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Conceptos básicos sobre funciones escalares y vectoriales de varias variables reales, derivadas parciales, diferenciales de funciones y teoremas relacionados. Se incluyen ejemplos y ejercicios para ilustrar los conceptos teóricos. El material es elaborado por l. González-vila, f.j. Ortí y j. Sáez.
Tipo: Apuntes
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MATERIAL DIDÁCTICO DE SOPORTE
Optimización condicionada por ecuaciones. Ambos tipos de optimización se utilizan en la resolución de problemas económicos de minimización de costes o maximización de ingresos o beneficios.
Queremos indicar al alumno que resulta conveniente que el presente manual se complemente con libros y otros materiales de consulta. A tal fin recogemos al final la bibliografía que, desde nuestro punto de vista, mejor puede ayudar al alumno a completar su formación.
No queremos finalizar este apartado sin agradecer a nuestros alumnos la buena acogida que mostraron hacia nuestro primer material. Sin duda ello nos ha motivado a la presentación del actual. Es nuestro reto ir cambiando curso a curso su contenido teórico y práctico para adaptarlos a los nuevos planes docentes que necesariamente surgirán con los grados.
Enero de 2010
ÍNDICE
1.Definiciones básicas
**2. Límite y continuidad de funciones
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
**1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
**1. Función escalar de varias variables reales
1.1 Función escalar de varias variables reales
Ejemplo :
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez^ (^ )
Es cualquier aplicación de la forma:
1.2 Función vectorial de varias variables reales
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
( )
( )
( )
donde ∀ =^ ^ ^ ^ se denomina función componente
Cada función componente (^) es una función escalar Por eso, el estudio de una función vectorial se reduce al estudio de cada una de sus funciones componentes
Ejemplo : Dada la función vectorial
( ) ( ) ( )
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez ( ^ − )
( ) ( )
− = − ∈ℜ
calcular las imágenes de y de^ ( ^ π^ ^ −)
( ) ( )
1.2 Función vectorial de varias variables reales
Ejemplo : Dada la función vectorial
( ) ( ) ( )
1. Definiciones básicas
( ) ( )
( ) ( )
1.2 Función vectorial de varias variables reales
Ejercicio : Para cada una de las siguientes funciones decir si se trata de funciones escalares o vectoriales:
( ) (^) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) (^) ( )
^
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1.2 Función vectorial de varias variables reales
Ejercicio: Determinar el dominio de la siguientes funciones escalares:
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
( )
1.3 Dominio de una función
( )
c) ( ) =( )
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1.3 Dominio de una función
El dominio de una función vectorial es la intersección de los dominios de cada una de sus funciones componentes
Ejemplo: Obtener el dominio de las siguientes funciones vectoriales:
a) (^) ( (^) ) = (^) ( − )
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1.3 Dominio de una función
b) (^) ( (^) )
{^ ( ) }
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Para representar gráficamente el dominio de funciones de dos variables, así como posteriormente las curvas de nivel, recordemos las ecuaciones características de las distintas cónicas
1.3 Dominio de una función
En concreto vamos a ver las ecuaciones correspondientes a la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Todas estas figuras reciben el nombre de cónicas debido a que pueden obtenerse al cortar conos con un plano
Circunferencia
Hipérbola^ Parábola
Elipse
Siendo e sus asíntotas oblícuas
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1.3 Dominio de una función
La ecuación reducida de la hipérbola es:
{ }
= −
=
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
que se denomina hipérbola equilatera
1.3 Dominio de una función
Una ecuación particular de la hipérbola es:
con representación gráfica:
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1.3 Dominio de una función
La ecuación de la parábola es:
con representación gráfica:
o bien: (^)
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1.3 Dominio de una función
La ecuación de la recta es:
o bien:
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1.3 Dominio de una función
( ) (^) ( )
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1.3 Dominio de una función
( )
Para el caso de funciones de dos variables, , las
Se denomina Curva de nivel de una función escalar
1.4 Curvas de nivel
Es decir, las distintas curvas de nivel de una función están formadas por todos los puntos que tienen la misma imagen
Dos curvas de nivel distinto nunca se cortarán dentro del dominio
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
∈ ℜ
= { ∈ ( )= }
(^) ( )
Es decir, las curvas de nivel son circunferencias con
Ejemplo : Determinar las curvas de nivel de las siguientes funciones escalares:
1. Definiciones básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1.4 Curvas de nivel
( )
{ ( ) ( ) } {( ) }
