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SOLUCIONARIO DE
CALCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL - GRANVILLE
AUTORES:
*GINA ALEJANDRINA VALLADARES BANCHÓN
*MARCOS ANTONIO VALLADARES SOSA
Este Solucionario de problemas resueltos,
del texto de:Cálculo Diferencial e Integral de
Granville , es una elaboración realizada con
lujo de detalles, de tal manera que cada
problema por más complejo que parezca,
pueda ser comprendido y analizado por el
estudiante.El autor espera las sugerencias
respectivas, que sabra receptarlas y
compaginarlas en una proxima edición.
Esta obra no puede ser reproducida o
transmitida,mediante ningún sistema o
método, electrónico o mecánico(incluyendo
el fotocopiado,la grabación o cualquier
sistema de recuperación y almacenamiento
de información,sin previo aviso u
consentimiento de los autores.
Problemas. Pagina 236
Verificar las siguientes Integraciones:
1. ∫ x 4 dx (^) = x 5 + c
v (^) = x El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv (^) = dx n (^) = 4
∫ x 4 dx (^) = x 4 +^1 = x^5 + c. 4+1 5
2. ∫ dx (^) = x^2
∫ x -2.dx
v (^) = x El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv= dx n (^) = -
∫ x -2^ dx (^) = x-2^ +^1 = x -1^ = - x -1^ = - 1 + c. -2+1 -1 x
3. ∫ x2/3^ dx
x2/3+1^ = x5/3^ = 3 x5/3^ + c. 2/3 + 1 5/3 5
4. ∫ dx √x ∫ x -1/2.dx (^) = x-1/2^ +^1 = x 1/2^ = 2x1/2^ = 2 √x + c.
v (^) = 2x Falta (2) para completar el diferencial. dv (^) = 2 dx Se aplica: ∫ vn^ dv (^) = vn+1^ + c. n (^) = -1/2 n+
- ∫ (2x)-1/2.2dx (^) = 1 (2x)-1/2+1^ = (2x)1/2^ = (2x)1/2^ = (2x)1/2^ = 2 2 -1/2+1 2(1/2) 2/2 1
(2x)1/2^ + c.
∫ (3t)1/3^ dt.
v (^) = 3t Falta (3) para completar el diferencial. dv (^) = 3 dt Se aplica: ∫ vn^ dv (^) = vn+1^ + c. n (^) = 1/3 n+
1 ∫ (3t)1/3.3dt (^) = 1 (3t)1/3+1^ = (3t)4/3^ = (3t)4/3^ + c. 3 3 1/3 + 1 3(4/3) 4
11. ∫ (x3/2^ - 2x2/3^ + 5 √x - 3) dx.
∫ x3/2dx - 2 ∫ x2/3^ dx + 5 ∫ √x dx - ∫ dx
∫ x3/2dx - 2 ∫ x2/3^ dx + 5 ∫ (x)1/2^ dx - ∫ dx
x3/2+1^ - 2 x2/3+1^ + 5 (x)1/2+1^ - x + c. 3/2+1 2/3+1 1/2+
x5/2^ - 2 x5/3^ + 5 (x)3/2^ - x + c. 5/2 5/3 3/
2x5/2^ - 6x5/3^ + 10(x)3/2^ - x + c. 5 5 3
10. ∫ 33 t.dt
12. ∫ 4x^2 - 2√x dx x
∫ 4x^2 - 2√x dx (^) = ∫ 4x - 2x1/^2 dx (^) = x x x2/
∫ (4x - 2x 1/2.x -2/2) dx (^) = ∫ (4x - 2x-1/2) dx.
∫ 4x dx - ∫ 2x -1/2^ dx (^) = 4 ∫ x dx - 2∫ x -1/2^ dx.
4 x1+1^ - 2 x -1/2+1^ = 4. x^2 - 2. x1/2^ = 2x^2 - 4x1/2^ = 1+1 -1/2+1 2 1/
2x^2 - 4 √x + c.
13. ∫ ( x^2 - 2 ) dx. 2 x^2
∫ x^2 dx - ∫ 2 dx (^) = 1 ∫ x^2 dx - 2 ∫ x -2^ dx (^) = 2 x^2
1 x2+1^ - 2 x -2+1^ = x^3 - 2.x -1^ = x^3 + 2 + c. 2 2+1 -2+1 2(3) -1 6 x
14. ∫ √x(3x - 2) dx
∫ (3x. √x - 2. √x) dx (^) = ∫ (3x.x1/2^ - 2x1/2) dx (^) = ∫ (3x 3/2^ - 2x1/2) dx.
∫ 3x3/2^ dx - ∫ 2x1/2^ dx (^) = 3 ∫ x3/2^ dx - 2∫ x1/2^ dx (^) =
3 x3/2+1^ - 2 x1/2+1^ = 3 x3/2+1^ - 2 x1/2+1^ = 3/2+1 1/2+1 3/2+1 1/2+ 3x5/2^ - 2x3/2^ = 6x5/2^ - 4x3/2^ + c. 5/2 3/2 5 3
- 1 ∫ (a - by)-1/2.( - b) dy b
- 1 (a - by)-1/2+1^ = - (a - by)1/2^ = - (a - by)1/2^ = -2 (a - by)1/2^ + c. b -1/2+1 b(1/2) b/2 b 18. ∫ (a + bt)^2 dt (^) = (a + bt)^3 + c. 3
v (^) = (a + bt) Falta (b), para completar el diferencial, se aplica: dv (^) = b dt ∫ vn^ dv (^) = vn+1^ + c. n (^) = 2 n+
1 ∫ (a + bt)^2 .b dt (^) = (a + bt)2+1^ = (a + bt)^3 + c. b b(2+1) 3b
19. ∫ x (2 + x^2 )^2 dx (^) = (2 + x^2 )^3. 6
∫ (2 + x^2 )^2. x dx
v (^) = (2 + x^2 ) Falta (2), se aplica: ∫ v n^ = v n+1/n+1 + c. dv (^) = 2x dx 1 ∫ (2 + x^2 )^2. 2x dx (^) = 1 (2 + x^2 )2+1^ = (2 + x^2 )^3 = (2 + x^2 )^3 + c n (^) = 2 2 2 2+1 2(3) 6
20. ∫ y (a - by^2 ) dy (^) = - (a - by^2 )^2 + c. 4b ∫ (a - by^2 ). y dy.
v (^) = (a - by^2 ) Falta (-2b),para completar el diferencial. dv (^) = -2by dy Se aplica: ∫ v n^ = v n+1/n+1 + c. n (^) = 1
∫ (a - by^2 ). y dy (^) = -1 (a - by^2 )1+1^ = - (a - by)^2 = - (a - by^2 ) + c.
2b 1+1 2b(2) 4b
21. ∫ t √2t^2 + 3 dt (^) = (2t^2 + 3)3/2^ + c. 6 ∫ (2t^2 + 3)1/2. t dt
v (^) = (2t^2 + 3) Falta (4) para completar el diferencial. dv (^) = 4t dt. Se aplica: ∫ vn^ dv (^) = vn+1^ + c. n (^) = 1/2 n+
1 ∫ (2t^2 + 3)1/2. 4t dt (^) = 1 (2t^2 +3)1/2+1^ = (2t^2 +3)3/2^ = (2t^2 +3)3/2^ = 4 4 1/2+1 4(3/2) 12/
(2t^2 +3)1/2^ + c. 6
22. ∫ x (2x + 1)^2 dx (^) = x^4 + 4x^3 + x^2 + c. 3 2
Primero solucionamos el producto notable:
(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1.
∫ x (4x^2 + 4x + 1) (^) = ∫ (4x^3 + 4x^2 + x) dx.
∫ 4x^3 dx + ∫ 4x^2 dx + ∫ x dx (^) = 4 ∫ x^3 dx + 4∫ x^2 dx + ∫ x dx.
4 x3+1^ + 4 x2+1^ + x1+1^ = 4x^4 + 4x^3 + x^2 = 3+1 2+1 1+1 4 3 2
x^4 + 4x^3 + x^2 + c. 3 2
23. ∫ 4x^2 dx. √x^3 + 8
ax - 2a1/2x3/2^ + x^2 = ax - 4 x2/2^ a1/2^ x1/2^ + x^2 = 3/2 2 3 2 ax - 4x√a .√x + x^2 = ax - 4x√ax + x^2 + c. 3 2 3 2
26. ∫ (√a - √x)^2 dx √x
v (^) = (√a - √x) Falta (-1/2) para completar el diferencial. dv (^) = - 1 dx. Se aplica: ∫ vn^ dv (^) = vn+1^ + c. 2 √x n+ n (^) = 2
∫ (√a - √x)^2. 1 .dx (^) = - 2 ∫ (√a - √x)^2 _ 1 dx √x 2 √x
-2 (√a - √x)2+1^ = -2(√a - √x)^3 + c. 2+1 3
∫ √x{(√a)^2 - 2√a.√x + (√x)^2 } dx (^) = ∫ √x(a - 2√a.√x + x) dx
∫ (a√x - 2√a.√x.√x + x.√x)dx (^) = ∫ {ax1/2^ - 2ª1/2.(√x)^2 + x2/2.x1/2}dx
∫ {ax1/2^ - 2a1/2^ x + x3/2} dx (^) = a ∫ x1/2^ dx - 2a1/2^ ∫ x dx + ∫ x3/2^ dx (^) =
a x1/2+1^ - 2a1/2^ x1+1^ + x3/2+1^ = a.x3/2^ - 2a1/2.x^2 + x5/2^ = 1/2+1 1+1 3/2+1 3/2 2 5/ 2a .x3/2^ - a1/2.x^2 + 2x5/2^ = 2ax3/2^ - x^2 √a + 2x5/2^ + c. 3 5 3 5
28. ∫ t^3 dt. √a^4 + t^4 ∫ (a^4 + t^4 )-1/2.t^3 dt. v (^) = (a^4 + t^4 ) Falta (4)para completar el
27. ∫ x ( a− x).dx
2
dv (^) = 4t^3 dt diferencial, se aplica: n (^) = -1/2 ∫ vn^ dv (^) = vn+1/n+1 + c.
1 ∫ (a^4 + t^4 )-1/2.(4)t^3 dt (^) = 1 (a^4 + t^4 )-1/2+1^ = (a^4 + t^4 )1/2^ = 4 4 -1/2+1 4(1/2)
(a^4 + t^4 )1/2^ = 2(a^4 + t^4 )1/2^ = (a^4 + t^4 )1/2^ = √(a^4 + t^4 ) + c. 4/2 4 2
29. ∫ dy. (a + by)^3
∫ (a + by)-3^ dy
v (^) = (a + by) Falta (b) para completar el diferencial. dv (^) = b dy Se aplica: Se aplica: ∫ vn^ dv (^) = vn+1^ + c. n (^) = - 3 n+
1 ∫ (a + by)-3.(b)dy b
1 (a + by)-3+1^ = (a + by)-2^ = (a + by)-2^ = - 1 + c. b -3+1 b(-2) -2b 2b(a + by)^2
30. ∫ x dx. (a + bx^2 )^3
∫ (a + bx^2 )-3.x dx
v (^) = (a + bx^2 ) Falta (2b) para completar el diferencial. dv (^) = 2bx.dx Se aplica: Se aplica: ∫ vn^ dv (^) = vn+1^ + c. n+ 1 ∫ (a + bx^2 )-3.(2b)x dx 2b
v (^) = (a + bxn) Falta (nb) para completar el diferencial. dv (^) = nbxn-1^ dx Se aplica: ∫ vn^ dv (^) = vn+1^ + c. n (^) = 1/2 n+ 1 ∫ (a + bxn)1/2. (nb) xn-1^ dx nb
(a + bxn)1/2+1^ = (a + bxn)3/2^ = 2(a + bxn)3/2^ + c. 1/2+1 3/2 3
34. ∫ (2x + 3) dx √x^2 + 3x
∫ (x^2 + 3x)-1/2. (2x + 3) dx
v (^) = (x^2 + 3x) El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv (^) = 2x + 3 Se aplica: ∫ vn^ dv (^) = vn+1^ + c. n (^) = -1/2 n+
∫ (x^2 + 3x)-1/2. (2x + 3) dx
(x^2 + 3x)-1/2+1^ = (x^2 + 3x)1/2^ = 2(x^2 + 3x)1/2 = 2 √x^2 + 3x + c.
- 1/2 + 1 1/ 35. ∫ (x^2 + 1) dx. √x^3 + 3x
∫ (x^3 + 3x)-1/2. (x^2 + 1) dx
v (^) = (x^3 + 3x) Falta (3) para completar el dv (^) = 3x^2 + 3 dx (^) = 3(x^2 + 1) dx diferencial. n (^) = -1/
1 ∫ (x^3 + 3x)-1/2.(3)(x^2 + 1) dx (^) = (x^3 + 3x)-1/2+1^ = (x^3 + 3x)1/2^ = 3 3(-1/2+1) 3(1/2)
(x^3 + 3x)1/2^ = 2(x^3 + 3x)1/2^ = 2 √ (x^3 + 3x) + c. 3/2 3 3
36. ∫ (2 + ln x) dx x
∫ (2 + ln x). 1 dx x
v (^) = (2 + ln x) Falta 1/x para completar el diferencial. dv (^) = 1 dx Se aplica: ∫ vn^ dv (^) = vn+1^ + c. x n+ n (^) = 1
∫ (2 + ln x). 1 dx (^) = (2 + ln x)1+1^ = (2 + ln x)^2 + c. x 1+1 2
37. ∫ sen^2 x cos x dx
∫ (senx)^2. cos x dx. v (^) = (senx) El diferencial esta dv (^) = cos x dx completo,se procede n (^) = 2 a integrar.
∫ (senx)^2 cos x dx (^) = (senx)2+1^ = (senx)^3 + c. 2+1 3
38. ∫ sen ax cos ax dx
v (^) = sen ax Falta (a) para completar el dv (^) = (cos ax)(a) dx (^) = a cos ax dx diferencial.Se aplica: n (^) = 1 ∫ vn^ dv (^) = vn+1^ + c. n+ 1 ∫^ (sen ax). (a)cos ax dx^ = (sen ax)1+1^ = (sen ax)^2 = sen^2 ax^ + c. a a(1+1) 2a 2a
dv (^) = cos ax.a dx (^) = a cos ax dx diferencial: Se aplica: n (^) = - 1/2 ∫ vn^ dv (^) = vn+1^ + c. n+ 1 ∫ (b + sen ax)-1/2^ .(a) cos ax dx (^) = (b + sen ax)-1/2+1^ = a a(-1/2+1)
(b + sen ax)1/2^ = (b + sen ax)1/2^ = 2(b + sen ax)1/2^ = a(1/2) a/2 a
2 √b + sen ax + c. a
42. ∫ sec x 2 dx 1 + tg x
∫ sec^2 x dx (1 + tg^2 x)
∫ (1 + tg x)-2. Sec^2 x dx.
v (^) = (1 + tg x) El diferencial esta completo, se procede a dv (^) = sec^2 x dx integrar. n (^) = -
(1 + tg x)-2+1^ = (1 + tg x)-1^ = _^1 + c. -2+1 - 1 (1 + tg x)
43. ∫ dx. 2 + 3x
v (^) = 2 + 3x Falta (3) para completar el diferencial. dv (^) = 3 dx Se aplica: ∫ dv (^) = ln v + c. v
1 ∫ (3) dx (^) = 1 ln (2 + 3x) + c. 3 2 + 3x 3
44. ∫ x^2 dx. 2 + x^3 v (^) = 2 + x^3 Falta (3) para completar el diferencial. dv (^) = 3x^2 dx Se aplica: ∫ dv (^) = ln v + c. v
1 ∫ (3) x^2 dx (^) = 1 ln (2 + x^3 ) (^) = ln (2 + x^3 ) + c. 3 2 + x^3 3
45. ∫ t dt. a + bt^2
v (^) = a + bt^2 Falta (2b) para completar el diferencial. dv (^) = 2bt Se aplica : ∫ dv (^) = ln v + c. v
1 ∫ (2b) t dt (^) = 1. ln(a + bt^2 ) (^) = ln(a + bt^2 ) + c. 2b (a + bt^2 ) 2b 2b
46. ∫ (2x + 3) dx x^2 + 3x
v (^) = x^2 + x El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv (^) = (2x + 3)
∫ (2x + 3) dx (^) = ln (x^2 + 3x) + c. x^2 + 3x
47. ∫ (y + 2) dy y^2 + 4y
v (^) = y^2 + 4y Falta (2) para completar el dv (^) = 2y + 4 dy (^) = 2(y + 2) dy diferencial .Se aplica: ∫ dv (^) = ln v + c.
Efectuamos la división: 2x + 3 x + 2 -2x - 4 2
- 1 El resultado es: 2 + - 1 (^) = 2 - 1. Sustituyendo en la integral. x + 2 x + 2
∫ [ 2 - 1 ] dx = 2 ∫ dx - ∫ dx = 2x - ln(x + 2) + c .
x + 2 x + 2
52. ∫^ x^2 + 2^ dx x + 1
Efectuamos la división: x^2 + 2 x + 1
El resultado es:
(x - 1) + 3. Sustituyendo en la Integral. x + 1
∫ [ x - 1 + 3 ] dx
x + 1
∫ x dx - ∫ dx + 3 ∫ dx. x + 1
x1+1^ - x + 3 ln (x + 1) (^) = x^2 - x + 3 ln (x + 1) + c. 1+1 2
53. ∫ (x + 4) dx 2x + 3
Efectuamos la división: x + 4 2x + 3
- x - 3/2 1/ (^).
- x + 5/ (^).
El resultado es: 1 + 2. Sustituyendo en la Integral. 2 2x + 3
∫ (^1) + 5/2 dx 2 2x + 3
∫ 1 dx + 5. 1 ∫ (2)dx. v (^) = 2x + 3 2 2 2 2x + 3 dv (^) = 2 dx
1 ∫ dx + 5 ∫ (2) dx (^) = 1 x + 5 ln (2x + 3) (^) = 2 4 2x + 3 2 4
x + 5 ln (2x + 3) + c. 2 4
54. ∫ e2s^ ds. e2s^ + 1
v (^) = e2s^ + 1 El diferencial esta incompleto, falta (2) dv (^) = 2 e 2s^. y se le opone 1/2.
1 ∫ (2)e2s^ ds (^) = 1. ln(e2s^ + 1) (^) = ln (e2s^ + 1) + c. 2 e2s^ + 1 2 2
55. ∫ ae θ^ + b d θ ae θ^ - b
