A × 20 = (A + H) × 15 = H × X A × 4 = A × 3 + H × 3 A = 3H Donde: A × 20 = H × X 3H × 20 = H × X X = 60
Respuesta: 60
Problema 3 Pedro realiza un trabajo en 10 horas y su ayudante, en 15 horas. El ayudante comienza primero y, después de 5 horas, trabajan juntos hasta terminar la obra. ¿Cuántas horas trabajaron juntos? A) 4 B) 5 C) 6 D) 3 E) 7 UNMSM 2013-II NIVEL INTERMEDIO Resolución: Pedro 1h ............ 1 10
Ayudante 1h ............ 1 15 5h ............ x x =
3 de obra
Juntos: 1 h ...........
N
O
P
J
K
L
+^ =
y .............. 2 3 Luego: y = 4 horas
Respuesta: 4
A D.P. B
A I.P. C
A A.P. D
A D.P. E
A.C
⇒ (^) B. D. E= cte
OJO
Cuando relacionamos los valores de 2 magnitudes, entonces los valores de las otras magnitudes permanecen constantes.
Consecuencia de la propiedad
(Obreros)(días)(h/d)(eficiencia) (obra)(dificultad)
= cte.
(ganancia) (capital)(tiempo)
= cte.
- Engranajes a) Concatenados
(N.° vueltas)(N.° dientes) = cte.
b) Unidos por un eje
A B
V A = V B (^) (vueltas)
PROBLEMAS RESUELTOS
CONJUNTOS I
TEMA 4 ARITMÉTICA 10 10 SANMARCOS
E. Conjuntos especiales
1. Conjunto Vacío o Nulo Es aquel conjunto que no posee elementos. Se le representa por: { } y se denota por el símbolo: ∅. Es decir: {x/x ≠ x} = { } = ∅ Ejemplo: {x/x ∈ N; 5 < x < 6} = { } No existe un “x ∈ N” que sea mayor que 5 y menor que 6 a la vez. 2. Conjunto Unitario Es aquel que está constituido por un solo elemento.
Ejemplo: {x/x ∈ N; 5 < x < 7} = {6} puesto que “6 ∈ N” es el único comprendido entre 5 y 7.
3. Conjunto Universal Es un conjunto referencial que contiene a todos los conjuntos considerados y se le denota gene- ralmente por “U”. Así por ejemplo, el conjunto “U” para los siguientes conjuntos: A = {2; 4; 6; 8} y B = {1; 3; 5; 7; 9} U = {x/x ∈ N; 1 ≤ x ≤ 9} ó U = {x/x ∈ N; x < 10} ó U = {x/x ∈ Z}
F. Relaciones entre conjuntos
1. Inclusión de Conjuntos A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ A → x ∈ B Se lee: “A” está incluido en “B”, si y solo si, para todo “x” que pertenece a “A”, este también pertenece a “B”. - Además: A ⊂ B ”A” está incluido en “B” “A” está contenido en “B” “A” es subconjunto de “B” - n[subconjuntos^ “A”]^ =^^2 n(A) - n[subconjuntos propios de “A”] = 2 n(A)^ – 1 2. Igualdad de Conjuntos Si todos los elementos del conjunto “A” pertenecen al conjunto “B”, y todos los elementos del conjunto “B” pertenecen también al conjunto “A”. Esta igualdad de los conjuntos “A” y “B” se denota por: A = B.
Ejemplo: Si: A = {x/x es una letra de la palabra AROMA} B = {x/x es una letra de la palabra MAROMA} Entonces: A = {A, R, O, M}
B = {M, A, R, O}
Luego : A = B
3. Conjunto Potencia Sea: A = {a, b}; todos los subconjuntos de este conjunto son: {a}; {b}; {a, b}; ∅ Al conjunto cuyos elementos son los subconjuntos anteriores, se le llama también conjunto de partes de “A” y se le denota: P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} En general, el número de subconjuntos se halla con la siguiente relación: 2 n ; donde “n” es el número de elementos del conjunto.
⇒ n [P(A)] = 2 n(A)
Ejemplo: A = {m, a, r}; Entonces: P(A) = {{m} , {a} , {r} , {m, a} , {m, r} , {a, r}, {m, a, r}, ∅} n[P(A)] = 2^3 = 8
G. Representación gráfica de los conjuntos
1. Diagrama de Venn – Euler Es una forma ilustrativa y muy práctica para comprender intuitivamente las relaciones entre conjuntos.
Ejemplos: A = {2; 3; 5; 7} B = {2; 3; 4; 5; 6} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
Entonces:
A
B
8 U
La interpretación sería:
- {7} sólo pertenece a “A”
- {2; 3; 5} pertenecen a “A” y a “B”
- {4; 6} solo pertenece a “B”
- {1; 8; 9} no pertenecen a los conjuntos “A” y “B” 2. Diagrama de Carroll Se usa generalmente para representar conjuntos disjuntos. Ejemplo: Para 2 conjuntos cualesquiera: A B
CONJUNTOS I
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 Determine por extensión el siguiente conjunto:
A = {5x + 1 < 3x + 11 < 4x + 10 / x ∈ Z }
la suma de los elementos de A es …
A) 3 B) 4
C) 5 D) 9
E) 11
NIVEL FÁCIL
Resolución:
5x + 1 < 3x + 11 3x + 11 < 4x + 10
x < 5 1 < x
Entonces: x = 2;3; Suma de valores de x = 9
Respuesta: 9
Problema 2 En los conjuntos unitarios H = {q^2 + 1, 3q – 1} S = {3x + y, x – y + 8} Uno de los valores de q + x + y es:
A) 9 B) 8 C) 7
D) 4 E) 5
NIVEL INTERMEDIO
Resolución:
q^2 + 1 = 3q – 1 entonces q^2 – 3q + 2 = 0 q = 2 ; 1
3x + y = x – y + 8 entonces 2x + 2y = 8 + y x = 4
Ahora: q + x + y = 5
Respuesta: 5
Problema 3 Dados los conjuntos unitarios: P = {x + y , 8} Q = {y + z, 10} S = {x + z, 12} Calcular: (x + 4y – z) A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 NIVEL INTERMEDIO
Resolución:
x + y = 8 y + z = 10 x + z = 12
Sumando: x + y + z = 15 Se observa: x = 5; y = 3; z = 7 x + 4y – z = 10
Respuesta: 10
- A → Puede representar a los mujeres B → Puede representar a los hombres - A → Puede representar capitalinos B → Puede representar provincianos
CONJUNTOS II
Representación gráfica:
A B A^ B
A y B no disjuntos A y B disjuntos
B
A
B ⊂ A
IV. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
Se denomina diferencia simétrica de “A” y “B” al conjunto formado por la unión de “A - B” con “B - A”. Entonces, en A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, se observa que el elemento 1 pertenece al conjunto “A” pero no pertenece a “B” y los elementos 4 y 5 pertenecen al conjunto “B”; pero no pertenecen al conjunto “A”, entonces, al conjunto formado por 1; 4 y 5 se le llama diferencia simétrica de “A” y “B” y se denota por: A ∆ B. Notación: A ∆ B = {x/x ∈ (A – B) ∪ (B – A)}
Representación gráfica:
A B A^ B
A y B no disjuntos A y B disjuntos
A
B
A ⊂ B
V. COMPLEMENTO ENTRE CONJUNTOS
Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y el conjunto B = {a, c, e}, se observa que “B” es subconjunto de “A” y los elementos “b” y “d”, pertenecen al conjunto “A” y no pertenecen al conjunto “B”. Al conjunto formado por estos elementos: {b, d} se le llama complemento de “B” con respecto a “A” y se denota por: B’ Luego, si “B” está incluido en “A”, la diferencia: “A – B” se llama complemento de “B” respecto a “A”
Notación: B' = {x/x ∈ A y x ∉ B} ó B' = {x/x ∉ B}
Observación: Si el complemento es respecto al conjunto universal y además se tiene: B ⊂ U, entonces: B' = B = C B = {x/x ∈ U y x ∉ B} = {x ∈ (U – B)}
Representación gráfica:
B
A
B
A
VI. RELACIONES ENTRE LOS CARDINALES
DE LOS CONJUNTOS
- Si los conjuntos son disjuntos (A ∩ B = φ) n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
- Si los conjuntos no son disjuntos: a) Para dos conjuntos cualesquiera “A” y “B”: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
VII. PRODUCTO CARTESIANO
A × B = {(x; y) / x∈A ∧ y∈B} A y B son conjuntos no vacíos Ejemplo: A = {2; 3; 5} B = {5; 8} A×B = {(2;5); (2;8); (3;5); (3,8); (5;5); (5;8)}
Representación gráfica
Diagrama sagital
A B
Propiedades:
- n(A×B) = n(A). n(B)
- n(A×B) = n(B×A)
- A × B = B × A ↔ A = B
CONJUNTOS II
TEMA 5 ARITMÉTICA 14 14 SANMARCOS
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 Dados los conjuntos: A = {x ∈ N / x ≤ 5} B = {x ∈ N / 4 < x ≤ 9} ; x es par Hallar A ∪ B
A) {0; 2; 4; 6}
B) {0; 1; 2; 3; 6; 8}
C) {0; 1; 2; 3; 4; 5}
D) {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}
E) { }
NIVEL FÁCIL Resolución:
A: x ≤ 5 ⇒ A = {5, 4, 3, 2, 1, 0} Para B: Los valores que toma x son 9, 8, 7, 6, 5 de estos números solo tomamos los números pares.
⇒ B = {8; 6}
⇒ En consecuencia A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}
Respuesta: {0;1;2;3;4;5;6;8}
Problema 2 Dados los conjuntos: Q = {2; 4; 6} R = {3; 5}, hallar Q – R A) {2; 4} B) {4; 6} C) {0; 2; 4} D) {2; 6; 8} E) {2; 4; 6}
Resolución: Como ambos conjuntos no tienen elementos comunes Luego: Q – R = Q ⇒ Q – R = {2; 4; 6}
Respuesta: {2;4;6}
Problema 3 Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} B = {2; 3; 5} Hallar: A – B
A) {1; 4; 6}
B) {2; 4; 6}
C) {4; 5; 6}
D) {3; 5; 6}
E) {2; 4; 5}
Resolución:
Quitando a A lo que aparece en B tendremos: A – B = {1; 4; 6}
Respuesta: {1;4;6}
NUMERACIÓN
TEMA 6 ARITMÉTICA 16 16 SANMARCOS
Tener en cuenta
Base Nombre del sistema Cifras utilizadas
2 3 4 5 6 7 8 9
n
Binario Terciario Cuaternario Quinario Senario Heptario Octavario Nonal Decimal Undecimal Duodecimal . . . enesimal
0, 1, 2, ................ , (n–1)
IX. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
Consiste en expresar al numeral como la adición de los números que resultan a multiplicar cada una de las cifras por la base elevada a la cantidad de cifras que tiene a la derecha la cifra en estudio.
4295 = 4 × 10^3 + 9 × 10^2 + 2 x 10^1 + 5
(^235) 7 = 2 × 7^2 + 3 × 7^1 + 5
abcde n = a. n^4 + b. n^3 + c. n^2 + d. n + e
- Descomposición en bloque Es un caso particular de la descomposición polinómica en que se toman grupos de cifras (bloques como si fueran una sola cifra).
- 4242 = 42 × 10^2 + 42
- 35357 = 357 × 7^2 + 35 7
- (^601601) 8 = 6018 × 8^3 + (^6018)
- ababab n = ab n. n^4 + abn. n^2 + ab n
X. TRANSFORMACIÓN DE SISTEMAS DE
NUMERACIÓN
Consiste en transformar un número de cierta forma en un sistema a otro sistema. Existen tres casos:
A. De Base m a base 10
Se utiliza el procedimiento de descomposición polinómica, efectuando las operaciones indicadas. Ejemplo:
abcn = a. n^2 + b. n + c
4567 = 4 × 7^2 + 5 × 7 + 6
B. De base 10 a base m
Se utiliza el método de divisiones sucesivas, que consiste en dividir el número dado entre la base “m” a la cual se desea convertir, si el cociente es mayor que “m” se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva hasta que se llegue a una división donde el cociente sea menor que ‘m’ Luego, se toma el último cociente y los residuos de todas las divisiones, desde el último residuo hacia el primero y ese será el número escrito en base “n”.
C. De base m a base n
Se utilizan en este caso, los dos métodos vistos anteriormente, es decir: 1.° Llevamos el número del sistema diferente de 10 a base 10 por descomposición polinómica. 2.° Luego llevamos el número hallado en el sistema decimal a la base que nos piden por divisiones sucesivas.
D. Propiedad
Si el numeral que representa la misma cantidad de unidades simples en dos sistemas de numeración diferentes, deberá cumplirse que donde tenga mayor representación aparente le corresponde una menor base y viceversa.
n (^) m
abcd xyzw
= Entonces n > m
- Numeral de máximas cifras
k (n) k cifras
(n – 1 )(n (^) – 1 )....(n – 1 ) = n – 1
n ≤ abc ... x
NUMERACIÓN
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Si a y b son dígitos tales que:
(a + b)^2 = 144
Hallar ab + ba NIVEL FÁCIL UNMSM 2000
A) 100
B) 101
C) 132
D) 72
E) 76
Resolución:
De: (a + b)2 = 144 ⇒ a + b = 12 Donde:
ab ba 10a b 10b a 11(a b) 11(12) 132
Respuesta: 132
Problema 2 Si a un número de tres dígitos que empieza en 7 se le suprime este dígito, el número resultante es 1/26 del número original. ¿Cuál es la suma de los tres dígitos de dicho número? NIVEL FÁCIL UNMSM 2000
A) 14 B) 15 C) 22
D) 17 E) 11
Resolución: 7ab ab 1 (7ab) 26 (^1) (700 ab) 26 26(ab) 700 ab 25(ab) 700 ab 28 7 a b 17
⇒
∴
Respuesta: 17
Problema 3 Cierto número de dos cifras es n veces la suma de sus cifras; pero al invertir el orden de sus cifras, el nuevo número es k veces la suma de sus cifras. Halla (n + k) NIVEL INTERMEDIO UNMSM 2007 - I
A) 14 B) 15 C) 22
D) 17 E) 11
Resolución:
ab n(a b) ba k(b a)
11(a + b) = (n + k)(a + b)
∴ n + k = 11
Respuesta: 11
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
III. SUMAS NOTABLES
A. Suma de los primeros naturales
S = 1 + 2 + 3 + ... + n
S = n(n+1) 2
B. Suma de los primeros números pares
S = 2 + 4 + 6 + ... + 2n
S = n(n+1)
C. Suma de los primeros números impares
S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1)
S =
J^2
K
L
n+ 2
N
O
P
D. Suma de los cuadrados de los primeros nú-
meros naturales
S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2
S = n(n+1)(2n+1) 6
E. Suma de los cubos de los primeros números
naturales
S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3
S = n(n+1) 2
2
SUSTRACCIÓN
Es una operación inversa a la adición, tal que dados dos números llamados minuendo y sustraendo la operación sustracción hace corresponder un tercer número llamado diferencia, tal que sumando con el sustraendo dé como resultado el minuendo. Es decir: M – S = D donde: M: minuendo S: sustraendo D: diferencia
Propiedades
- M = S + D
- M + S + D = 2M
Ejemplos: Sustracción en base 10
1 ← minuendo → 4 5 0 7 – 2 8 4 5 1 6 6 2
1
← sustraendo → ← diferencia →
I. SUSTRACCIÓN EN OTROS SISTEMAS
DE NUMERACIÓN
Se realiza la operación, orden por orden, de menor a mayor orden. Si la cifra del minuendo fuese menor que la cifra del sustraendo, la cifra correspondiente al orden superior considerando que la unidad prestada del orden superior inmediato equivale a tantas unidades como indica la base.
Ejemplos:
- Resolver: 423(8) – (^256) (8)
Resolución: 4 2 3(8) – (^2 5 6) (8) 1 4 5(8)
Orden Procedimiento
1.er^ Como a 3 no se le puede disminuir en 6, lo que se hace es prestar del 2.° orden una unidad, que en el 1.er^ orden equivale a 8 unidades. (^8) + 3 – 6 = 5
- do (^8) + 1 – 5 = 4
- er^ Se prestó una unidad y quedan 3. Luego 3 – 2 = 1
1 1 1
Propiedad Si a > c, además: abc(k) – cba(k) = mnp(k) se cumple: m + p = k – 1; n = k – 1; a – c = m+
II. COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)
El complemento aritmético de un número entero positivo es igual a la cantidad de unidades que le falta a dicho número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior a su cifra de mayor orden.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
TEMA 7 ARITMÉTICA 20 20 SANMARCOS
Ejemplos:
- CA(3) = 101 – 3 = 7
- CA(28) = 102 – 28 = 72
- CA(730) = 103 – 730 = 270
- CA(6340) = 104 – 6340 = 3660
En otras bases:
- CA(53(8)) = 8^2 – 53(8)
- CA(213(7)) = 7^3 – 213(7)
- CA(43 (^001) (8)) = 8^5 – 43 001(8)
En general: Si N = abc...x(n) ⇒ CA(N) = 100...0(n) – N k cifras k ceros
Forma práctica
Para obtener el CA de un numeral a la última cifra significativa se le resta de la base y a las anteriores se le resta de la base menos uno. Si terminan en cifras ceros estos se mantienen.
CA(abcd) = (9 – a)(9 – b)(10 – d)
Problema 1 Con 3 dígitos distintos y no nulos se forman todos los números posibles de dos cifras diferentes ¿Cuál es la razón entre la suma de todos estos números de dos cifras y la suma de los 3 dígitos? A) 22 B) 26 C) 28 D) 24 E) 20 UNMSM 2009–I NIVEL INTERMEDIO
Resolución
Sean los dígitos distintos y no nulos: a, b y c. Se pueden formar los números de dos cifras diferentes: ab; ac; ba; bc; ca; cb Sea la suma: ab + ac + ba + bc + ca + cb = 22(a + b + c) (mediante su descomposición polinómica). Sea la suma de los 3 dígitos: a + b + c Luego, la razón pedida será:
22 a^ (^ b c ) 22
a b c
Respuesta: A) 22
Problema 2 Sea x = abc un número representado en forma decimal, donde a>c, entonces (abc – cba) tiene como cifra intermedia a: A) 5 B) 9 C) 1 D) 7 E) 0 UNMSM 2004–I NIVEL FÁCIL
Resolución
Por propiedad: abc – cba = xyz entonces: x + z = 9; y = 9 Entonces la cifra central es 9.
Respuesta: B) 9
Problema 3 Calcular el valor de la expresión: abc + bca + cab = xyz, si se sabe que (a + b + c)^2 = 2 025 A) 4895 B) 4905 C) 4695 D) 4995 E) 4805
UNMSM 2001 NIVEL INTERMEDIO
Resolución
Del dato: (a + b + c)^2 = 2 025 se obtiene que: a + b + c = 45 Luego, colocando un sumando bajo otro:
abc bca cab
Observación: Lo mostrado nos da la solución del ejercicio, sin embargo, lo real es que el ejercicio tiene un dato absurdo: la operación se realiza en base 10 y la suma: a + b + c = 45 es imposible, dado que las cifras toman un valor máximo de 9, siendo la suma máxima 27 y no puede ser 45.
Respuesta: D) 4 995
PROBLEMAS RESUELTOS
