Libros pre Universidad, Apuntes de Política Agrícola

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ARITMÉTICA

5. Josué tiene 6 banderas de colores diferentes. ¿Cuántas señales

diferentes podrá emitir izando solo tres banderas?

A. 120

B. 80

C. 216

D. 112

E. 240

6. ¿Cuántos códigos diferentes se pueden formar utilizando 3

vocales y seguido de 4 dígitos diferentes?

A. 125 000

B. 45 000

C. 630 000

D. 480 000

E. 720 000

7. Bruno debe resolver un examen de 5 preguntas. Si cada pregunta

tiene 3 alternativas y solo una es la correcta, ¿De cuantas

maneras puede contestar Bruno el examen?

A. 81

B. 243

C. 729

D. 432

E. 512

8. Para elaborar un examen de matemática, se dispone de 3

problemas de aritmética, 3 de algebra, 2 de geometría y 2 de

trigonometría. ¿De cuantas maneras pueden ordenarse los

problemas si los que corresponden a un mismo tema debe

aparecer en forma consecutiva?

A. 3240

B. 4320

C. 3456

D. 3678

E. 3654

9. Una familia conformada por el padre, la madre y 6 hijos (

varones y 3 mujeres) se ubican alrededor de una mesa circular.

¿De cuantas formas se podrán ubicar si los padres no quieren

sentarse juntos?

A. 3450

B. 3210

C. 2 860

D. 3600

E. 3550

10. ¿Cuántas palabras con sentido o no se puede formar ordenando

las letras de la palabra FOTOGRAFIA, si las consonantes iguales

deben ir a los extremos

A. 5040

B. 5400

C. 6400

D. 10080

E. 760

11. La señora Melisa tiene 12 amigas de confianza. ¿De cuantas

formas podrá invitar a tomar el té a 6 de ellas, si a Carolina y a

Julia siempre las invita?

A. 24

B. 48

C. 56

D. 180

E. 210

12. Una familia conformada por 10 integrantes llega a un

restaurante y encuentra 2 mesas disponibles con 5 asientos cada

una. ¿De cuantas formas diferentes podrán ubicarse en las

mesas?

A. 72 576

B. 145 152

C. 123 560

D. 85 460

E. 72670

13. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden sentar 5 personas en

una fila con 8 asientos numerados del 1 al 8?

A. 720

B. 56

C. 5950

D. 6720

E. 120

14. ¿Cuántos números de 7 cifras existe tal que el producto de sus

cifras se 20?

A. 142

B. 162

C. 147

D. 172

E. 184

15. Se lanzan 4 dados de colores diferentes, ¿de cuantas formas se

puede obtener un resultado no menor a 23?

A. 36

B. 20

C. 12

D. 5

E. 8

16. Se tienen 10 focos de los cuales hay 3 que están fallados. Si se

prueba uno a uno obteniendo en la sexta prueba el tercer foco

fallado, ¿de cuantas maneras se pudieron haber realizados las

pruebas?

A. 8

B. 10

C. 12

D. 16

E. 14

17. Cuatro parejas de enamorados se sientan en una fila con 10

asientos. ¿De cuántas formas se podrán ubicar si las parejas

deben estar siempre juntas?

A. 2880

B. 5760

C. 2460

D. 5670

E. 4560

18. De cuantas formas se pueden ubicar 5 libros de física y 6 libros

de química en un estante con 5 espacios si los de química van a

los extremos y los de física la centro?

A. 1600

B. 1800

C. 1400

D. 1250

E. 1780

19. Si en una reunión hubo 105 apretones de mano. ¿De cuantas

maneras podemos escoger a 6 de las personas y ubicarlas

alrededor de una mesa?

A. 540 540

B. 600 600

C. 234 234

D. 650 650

E. 320 320

20. ¿De cuantas formas se puede ordenar la palabra INTERNET de

tal forma que letras iguales estén juntas, pero no puede ir juntas

la I y la R?

A. 72

B. 36

C. 48

D. 56

E. 12

21. Se tiene un grupo de n personas. La cantidad de formas de

ubicarlos en una fila de modo tal que 2 de ellos en particular

estén siempre juntos excede en 8640 a la cantidad e formas en

la que las n personas se pueden ubicar en fila de modo tal que

2 de ellos vayan a los extremos. Halle n.

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

E. 11

Númerototaldecasosposibles

númerodecasosfavorablesa A

n

nA

P x

Experimento aleatorio ():

Prueba o ensayo que depende del azar, o sea que sus resultados no

pueden predecirse sin haber realizado previamente la prueba, pero

si que hay un conjunto de posibles resultados, por ejemplo:

1: Lanzar una moneda y observar la cara superior

2: Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara

superior.

Espacio Muestral ():

Conjunto formado por todos los resultados de un experimento

aleatorio.

I) En “1” del ejemplo anterior

 = {C, S} C = Cara; S = Sello

Número de elementos: n () = 2

II) Para “2”:

n() = 6

Evento o Suceso

Cualquier subconjunto de un espacio muestral, se denota con las

primeras letras mayúsculas del alfabeto.

I) Para “2”, el siguiente evento:

A: Obtener un número par al lanzar un dado.

A = {2, 4, 6} n(A) = 3

TIPOS DE EVENTO

I) Evento Seguro:

Llamado también “universal”, porque siempre ocurre.

A : Al lanzar una moneda y obtener cara o sello.

A = {C, S} = 

II) Evento Imposible:

Llamado también “vacío”, porque nunca ocurre

B : Al lanzar una moneda y obtener 2 caras.

B = {C, C} = 

III) Evento Contrario (A’):

O complementario, se considera cuando un evento ocurre y

otro no, es decir “A’” es el evento contrario a “A”.

Ejemplo:

A : Lanzar un dato y obtener un número par.

Entonces:

A’ : Lanzar un dado y no obtener un número par.

IV) Eventos Mutuamente Excluyentes:

Si la ocurrencia de uno de ellos, impide la ocurrencia de los

demás (no pueden ocurrir juntos).

Ejemplos:

A : Lanzar un dado y obtener un número múltiplo de 2.

 A = {2, 4, 6}

B : Lanzar un dado y obtener 1 ó 3

 A = {1, 3}

Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces:

V) Eventos Independientes:

Cuando la ocurrencia de uno de los eventos, no afecta la

ocurrencia de los demás (Pueden ocurrir en forma conjunta).

Ejemplo:

A : Lanzar una moneda y obtener un número primo:

A = {2, 3, 5}

B: Lanzar un dado y obtener cara:

B = {C}

Si A y B son eventos independientes, entonces pueden ocurrir

en forma simultánea.

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

Si “A” es un evento de un espacio muestral , entonces la

probabilidad de ocurrencia de “A” se denota P(A) y está dada

por:

PROPIEDADES

I) 0  P ( A  1 )

II)

AEvento posible

P A A

: Im

III)

AEventoSeguro

P A A

:

IV) Aplicación del Evento Contrario

P A P A

P A P A ó

Aplicación 

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar, al lanzar un

dado?

Resolución:

Posibles resultados: ={1, 2, 3, 4, 5, 6}n()=

Casos favorables: A = {1, 3, 5}  n(A) = 3

P ( A )= =

Aplicación 

En una urna donde hay 7 bolas blancas, 5 bolas rojas y 3 bolas

azules ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 2 bolas, éstas sean

de color rojo?

Resolución:

Casos a favor:

Tenemos que sacar un grupo de 2 bolas rojas de un total de 5

disponibles.

5

2

 nA = C =

Total de casos:

Tenemos que sacar un grupo de 2 bolas de un total de:

Blancas Rojas Azules

 n() = 105

15

2

C =

P ( A )= =

SEMANA 6 : PROBABILIDADES

A  B = 

A  B = 

14. A una señora embarazada le diagnostican cuatrillizos. ¿Cuál es

la probabilidad que el día del parto nazcan 4 mujeres?

a. 1/

b. 1/

c. 1/

d. 1/

e. 1/

15. En una competencia atlética de 100 m. intervienen los atletas

A, B, C, D y E. ¿Cuál es la probabilidad de que al finalizar B

llegue luego de A?

a. 1/

b. 1/

c. 1/

d. 1/

e. 3/

16. En una caja hay 10 focos de los cuales 4 están en buen estado,

una persona toma al azar 3 focos. Hallar la probabilidad de que

por lo menos uno esté en buen estado.

a. 2/

b. 1/

c. 5/

d. 1/

e. 1/

17. En una urna se tiene fichas numeradas consecutivamente desde

1 hasta 20. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una ficha

se obtenga un múltiplo de 3?

a. 3/

b. 4/

c. 5/

d. 7/

e. 9/

18. En un paquete hay 20 tarjetas perforadas marcadas con

números 401, 402, … ,420 y dispuestas arbitrariamente, Alfredo

extrae al azar dos tarjetas. Hallar la probabilidad de que sean

escogidas las tarjetas perforadas con los números 401 y 420

a. 1/

b. 1/

c. 1/

d. 1/

e. 1/

19. En un concurso participan 7 alumnos y 8 alumnas, se deben

haber 2 ganadores, ¿Cuál es la probabilidad de que los

ganadores sean una pareja mixta?

a. 8/

b. 5/

c. 7/

d. 8/

e. 4/

20. Un artillero dispara a un blanco. Si la probabilidad de acertar

un disparo es de 0.01 ¿Qué probabilidad tiene de no acertar?

a. 0.

b. 0.

c. 0.

d. 0.

e. 0.

21. En una oficina hay 60 empleados de los cuales 20 son solteros

que no son universitarios y 40 son universitarios; además de los

universitarios 15 están solteros. Si se selecciona un empleado al

azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea soltero?

a. 7/

b. 7/

c. 8/

d. 9/

e. 9/

22. Una urna (I) contiene una bola blanca y 3 negras; la urna (II)

contiene 3 bolas blancas y 2 negras y la urna (III) 4 bolas negras

y 8 rojas; una urna se escoge aleatoriamente y de ella se extrae

una bola. Calcule cual es la probabilidad que la bola elegida sea

de color negro.

A) 89/

B) 89/

C) 19/

D) 15/

E) 77/

23. En una habitación 10 personas tienen insignias numeradas del

1 al 10. Se eligen 3 personas al azar y se les pide que dejen la

habitación e inmediatamente se anotan los alumnos de las

insignias. ¿Cuál es la probabilidad de que el número menor de

las insignias sea el 5?

A) 2/

B) 1/

C) 1/

D) 1/

E) 9/

24. Un juguero, muy creativo, prepara sus jugos utilizando

únicamente piña, manzana, naranja, fresa y maracuyá. Cierto

día me presento una lista que indicaba todos los posibles jugos

que él podía preparar; y elegí uno al azar ¿Cuál es la

probabilidad de que dicho jugo contenga piña, pero no fresa?

A) 8/

B) 7/

C) 1/

D) 30/

E) 11/

ARITMÉTICA

Definición: Es una ciencia que nos proporciona un conjunto de

métodos y procedimientos para la recolección, clasificación,

organización, presentación, análisis e interpretación de datos en

forma adecuada con el fin de realizar una teoría de decisiones más

efectiva.

Clases de Estadística

Estadística Descriptiva: Es la parte de la estadística que trata

de recopilar, clasificar, presentar y describir datos estadísticos.

Estadística Inferencial: Es la parte de la estadística cuyo

objetivo es investigar como deben ser utilizados los datos para

reducir resultados ó probar alguna hipótesis.

Observación:

La diferencia entre la estadística descriptiva y la inferencial es que

la segunda usa el cálculo de la probabilidad.

Población: Es un conjunto de datos referentes a determinadas

características de un grupo de individuos o elementos.

Ejemplo:

Las edades de los alumnos de la UNI

Muestra: Es un subconjunto tomado al azar de los elementos de

una determinada población.

Ejemplo:

Las edades de los alumnos de la facultad de mecánica.

Variable.-Es una característica que puede tomar varios valores.

Es un “Dato” que sufre variación dentro de una escala recorrido

o intervalo. Una variable puede ser:

1. Variable cuantitativa.- Cuando esta asociada a una

característica cuantitativa, es decir cuando se puede establecer

cuánto o en que cantidad se posee una determinada

característica. Por ejemplo, son variables cuantitativas:

Ingreso por familia, numero de accidentes de transito, longitud,

tiempo, etc.

Una variable cuantitativa puede ser:

• Discreta: Son aquellas que surgen por el

procedimiento de conteo, es decir, pueden tomar

algunos valores del intervalo considerado

(generalmente números enteros positivos).

Por ejemplo: una familia puede tener: 0; 1; 2; 3; … ; 10

hijos, pero no valores intermedios

• Continua: Son aquellas que pueden tomar cualquier

valor del intervalo considerado.

Por ejemplo : El peso, la estatura, la presión arterial, la

superficie, etc.

2. Variable cualitativa.- Cuando esta asociada a una

característica cualitativa, es decir, cuando sus valores son

cualidades, propiedades o atributos que presenta la

población.

Por ejemplo : La variable “profesión“ puede adoptar las

modalidades: ingeniero, medico, biólogo, economista,

… etc.

Distribución de Frecuencias

Consiste en distribuir los datos de la muestra en clases ó categorías

e ir colocando el número de datos que caen en cada intervalo.

Definiciones Previas

Alcance o Recorrido (A)

Es el intervalo definido por los datos extremos(mayo y menor

valor)

Rango (R)

En la longitud de alcance que resulta por la diferencia del mayor

y menor valor.

Intervalo de Clase(I i

Son grupos que resultan de particionar el alcance ó recorrido; el

número de grupos (K) se determina por la regla propuesta por

Sturges.

(Redondeando el entero superior e inferior según convenga)

Donde:

n: Número total de datos disponibles.

Ancho de Clase (W)

Es la diferencia que hay entre los extremos de cada intervalo de

clase.

Ejemplo:

Sea el intervalo [ L i + 1

- L

i

i 1 i

W L L

También:

K

R

W =

Marcas de Clase (xi)

Son los puntos medios de los intervalos de clase.

Ejemplo:

Sea el intervalo [L i

- L

i+

L L

i i

x

Frecuencia Absoluta(f i

): Es el número de datos que caen dentro

de cada intervalo de clase.

Frecuencia Relativa(hi): Viene a ser el cociente entre la

frecuencia absoluta y el número de datos

n

f

h

i

i

Frecuencia Absoluta Acumulada (F i

):Es aquella que resulta

de sumar sucesivamente las frecuencias absolutas.

Frecuencia Relativa Acumulada (H)

Es aquella que resulta de sumar sucesivamente las frecuencias

relativas.

SEMANA 7 : ESTADÍSTICA I

K = 1 + 3,32 Log n

ARITMÉTICA

13. ¿Qué tanto por ciento del total son ingenieros?

a) 12%

b) 10%

c) 8%

d) 5%

e) 6%

14. determinar “h 4 + h 5 ”

a) 0.

b) 0.

c) 0.

d) 0. 40

e) 0.

15. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los ayudantes?

a) 0.

b) 0.

c) 0.

d) 0.

e) 0.

Se tomó un simulacro de admisión a los alumnos del 4to y 5to

del colegio y se obtuvo los siguientes resultados (máximo

puntaje posible: 100 puntos)

16. Si los datos se van a clasificar en 6 intervalos ¿Cuál sería los

límites del cuarto intervalo?

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

17. Hallar la frecuencia relativa del segundo intervalo?

a) 0. 5

b) 0. 6

c) 0. 7

d) 0. 4

e) 0.

18. ¿Qué tanto por ciento de los alumnos obtuvo menos de 70

puntos?

a) 68,3%

b) 63,3%

c) 60%

d) 58,7%

e) 55,3%

19. Si la nota aprobatoria es 60 o más puntos, cual es el tanto por

ciento de los aprobados.

a) 70%

b) 60%

c) 80%

d) 50%

e) 55%

20 ¿Cuál es la suma de la mayor y menor frecuencia absoluta?

a) 4

b) 12

c) 6

d) 8

e) 10

Las edades de un grupo de alumnos del cuarto año del colegio

“Carpe Diem” son:

21. Determine la media.

a) 17.

b) 16.

c) 17.

d) 16.

e) 15.

22. Determinar la mediana.

a) 17.

b) 17

c) 16.

d) 16

e) 15.

23. Determine la moda.

a) 15

b) 16

c) 18

d) 14.

e) 16.

De un grupo de 120 alumnos, se obtuvo la siguiente

información sobre las horas diarias que acceden a internet.

x i

[N° de horas] fi [N° de alumnos]

24. En promedio, ¿Qué tiempo acceden a internet?

a) 2.15 h

b) 2.

c) 2.

d) 1.

e) 1.

25. ¿Cuál es la moda?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

PRÁCTICA

1. Se tienen el siguiente histograma de frecuencias relativas:

Intervalos

6x

3x

2x

x

a b c d e f

Frecuencia

relativa

¿Cuántas observaciones hay en el intervalo 

c, f si la

población es de 390?

A) 90 B) 120 C) 150 D) 300 E) 320

2. En el siguiente grafico de frecuencias con ancho de clases no

constante.

Intervalos

10

6

0 x 10 12 14

fi

24

Hallar “x” sabiendo que la media vale 9.

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 11

3. En el siguiente diagrama de frecuencias acumulada relativa,

hallar la media aritmética.

100%

70%

40%

20%

0

4 8 12 16 20

90%

i

I

A) 8.

B) 8.

C) 9

D) 9.

E) 9.

4. Dado el siguiente histograma, calcule la mediana si el área

sombreada es 800

2

u

2b

a

b

a – b

20 36 52 68 84

3b

i

f

i

X

A) 50

B) 52

C) 54

D) 56

E) 58

5. El siguiente gráfico muestra la ojiva de frecuencias relativas

acumuladas de una distribución simétrica.

Ii

C 2

Hi

5a

7b

3b

a

C 1 C 3 C 4 C 5 C 6

¿Cuántas observaciones se presentan en el intervalo

3

C ,

4

C

si la población es de 420?

A) 166

B) 168

C) 176

D) 177

E) 186

6. complete el siguiente cuadro de distribución de frecuencias y

calcule

5 2

a + x +f

i

I

i

x

i

f

i

F i

h

; 50

; 35 0.

2a

; a 100

A. 75

B. 70

C. 85

D. 80

E. 90

7. Si el ancho de clase es constante, calcule R + f 2

+n. Si la mediana

es 20 donde R es el rango y n es el número de datos.

i

I

i

x

i

f

i

F i

h

; 4

;

; 32

A. 60

B. 66

C. 78

D. 76

E. 80

SEMANA 8 : ESTADÍSTICA II

DOCENTE: Julio Huaquipaco Calla

Factorizar es expresar un polinomio como el producto de

polinomios de menor grado al polinomio original

Los polinomios

n

P x se llaman factores

Polinomio Factor

Identidades

i. Diferencia de cuadrados

ii. Suma y diferencia de cubos

iii. Trinomio al cuadrado perfecto

Aspa simple

Se usa para factorizar polinomios:

2n n

P x = Ax + Bx +C, para

conseguirlo debemos seguir el siguiente esquema

( )

2n n

n

1 1

n

2 2

P x Ax Bx C

a x c

a x c

De ahí que

n n

1 1 2 2

P x = a x + c a x +c

Raíz de un polinomio

Sea el polinomio

P x un polinomio, decimos que x = a es

una raíz del polinomio

P x si y solo si

P a = 0

Cálculo de las posibles raíces racionales:

Sea

n n 1

n n 1 1 0

P x a x a x ... a x a

−

−

= + + + + , entonces sus

posibles raíces raciones de dicho polinomio son:

0

1

Divisores a

PRR x

Divisiores a

PRÁCTICA 1

1. Factoriza

3 3 2

P a, b = a + b − ab a + b − c a +b e indica

la suma de factores primos

A. 3a +b

B. 3a +5b

C. a +b

D. a −b

E. 3a −b

2. Factoriza ( )

8 4

R a = a − 12a + 16 , indica el producto de

términos independientes de los factores primos

A. 8

B. 16

C. – 10

D. 2

E. 4

3. Dados los polinomios ( )

2 2

2 2 2

P x = x x + 3 − 3x + 1 y

4 2

Q x = x + 2x − 3 , al factorizar da como respuesta el

factor común cuadrático

A.

3

x + 1

B.

2

x − 2

C.

2

x − 1

D.

2

x + 3

E.

2

x + 4

4. Factorizar

N x = x − 2 x + 3 x + 2 x − 1 + 3 da la

suma de factores primos

A.

2

2x − 2x + 8

B.

2

x −x

C.

2

x +x

D. 2x

E.

2

2x + 2x − 8

5. Halle la suma de los factores primos no comunes no

comunes de los siguientes polinomios

2

P x = x + 5x + 6 ,

2

Q x = 3x + 7x + 2 y

2

L x = 2x + 7x + 6

A. 6x + 7

B. 5x + 4

C. 4x + 4

D. 3x + 6

E. 6x + 9

6. Factoriza e indica un factor primo del polinomio

3 2

P x = x + 4x − 17x − 60

A.

x + 4

B.

x − 3

C.

x − 5

D.

x + 6

E.

x + 3

SEMANA 5: FACTORIZACIÓN

es factor del polinomio si y solo si la

división algebraica es exacta

ÁLGEBRA

7. Calcula la suma de coeficientes del factor primo Mónico

cuadrático que se obtiene al factorizar

5 4 3 2

P x = x + 5x + 10x + 11x + 7x + 2

A. 5

B. 1

C. 4

D. 3

E. – 2

8. Una iglesia se encargará de repartir esta Navidad 2019,

juguetes a r(40) niños que viven en extrema pobreza, con el

apoyo de una institución que donará s(6) juguetes, sabiendo

que r(x) es el factor primo común y s(x) es la suma de factores

primos de los polinomios = − +

4 2

p(x) x 82 x 81 y

3 2

q(x) x 10 x 3 x 54 en  

x , halle el número de

regalos que sobrarán, si cada niño recibe un juguete.

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

E. 1

9. Ana y Claudia son dos amigas que cumplen años el mismo

día, sin embargo, Ana es mayor que Claudia por

h( 2) − − h(2) + 35 años; donde h(x) es aquel factor primo del

polinomio

6 3 6 3

p(x) x 6x 8 x 2x 9 en

x con

menor suma de coeficientes. Determine la edad de Claudia,

sabiendo que Ana cumplió 19 años.

A. 16 años

B. 17 años

C. 18 años

D. 15 años

E. 14 años

10. Si el producto de los factores primos en

x del polinomio

5 4 3 2

p(x) x 2 x 3 x 8 x 7 x 6 evaluados en su

respectivo término independiente representa el número de

árboles talados diariamente en un bosque de la Selva

peruana, ¿cuántos árboles serán talados en 5 días de trabajo

en la Selva peruana?

A. 550

B. 960

C. 540

D. 320

E. 470

PRÁCTICA 2

11. Si un factor primo de

3 2 2 3

K m,n = m + 3m n + 6mn +18n

tiene la forma am +bn, halle el valor de a +b

A. 5

B.

C. 2

D. 6

E. 1

12. Cuantos factores primos tiene el polinomio

P x( ) = ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x + 3 ) − 5

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

13. Factoriza

2 2

M x, y = 2x + 7xy − 15y − 6x + 22y − 8 , calcula

el producto de coeficientes de los factores primos

A. 120

B. 50

C. 80

D. 240

E. 60

14. Factoriza:

3 2

S x = x − 4x − 7x + 10

, indica la suma de sus

factores primos

A. 3x − 2

B. 3x − 4

C. 2x + 1

D. x − 8

E. 2x + 6

15. Si F ( x)es un factor primo del polinomio

3 2

P x = x − 5x − 4x + 20 , halle el menor valor de F 1( )

A. 3

B. 1

C. – 1

D. – 2

E. – 4

16. En la factorización del polinomio

4 3 2

2

2

3x Mx 13x Px 10

3x cx 5

ax dx b

Determinar los valores posibles de M y P respectivamente

A.

M = 2;5 y P =7 ;

B.

M =  7 ; − 1  y P = 2;10

C.

M = 5 ;7 y P = 9 ;

D.

M = 1;1 y P = 2; 2

E.

M = −10 ; − 7 y P = −3;

17. La suma de los coeficientes del factor primo con mayor

término independiente del polinomio

5 4 3 2

p(x) = x − 4x + 5x − 14x + 44x − 40 , representa el

precio (en soles) de un kilo de pescado. Si Helena compra 5

kg de dicho pescado, ¿cuánto deberá pagar en total?

A. 40 soles

B. 20 soles

C. 35 soles

D. 50 soles

E. 60 soles

18. En un aula de 45 alumnos que cursaron la materia de

Matemática Básica aprobaron

2

n − 17n + 76 alumnos,

donde n es la suma de los coeficientes de un factor primo del

polinomio

4 3

p(x) = x + 4 x + 20 x − 25 ¿Cuántos alumnos

desaprobaron, sabiendo que ningún alumno se retiró del

curso?

A. 33

B. 34

C. 35

D. 37

E. 40

ÁLGEBRA

8. Dada la ecuación

2

2k + 1 x + 3 k − 1 x + 1 − k = 0

halla

“k”, si la suma de las raíces es 0,

A. 0,

B. 0,

C. 0,

D. 1

E. 0,

9. Si x y

2

x son raíces de la ecuación

2

x − 6x + 1 = 0 , halle el

mayor valor de

5 3 3 5

1 2 1 2

x x −x x

A.

B. 18 2

C. 12 2

D.

E. 0

10. Si

1

x y

2

x son raíces de la ecuación

2

x − 4x + 2 = 0

halle

el valor de

2 2

1 2

1 2

2 1

x x

3x 3x

x x

A. 32

B. 64

C. 16

D. 24

E. 48

11. Formar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean

7

7  6

A.

2

x − 7x + 6 = 0

B.

2

x + 14x + 7 = 0

C.

2

x − 14x + 7 = 0

D.

2

x − 6x + 7 = 0

E.

2

x − 14x + 7 = 0

12. Dada la ecuación

2

x − 2x − 8 = 0 tiene como conjunto

solución

CS = m ; n. Forma una ecuación de segundo

grado cuyo conjunto solución es

CS 1; n

m n

A.

2

6x − 3x + 1 = 0

B.

2

2x − 5x + 5 = 0

C.

2

8x + 14x − 5 = 0

D.

2

8x − 14x + 5 = 0

E.

2

8x − 14x − 5 = 0

13. De la siguiente pareja de ecuaciones cuadráticas

2

2

3x 5x 2 0

6x 67x 42 0

; calcule la raíz en común

A. 21/

B. 2/

C. 1

D. 2

E. – 1

14. Determine la ecuación cuadrática de raíces 1

x + 1 y

2

x + 1

si se sabe qué

1

x y

2

x son raíces de la ecuación

2

x − 3x − 1 = 0

A.

2

x − 2x + 3 = 0

B.

2

x + 5x − 3 = 0

C.

2

x − 3x + 5 = 0

D.

2

x + 3x + 5 = 0

E.

2

x − 5x + 3 = 0

15. Si la ecuación

2

13 − m x − x + mn + m + n = 0 tiene raíces

reciprocas y además

0

m; n

 , halle la suma de valores

que puede tomar “ m +n”

A. 15

B. 18

C. 23

D. 27

E. 31

PRACTICA 2

16. Si a y b son las raíces de la ecuación

2

2x − 6x + 8 = 0

determine el valor de

a b

A. – 1

B. 1/

C. 3/

D. 6/

E. 3/

17. Resuelva la ecuación

2

15x + 29x − 2 = 0 luego indique la

menor solución

A. 1/

B. – 1/

C. – 1/

D. – 2

E. 1/

18. Resuelva las ecuaciones

2

x + 15 =8x

y

2

2x + 15 =11x

e

indique la solución en común

A. 5

B. 3

C. 5/

D. 2

E. 1/

19. Halle una de las raíces de la ecuación

2

x − 2x = 1

A. 1

B. – 1

C. − 1 + 2

D. 1 + 2

E. − − 1 2

20. Si a y b son las raíces de la ecuación

2

x + 4x + 2 = 0 , halle el

valor de

2 2

M = a b +ab

A. – 1

B. 2

C. – 4

D. – 8

E. 4

21. Si la ecuación

2

x − m + 3 x + m + 3 = 0 , tiene

CS =  ab +1;ab halle la suma de valores de “m”

A. – 1

B. – 2

C. – 3

D. – 4

E. – 5

Un sistema de ecuaciones es un grupo de varias ecuaciones con dos

o más incógnitas, las cuales tienen la misma solución; en un sistema

el número de incógnitas debe ser igual al número de ecuaciones

que forman dicho sistema.

Un sistema de ecuaciones es lineal cuando todas las

ecuaciones que conforman el sistema son lineales es decir que todas

las incógnitas deben ser de grado 1

ax by c

mx ny p

Sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas x e y

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x y z

x y z

x y z

Sistema de ecuaciones lineales con 3 incógnitas x, y, z

Para resolver un sistema de ecuaciones tenemos diferentes métodos

➢ IGUALACIÓN

Este método consiste en despejar la misma variable de cada

una de las ecuaciones del sistema a resolver, para luego

igualar dichos resultados

Ejemplo: Resuelve el sistema

3x 5y 2

2x y 7

Solución:

✓ Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones

2 5y

3x 5y 2 x

7 y

2x y 7 x

✓ Igualamos los resultados obtenidos y resolvemos

2 5y 7 y

3 2

• −

=

13y = 17  =

17

y

13

✓ luego:

x

x

➢ SUSTITUCION

Este método consiste en despejar una variable de cualquier

ecuación y luego reemplazar dicha variable en la otra

ecuación que no se ha despejado.

Ejemplo: Halle la solución

3x 2y 12...(i)

x 2y 8... (ii)

Solución:

✓ Despejamos “x” de la Ecuación (ii)

x = 8 −2y... (iii)

✓ Sustituimos “x” en la Ecuación (i)

3 ( 8 −2y)+ 2y = 12

4y = 12  y = 3

✓ Reemplazamos el valor de “y” en (iii)

x = 8 − 2 3 = 2

Entonces la solución del sistema es:

x ; y = 2; 3

PRACTICA 1

1. Luego de resolver el sistema

5x y 19

2x 3y 5

, halle el valor de

x +y

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 7

2. Al resolver el sistema

2x y z 3

x 3y z 12

3x y z 2

indique el valor de “

xyz ”

A. – 6

B. 6

C. 12

D. 18

E. – 18

3. Resuelve e indica el valor de “y”:

2x 3y 8z 2

6x 9y 12z 3

4x 6y 4z 5

A. 2

B. 1/

C. 1/

D. 3

E. 1/

4. El niño Dennis realiza las siguientes observaciones sobre un

parque infantil de pelotas

➢ Hay pelotas verdes, rojas y amarillas

➢ El número de pelotas verdes y pelotas rojas es cinco

veces el número de amarillas

➢ El número de pelotas verdes es el triple de las amarillas

➢ El total de pelotas amarillas y rojas asciende a 123

Determine el número de pelotas rojas y verdes

A. 41 y 123

B. 82 y 123

C. 82 y 41

D. 123 y 40

E. 30 y 74

5. La administración de un hotel adquirió un total de 200

unidades entre almohadas, mantas y sábanas, por lo que

gastó un total de S/7500. El precio de cada almohada fue de

S/16; el de una manta, S/50; y el de una sábana, S/80.

Además, el número de almohadas compradas fue igual al

número de mantas sumado con el número de sábanas.

¿Cuántas unidades más de almohadas que de sábanas

compró?

A. 70

B. 30

C. 40

D. 100

E. 50

6. Calcule el valor del parámetro “t” del sistema

t 1 x 5y 8

2x y 6

si es consistente determinado

A.

t  − 9

B.

t  − − 1

C.

t  − − 9

D. t 

E.

t  − 0

SEMANA 7: SIST. DE ECUACIONES

DEFINICIÓN:

El logaritmo de un número N en base “a”, es el valor del exponente

que debe tener “x” en la ecuación exponencial

x

a =N

x

a

a = N  x =log N , siempre que a  0;a  1 yN  0

a

log a = 1 ➢

a

log 1 = 0

a

log N

a =N

PROPIEDADES

A. Logaritmo de un producto

B. Logaritmo de un cociente

C. Logaritmo de una potencia

D. Igualdad de logaritmos

E. Intercambio de base y numero

PROPIEDADES DE CAMBIO DE BASE

➢ Cambio de base

➢ Cambio de base y número

➢ Regla de la cadena

COLOGORITMO

ANTILOGARITMO

PRACTICA 1

1. Determine el valor de

5 2 6

M log 3 2

A. 2

B. – 1/

C. 1/

D. – 1

E. – 1/

2. Determine el valor aproximado al centesimal de “n” si se

sabe que

n

, considere quelog 2 =0, 30

A. – 0,

B. – 0,

C. – 0,

D. – 0,

E. – 0,

3. Si se sabe que

b a

log a + log b = 8 , calcule el valor de

2 2

2 2

b a

M = log a +log b

A. 4

B. 6

C. 12

D. 24

E. 36

4. Si se cumple que

9 5

x = log 4  y =log 3 calcule log125en

términos de x e y

A.

1 +xy

B.

x

1 +y

C.

y

1 +x

D.

1 +xy

E.

1 +xy

5. Determine el valor de

x

log y si se cumple que

y x

x y

log x log y

13

log y log x 12

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

6. Determine la solución de la siguiente ecuación

20

log 3 1

log x 1

log 2 1

A. 3

B.

4

C. 1,

D. 1,

E. 0,

7. Calcula

4 6

2 2 2

M =log anti log colog 8

A. – 8

B. – 9

C. – 1

SEMANA 8: LOGARÍTMOS

ÁLGEBRA

D. – 5

E. 9

8. Calcula 3 5 7

2 5 7

3

E = log 3  log 5  log 7 log 2

A. 202

B. 204

C. 206

D. 208

E. 210

9. Calcula

2 log 5 log 14

7 7

log 2

7

E

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

10. En un cultivo de bacterias, el número T de horas transcurridas

y el número N de bacterias, al cabo de T horas, está

relacionado por:

log N = log 4 + T log 5 , si han

transcurrido seis horas ¿Cuántas bacterias habrá en el cultivo?

A. 12 500

B. 312 500

C. 62 500

D. 72 500

E. 60 000

11. Suponga una población, cuyo modelo matemático esta dado

por

0,02x

P x = 4  10 , en millones, a partir del año 2010.

Determine el número de años “x” de tal manera que la

población sea de 12 millones

A. 50 log 3

B. 100 log 3

C. 10 log 5

D. 5 log 3

E. 500 log 3

12. Si ( ) ( )

2

F x = 2log x + 1 determine la altura a la que se

encuentra una partícula en movimiento, entre el tercer y

séptimo segundo, donde “x” es el tiempo en segundos y

F x

es la distancia en metros

A. Entre 2 m y 8 m

B. Entre 4 m y 6 m

C. Entre 2 m y 6 m

D. Entre 0 m y 6 m

E. Entre 1 m y 5 m

13. Halla L + 2 , si se sabe que

4 3 5 7

L = log 25  log 7  log 9 log 4

A. 6

B. 8

C. 12

D. 7

E. 10

14. Si log log log x = 1 +log 2, determina el valor de

W = log log log x

A.

B.

C.

D.

4

E. 3

PRÁCTICA 2

15. Halle el valor de

log 5 log 3 log 4 log 5

log 5

3 2 5 3

E 2 9 10

 

A. 58

B. 22

C. 26

D. 91

E. 46

16. Resuelve la ecuación

7

x 2 x 1

log 4

log 7 log 7

− +

A. 3

B. – 3

C. – 2

D. – 1

E. 

17. Calcula

3 4 6

2 3 2 2

M anti log log anti log co log 8

A. 27

B. 1/

C. 1/

D. 1/

E. 9

18. Calcula el valor de

( ( ))

4 2

K = log anti log log 20 − 1

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

19. Resuelve

b

x 1

log m

x 1

A.

2m

b 1

b

B.

2m

b 1

C.

m

b + 1

D.

2m

2m

b 1

b 1

E. N.A.

20. Si se sabe que

4

log y = 2 , halla el valor de “x” en

2 3

4

x y

log 5

A. 2

B. 5

C. 7

D. 4

E. 8