libro math 4to minedu, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

¡Descarga libro math 4to minedu y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica solo en Docsity!

a a 2

a^2 + b^2

b

b^2

Fichas de

Matemática

330

0

90

E

N

C’

A

B

C

4,

5,

4,

E

–60°

SECUNDARIA

Propicia la vida en democracia comprendiendo los procesos históricos y sociales.

Se reconoce como persona valiosa y se identifica con su cultura en diferentes contextos.

Desarrolla procesos autónomos de aprendizaje. Gestiona proyectos de manera ética.

Comprende y aprecia la dimensión espiritual y religiosa.

Interpreta la realidad y toma decisiones con conocimientos matemáticos.

Se comunica en su lengua materna, en castellano como segunda lengua y en inglés como lengua extranjera.

Practica una vida activa y saludable.

Indaga y comprende el mundo natural y artificial utilizando conocimientos científicos en diálogo con saberes locales.

Aprecia manifestaciones artístico-culturales y crea proyectos de arte.

Aprovecha responsablemente las tecnologías.

La ciudadana y el ciudadano

que queremos

Perfil de

egreso

Edición © Ministerio de Educación Calle Del Comercio N.° 193, San Borja Lima 15021, Perú Teléfono: 615- www.minedu.gob.pe

Propuesta de contenidos Larisa Mansilla Fernández Olber Muñoz Solís Juan Carlos Chávez Espino Hugo Luis Támara Salazar Hubner Luque Cristóbal Jave Enrique García Manyari

Revisión pedagógica Olber Muñoz Solís Larisa Mansilla Fernández Juan Carlos Chávez Espino José Luis Maurtua Aguilar

Revisión académica Nelly Gabriela Rodríguez Cabezudo

Diseño y diagramación Carlos Héctor Boza Loayza

Corrección de estilo Martha Silvia Petzoldt Diaz

Primera edición: setiembre de 2017 Segunda edición: agosto de 2019 Primera reimpresión: agosto de 2020 Segunda reimpresión: diciembre de 2020 Tercera reimpresión: agosto de 2021 Tercera edición: noviembre de 2022

Tiraje 467 091 ejemplares

Impresión Se terminó de imprimir en diciembre de 2022, en los talleres gráficos de Pacífico Editores S.A.C., sito en Jr. Castrovirreyna 224 - Interior 1.er^ piso, Urb. Azcona, Breña, Lima - Perú

Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este material educativo por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso del Ministerio de Educación.

Debido a la naturaleza dinámica de internet, las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que se hace referencia en este material educativo pueden tener modificaciones o desaparecer.

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.° 2022-

Impreso en el Perú / Printed in Peru

Fichas de Matemática 4

Este material educativo, Fichas de Matemática 4 para estudiantes de cuarto grado de Educación Secundaria, ha sido elaborado por la Dirección de Educación Secundaria para promover el desarrollo de las competencias “Resuelve problemas de cantidad”, “Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio”, “Resuelve problemas de forma, movimiento y localización” y “Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre” propuestas en el Currículo Nacional de Educación Básica.

PEFC/

PRESENTACIÓN

Estimada/o estudiante:

Es de sumo agrado para nosotros poner en tus manos el material educativo Fichas de Matemática 4 , que estamos seguros te ayudarán a descubrir la presencia de la matemática en la vida cotidiana y a utilizarla de manera adecuada y creativa en la resolución de problemas vinculados a la realidad.

En su estructura, te proponemos algunos ejemplos de estrategias heurísticas para que las puedas emplear en cada una de las fichas, las mismas que se encuentran organizadas en tres secciones:Aplicamos nuestros aprendizajes,Comprobamos nuestros aprendizajes yEvaluamos nuestros aprendizajes.

En la primera sección,Aplicamos nuestros aprendizajes, te presentamos una situación relacionada con la vida cotidiana, que será abordada a través de interrogantes que pretenden movilizar tus capacidades y conocimientos, lo cual te ayudará a comprender el problema, diseñar o seleccionar una estrategia o plan, ejecutar la estrategia y reflexionar sobre lo desarrollado.

En la segunda sección,Comprobamos nuestros aprendizajes, te planteamos tres situaciones de contexto, en cuyo desarrollo podrás explicar el proceso de resolución, identificando estrategias y describiendo procedimientos utilizados. Este análisis te permitirá plantear otros caminos de resolución, así como identificar errores y realizar tu propia corrección.

En la tercera sección,Evaluamos nuestros aprendizajes, te presentamos situaciones de diverso grado de complejidad en contextos variados y apoyados en gráficos. Al desarrollar las actividades que contienen, te darás cuenta de tus progresos.

Finalmente, puedes desglosar las fichas para desarrollarlas y organizarlas en tu portafolio, de manera que, tu docente te brinde retroalimentación u orientación para que puedas seguir mejorando.

Esperamos que con esta experiencia sientas que hacer matemática es un reto posible de alcanzar. Disfrútalo.

©Shutterstock

Conociendo algunas estrategias

Un buen resolutor de problemas debe llegar

a desarrollar la capacidad de resolver un

problema con diversos métodos; además,

necesita estar en capacidad de combinar

estrategias creativamente. En cada etapa de

desarrollo de la solución, debemos definir

qué estrategia se utilizará en la siguiente fase.

1. Estrategias de comprensión

Lectura analítica

Leer analíticamente un texto es dividirlo en unidades que proporcionen algún tipo de información y establecer, luego, cómo estas partes se interrelacionan y muestran el panorama de lo que se quiere decir. Al leer un problema de manera analítica, uno puede hacerse estas preguntas: ¿quiénes participan en la historia?, ¿qué es lo que no varía a lo largo de la historia?, ¿cuáles son las condiciones del texto?, ¿cuáles son los datos que nos proporciona?, ¿qué datos son relevantes para resolver el problema?, ¿qué debemos encontrar?, ¿qué condiciones se imponen a lo que buscamos?, entre otras interrogantes que ayudarán a que el estudiante se familiarice y le pierda temor a resolver el problema.

La lectura analítica ayuda mucho en la comprensión lectora del problema, pero no garantiza el camino a su solución. Leer analíticamente no es identificar las palabras claves ni buscar tips para encontrar la variable (estos son procesos mecánicos que no ayudan a comprender cabalmente un problema). En la vida real, los problemas matemáticos pueden no contener esas palabras claves que aparecen en problemas diseñados para libros de texto, por lo que el estudiante enfocará erradamente un problema si hace uso de este mecanismo.

La lectura analítica es importante en la comprensión de problemas, pues estos textos contienen elementos matemáticos como números, diagramas, relaciones dentro de una historia o un contexto real complejo, por lo que no es lo mismo que leer un cuento o un ensayo. De hecho, hay personas que comprenden perfectamente textos humanísticos, pero no aquellos que contienen elementos matemáticos.

Parafrasear Parafrasear es decir algo de otro modo para clarificar y comprender un texto. Explicar un problema con nuestras propias palabras ayuda mucho en el proceso de comprensión. Se debe decir que parafrasear no implica aprenderse de memoria un texto y repetirlo; es señalar lo más importante de una historia y expresarlo con palabras, evitando en lo posible particularidades como números, fechas, nombres, locaciones, etc. Veamos un ejemplo:

Problema Parafraseo

Jaime fue el organizador de la fiesta de fin de año de su colegio. Él proyec- tó ganar S/4800, para lo cual repartió 200 tarje- tas; pero, lamentable- mente, solo se vendie- ron 130, lo que le causó una pérdida de S/150. ¿Cuánto invirtió en la fiesta?

Una persona organiza una fiesta. Para ganar necesita vender una can- tidad de tarjetas; pero vende menos y pierde. Nos piden saber cuánto invirtió en la fiesta.

Se sugiere que se realice una lectura analítica de ellos, que produzca sus propios esquemas de comprensión y realice al menos dos parafraseos por cada problema presentado. Hacer esquemas La capacidad de representar una situación compleja mediante esquemas es algo que se va aprendiendo desde los primeros años de escolaridad y continúa en proceso de construcción toda la vida. Hacer e interpretar esquemas son algunas de las capacidades más necesarias en nuestra vida. En diversas situaciones cotidianas se requiere de la esquematización de los sistemas, las situaciones, los procesos, con el fin de comprenderlos mejor. Un esquema apunta a encontrar una estrategia de solución; no existe una relación directa entre hacer un esquema y dar solución a un problema, pero ayuda mucho en este proceso.

ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS

ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS

2. Estrategias de resolución

Una estrategia importante en la búsqueda de soluciones es representar el problema mediante algún organizador visual. Aquí presentamos algunos organizadores de información que se utilizan frecuentemente en el proceso de resolver problemas matemáticos.

Diagramas de tiras

Se utilizan mayormente cuando la cantidad que inter- viene en el problema varía en el tiempo o es dividida en partes que se relacionan entre sí.

Ejemplo:

La tercera parte de las entradas para el estreno de una película se vendieron días antes de la función, y 1/3 del resto se vendió el día del estreno. Finalmente, quedaron 48 entradas sin vender. ¿Cuál era el número total de entradas previsto para la función de estreno?

Solución:

Cantidad: Número total de entradas.

Elabora un diagrama de tiras.

Diagramas tabulares (tablas)

Se emplean cuando se brinda información sobre ca- racterísticas que relacionan dos grupos. También en problemas sobre edades o de proporcionalidad, en los que se debe buscar algún patrón o regla de for- mación.

Ejemplo:

Dos amigos tienen lápices, borradores y tajadores en sus cartucheras. Hay 8 borradores en total. Mónica tiene el doble de lápices que Felipe, quien tiene 5 tajadores más que lápices. Mónica tiene tantos ta- jadores como lápices posee Felipe. Mónica tiene 18 útiles y ningún borrador. ¿Cuántos lápices, tajadores y borradores tiene cada uno?

Solución:

Grupo 1: Mónica, Felipe.

Grupo 2: Lápices, borradores, tajadores.

Lápices Borradores Tajadores TOTAL Mónica 2 x 0 x 18 Felipe x 8 x + 5 TOTAL 8

Diagramas analógicos Se suelen utilizar en problemas geométricos. Son di- bujos que representan la realidad de manera similar, pero esquemática, sin considerar los elementos irre- levantes para el problema. Mediante esta representación es posible visualizar las relaciones entre los datos y las incógnitas. Ejemplo: Un hombre de 1,8 m de estatura camina hacia un edi- ficio a razón de 1,5 m/s. Si hay una lámpara sobre el suelo a 15 m del edificio, ¿cuánto mide la sombra del hombre sobre el edificio cuando se encuentra a 9 m de este? Resolución: Hagamos un diagrama que represente la situación narrada.

Diagramas de flujo Se emplean cuando una cantidad varía a lo largo de la historia o si tenemos la situación final de esta cantidad. También cuando se dan secuencias de pasos para en- contrar objetos matemáticos, entre otras aplicaciones. Ejemplo: Un número se duplica, luego se le resta 8 y después se invierten las cifras de este número. Finalmente, se divide por 6 y se obtiene 8. ¿Cuál era el número? Resolución: Haremos un diagrama que indique las fases por las que pasó el número.

48

× 2 –8 Invertir ÷ 6 (^8)

ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS

Escribe las tres filas siguientes de este arreglo. Como observas, cada fila empieza por uno. ¿Qué número si- gue al 1 en la fila 75?, ¿cuál es la suma de los números que ocupan la fila número veinte?, ¿puedes encontrar un patrón en las diagonales del triángulo de Pascal?

Haz una lista sistemática En los casos en que se requiere la enumeración de objetos matemáticos, es conveniente realizar un con- teo o listado organizado, con el fin de no dejar de lado ninguna posibilidad. Esta estrategia es muy útil al bus- car soluciones en una ecuación polinómica, para en- contrar espacios muestrales o resolver problemas de permutaciones o combinaciones. Ejemplo:

¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

Pongamos una etiqueta a cada uno de los cuatro triángulos en que se ha dividido el triángulo mayor.

Resolución:

• Contemos ahora los triángulos identificándolos por el número de letras: Triángulos con una letra: a-b-c-d Triángulos con dos letras: ab-bc-cd Triángulos con tres letras: abc-bcd Triángulos con cuatro letras: abcd
• En total tenemos: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 triángulos.

Generaliza En algunos problemas puede ser muy útil simbolizar las expresiones o averiguar si lo que piden se refiere

a un caso particular de alguna propiedad general; a esto se conoce como la paradoja del inventor. A veces, es conveniente investigar más de lo que piden. Ejemplo: Halla el valor de (234 756 474)^2 – (234 756 473)^2. Solución: Se observa que elevar al cuadrado cada número y lue- go realizar la resta sería demasiado laborioso, así que se trata de ver en la estructura del problema alguna particularidad. Lo primero que se observa es que con- siste en una diferencia de cuadrados, lo que nos hace recordar las fórmulas algebraicas pertinentes. Ade- más, se aprecia que los números son consecutivos.

• Al generalizar el problema, se observa que se solicita: (n + 1)^2 – n^2 , cuando n vale 234 756 473
• Factorizando por diferencia de cuadrados, se tiene: (n + 1 + n) (n + 1 – n) = (n + 1) + n
• Luego, podemos afirmar que, para cualquier n ente- ro positivo, se cumple: (n + 1)^2 – n^2 = (n + 1) + n = 2n + 1
• Ahora el problema se ha simplificado bastante; para hallar la respuesta, solo basta duplicar el número dado y aumentarle 1. Entonces: (234 756 474)^2 – (234 756 473)^2 = 469 512 947

Particulariza Conviene siempre utilizar casos particulares para fa- miliarizarse con el problema; de este modo, es posible observar algún método que guíe hacia la solución de un problema genérico. Ejemplo: En una tienda de remates te ofrecen un descuento del 12 %, pero, al mismo tiempo, debes pagar el impuesto general a las ventas (18 %). ¿Qué preferirías que calcu- lasen primero, el descuento o el impuesto? Solución:

• Particularicemos para algunos casos: Si el artículo vale S/100 y elijo primero el descuento, termino pa- gando S/106. Pero si elijo pagar el impuesto antes, entonces termino pagando la misma cantidad.

a b c d

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

1

• Podemos probar con otros precios y obtener un re- sultado análogo. Esta experimentación me da pie para inferir que es lo mismo elegir primero el des- cuento o el impuesto.
• Ahora deberé evaluar mi conjetura.

Razona lógicamente

El razonamiento lógico es muy importante al resolver problemas, pues gracias a él podemos engarzar los pasos y comprender las secuencias y cadenas de razonamientos que se producen en el desarrollo de su solución. Un ejemplo clásico es el siguiente acertijo.

Ejemplo:

José, Jaime, Tito y Rosa son guardias en un museo. Ellos hacen guardia cuatro días a la semana. Dos personas solamente hacen guardia cada día. Nadie hace tres días de guardia seguidos. ¿Cuál de los tres hombres no hace guardia con Rosa?

Solución:

• Veamos una lista parcial que muestra los días de la semana en los que cada uno hace guardia:

Dom. Lun. Mar. Miér. Juev. Vier. Sáb. José Tito Rosa José Jaime Tito Rosa Jaime

Empieza por el final

La estrategia de utilizar el pensamiento regresivo se utiliza mayormente en problemas en los cuales tenemos información de una situación final; también para demostrar desigualdades. La combinación de métodos progresivos y regresivos es una potente técnica para demostrar teoremas.

La utilización del razonamiento regresivo nos evitará tener que trabajar con ecuaciones complicadas.

Ejemplo:

El nivel del agua de un pozo desciende 3 centímetros por debajo de su mitad en cada hora, hasta quedar va- cío luego de 4 horas. ¿Qué profundidad tenía el agua inicialmente?

Solución:

• “3 cm debajo de su mitad” se interpreta como ÷ 2, –3.
• Esto ocurre en cada hora y se repite 4 veces, ya que todo el suceso ocurre en 4 horas; de modo que al final el nivel es cero (0).
• Las operaciones directas serían así: x → (÷ 2, –3, ÷ 2, –3, ÷ 2, –3, ÷ 2, –3) → 0
• Ahora, operando al revés, obtenemos: x = 90

Plantea una ecuación Una de las técnicas de modelación por excelencia a nivel elemental es el planteo de ecuaciones. Lo primordial para poderla aplicar con éxito es el entrenamiento que se tenga en la traducción del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico. Es conveniente ponerse de acuerdo en cuanto a convenciones generales de redacción para no crear ambigüedades. Ejemplo: Dos velas de la misma longitud se encienden al mismo tiempo. La primera se consume en 4 horas y la segun- da, en 3. ¿Cuánto tiempo pasa, después de haberse encendido, hasta que la primera vela tenga el doble de longitud que la segunda? Solución:

• La primera vela se consume en su cuarta parte cada hora.
• La segunda se consume en su tercera parte cada hora. Tiene que verificarse; por tanto: L – (1/4)Lx = 2 [L – (1/3)Lx]; simplificando: 1 – (1/4) x = 2 – (2/3)x; de donde x = 2,4 horas
• Es decir, pasan 2 horas 24 minutos.

Establece submetas Muchas veces, para llegar a la solución de un problema, se deben resolver problemas más pequeños. Es como escalar una gran montaña: se sabe que se debe llegar a alturas menores para conquistar la cima. De igual manera, para resolver un problema original, se necesita de un problema auxiliar que sirva de medio.

ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS

y Diseñam





1

Ficha

Aplicamos nuestros aprendizajes

Conozcamos sobre la presión arterial

Las arterias son vasos sanguíneos que llevan sangre desde el corazón hacia el resto del cuerpo. La presión arterial indica la fuerza que ejerce la sangre al circular por las arterias. La presión arterial se mide con el tensiómetro, mediante dos números que aparecen en la pantalla. A continuación, se muestra un ejemplo.

Fuente: https://goo.gl/iorQuE

Fuente: MINSA

©Shutterstock

La tabla muestra la clasificación de la presión arterial en adultos de 18 años a más:

El número superior indica la fuerza de la sangre en las arterias cuando el corazón se contrae (late). Se la denomina presión sistólica.

El número inferior indica la fuerza de la sangre en las arterias mientras el corazón está relajado (llenándose con sangre entre cada latido). Se la deno- mina presión diastólica.

Categoría Presión sistólica (mmHg) Presión diastólica (mmHg) Normal <120 < Pre-hipertensión 120-139 80- Hipertensión ≥140 ≥ Hipertensión Estadío 1

140-159 90-

Hipertensión Estadío 2

≥160 ≥

1. Si una persona adulta tiene mmHg/78 mmHg de presión arterial, ¿en qué categoría se encuentra? 2. Expresa mediante intervalos los valores de la presión sistólica y determina si la expresión "más de 140" equivale a decir "de 140 a menos de 160 y de 160 a más". Justifica tu respuesta.

Propósito: Establecemos relaciones entre datos y las transformamos a expresiones numéricas (modelos) que incluyen operaciones con intervalos. También representamos con lenguaje numérico la comprensión sobre intervalos y seleccionamos estrategias de cálculo, estimación y procedimientos diversos para realizar operaciones con intervalos.

Diseñamos o seleccionamos una estrategia o plan

1. Para consolidar en un solo intervalo las categorías que ponen en riesgo la vida de una persona, ¿qué operación se puede realizar con los intervalos? Explica. a) Intersección b) Unión c) Diferencia d) Complemento

Comprendemos el problema

1. ¿Cómo y con qué instrumento mide la presión arterial el profesional de salud en los hospitales? 2. Según los datos brindados, ¿en qué categorías está en riesgo la vida de una persona? ¿Qué consecuencias podría causar en la salud de dicha persona? 3. (^) ¿Qué conocimiento matemático puede ayudarnos a responder las interrogantes? 4. ¿Qué piden determinar las preguntas de la situación? 2. ¿Cuál de las estrategias utilizarías para resolver la pregunta de la situación? Justifica. a) Diagrama tabular b) Diagrama en la recta numérica c) Diagrama de tiras

Situación A

Controlar el peso* de las niñas y los niños durante los primeros años de su vida es muy importante porque se previenen enfermedades y problemas nutricionales. El siguiente gráfico representa la relación entre la edad y el peso (kg) de niñas y niños menores de 5 años. ¿De qué otra forma se pueden presentar algunos valores de las categorías existentes?

Fuente: https://goo.gl/FiCosA *En la situación, "peso" se refiere a "masa corporal".

Comprobamos nuestros aprendizajes

Propósito: Representamos con lenguaje numérico la comprensión sobre las operaciones con números e intervalos para interpretar el problema en su contexto. Asimismo, justificamos afirmaciones sobre las propiedades de las operaciones con números e intervalos usando propiedades de los números y operaciones.

© Shutterstock

Resolución

Edad Sobrepeso (kg) (^) sobrepeso (kg)Riesgo de Normal (kg) Bajo de peso (kg) 2 años De 15 a más [13,5; 15[ [9,8; 13,5[ [0; 9,8[ 3 años De 18 a más [16,2; 18[ [11,5; 16,2[ [0; 11,5[ 4 años De 21 a más [18,8; 21[ [13; 18,8[ [0; 13[

Organizamos la información en una tabla y la relación de la edad y peso del niño.

1. ¿En cuál de las representaciones la información que se presenta es la más adecuada en relación con la masa corporal de un niño de 3 años y de una masa corporal de 10 kg? 2. (^) Escribe, mediante intervalos, la información referida a sobrepeso que se presenta en la tabla y determina qué tipo de intervalos son.

Respuesta: Observando el gráfico mostrado, concluimos que algunos valores de las categorías existentes se pueden presentar en una tabla.

Aprendemos a partir del error

Situación C De acuerdo a su experiencia, el supervisor de una panadería estimó el tiempo de producción (en horas) del millar de bocaditos dulces y del millar de bocaditos salados, y lo expresó mediante intervalos: Dulces: [3,5;5[ Salados: [2,5;4,5[ ¿Cómo expresarías mediante un solo intervalo el tiempo que podría tardar la producción de un millar de bocaditos surtidos?

Resolvemos esta operación representando los intervalos en la recta numérica:

Respuesta: La producción de un millar de bocaditos tardaría entre 3,5 a 4,5 horas.

1. (^) ¿Qué tipos de intervalos son los que representan los tiempos de producción de los bocaditos dulces y salados? 2. ¿Es correcto decir que la producción de bocaditos surtidos es de 3,5 a 4,5 horas? Explica.

Observamos que el tiempo mínimo de producción es de 3,5 horas si todos fueran dulces; asimismo, que el tiempo máximo es de 4,5 horas si todos fueran salados. Entonces los bocaditos surtidos serán producidos en ese rango de tiempo. Esto equivale a la intersección de ambos intervalos:

[3,5; 5[ ∩ [2,5; 4,5[ = [3,5; 4,5]

1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,

Salados Dulces

Resolución

Edad y talla de niñas y niños menores de 5 años

La siguiente gráfica muestra la relación entre la edad y la estatura de niñas y niños de 0 a 5 años de edad.

Con esta información, responde las preguntas 1 y 2.

1. ¿Entre qué talla podría tener un niño de 4 años 8 meses de edad para que la relación de talla y edad sea adecuada y se ubique en la categoría "normal"? a) [94; 111] b) [100; 120] c) [98; 114,5] d) [45; 120]

Fuente: https://goo.gl/26bmN

Evaluamos nuestros aprendizajes

Propósito: Establecemos relaciones entre datos y las transformamos a expresiones numéricas (modelos) que incluyen operaciones con intervalos. También representamos con lenguaje numérico la comprensión sobre intervalos y seleccionamos estrategias de cálculo, estimación y procedimientos diversos para realizar operaciones con intervalos. Asimismo, justificamos afirmaciones sobre las propiedades de las operaciones con números e intervalos usando propiedades de los números y operaciones.