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Límite de una función de varias variables
El límite de una función de varias variables se refiere a lo que sucede con la función a
medida que las variables independientes se aproximan a ciertos puntos en el dominio de
la función.
Definición:
Teniendo en cuenta que el vector
b
es el limite de la función
F en a ⃗ y escribiremos
lim
⃗ x→ ⃗a
F
x
b
sí para cada número ε > 0, existe un numero δ > 0, tal que ⃗x ∈ D F
y
0 <‖⃗x− a⃗‖<ε entonces
‖
F ( ⃗x)−
b‖<ε
Teorema
Sea
b = (b 1
, b 2
, b 3
, …, b m
R
m
F
= (F
1
, F
2
, …, F
m
) una función de
F
: R
n
→ R
m
y
a
es
un punto de acumulación de D F
entonces
lim
⃗ x→ ⃗a
F
x
b
sí y solo si
lim
⃗ x→ ⃗a
F
x
b
x, ∀ k =
1, 2, 3, …, m.
Propiedades
Sean
F,
G; R
n
→ R
m
funciones vectoriales tal que
lim
⃗ x→ ⃗a
F ( ⃗x )=
b
y
lim
⃗ x→ ⃗a
G( ⃗x )= ⃗c
, entonces:
i.
lim
⃗ x→ ⃗a
γ
F ( ⃗x )=
b
γ lim
⃗ x → ⃗a
γ
F ( ⃗x )=γ
b
, γ es un escalar.
ii.
lim
⃗ x→ ⃗a
F
x
G
x
)=lim
⃗ x → ⃗a
F
x
± lim
⃗ x → a⃗
G
x
b ± ⃗c
iii.
lim
⃗ x→ ⃗a
F ( ⃗x )‖
lim
⃗ x → a⃗
F ( ⃗x )
=‖
b‖
iv.
lim
⃗ x→ ⃗a
F ( ⃗x ).
G ( ⃗x )
lim
⃗ x→ ⃗a
F ( ⃗x ). lim
⃗ x→ ⃗a
G ( ⃗x )=
b. ⃗c
v. Si
φ : R
n
→ R una función real y
a un punto de acumulación de D F
D
φ
entonces:
lim
⃗ x→ ⃗a
(φ
F)( ⃗x )
lim
⃗ x→ ⃗a
φ ( ⃗x ). lim
⃗ x→ 0
F ( ⃗x )
Continuidad de funciones vectorial de varias variables
Una función vectorial F(x)=⟨f1(x), f2(x), …, fn(x)⟩, donde x es un vector de variables
independientes x1, x2, …, xn, se considera continua si para cualquier cambio pequeño
en las variables independientes, los valores de f1(x), f2(x), …, fn(x) no experimentan
cambios drásticos.
La función de
F es continua en el punto
a de D F
, si para cada
ε
0, existe un
δ
0, tal
que:
¿ , siempre que
x ∈ D F
y
‖⃗x− ⃗a‖< δ
Teorema.
“La función
F
es continua en a ⃗ sí y solo si cada una de sus funciones componentes es
continua en ⃗a “.
Derivadas parciales de funciones vectoriales de más de una variable
Las derivadas parciales de funciones vectoriales de más de una variable son una
extensión de las derivadas parciales de funciones escalares.
Gradiente de una función vectorial
El gradiente de una función vectorial es un concepto fundamental en cálculo vectorial
que generaliza la idea de la derivada de una función escalar a funciones vectoriales. El
gradiente se utiliza para describir la dirección y la tasa de cambio máxima de una
función vectorial en un punto dado.
Supongamos que tenemos una función vectorial F(x) definida en un espacio n-
dimensional, donde x=(x1,x2,…,xn) es un vector de variables independientes. El
gradiente de F, denotado como ∇F o ∇⋅F, es un vector que se obtiene calculando las
derivadas parciales de las componentes de F con respecto a las variables xi.
grad (ϕ) =
d ϕ
dx
i +
d ϕ
dy
j +
d ϕ
dz
k
El operador
El operador vectorial diferencial es dado por:
d
dx
i +
d
dy
j +
d
dz
k
Nota: ∇ se llama NABLA.
Introducción del operador diferencial
al gradiente.
Como:
d
dx
i +
d
dy
j +
d
dz
k
grad (
ϕ ) =
d ϕ
dx
i +
d ϕ
dy
j +
d ϕ
dz
k
Propiedades del gradiente.
- ∇ (c,ϕ) = c ∇ ϕ
ϕ +ψ ) =
∇ ϕ
∇ ψ
- ∇ (c,ϕ) = ϕ ∇ ψ + ψ ∇ ϕ
- ∇ f (u, v, w) =
d f
du
∇ u +
d f
dv
∇ v +
d f
dw
∇ w
Divergencia de una función vectorial
Si una función vectorial es
f = (f 1
, f 2
, f 3
), donde f1, f2, f3 sin funciones escalares,
entonces el producto escalar de la función vectorial
f
y el vector simbólico
es decir:
f
se denomina la divergencia de la función vectorial y se denota por div(
f ¿= ∇.
f
es
decir:
div (
f ¿=¿ ∇.
f
d f 1
dx
d f 2
dy
d f 3
dz
a) Teorema. – Si
f
y ⃗g son dos funciones vectoriales, se tiene que:
f + ⃗g
f + ∇. ⃗g
b) Teorema. - Si ϕ es una función escalar, entonces la divergencia del gradiente
de ϕ es div (grad ϕ) =
d
2
ϕ
d x
2
d
2
ϕ
d y
2
d
2
ϕ
d z
2
