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Cap´ıtulo 9
L´IMITES Y CONTINUIDAD DE
FUNCIONES
9.1. Introducci´on
El concepto de l´ımite en Matem´aticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funci´on
en un determinado punto o en el infinito.
Veamos un ejemplo: Consideremos la funci´on dada por la gr´afica de la figura y fij´emonos en el
punto x =2 situado en el eje de abscisas:
¿Qu´e ocurre cuando nos acercamos al punto 2 movi´endonos sobre el eje x? Tomemos algunos
valores como 2’1, 2’01, 2’001.
Vemos en la figura que en este caso las im´agenes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01),
f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3.
Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las
im´agenes f(1’9), f(1’99), f(1’999) se acercan tambi´en al mismo valor, y =3.
Concluimos que el l´ımite de la funci´on f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cu´al expresamos
como:
l´ım
x→ 2
f (x) = 3
Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el l´ımite de una funci´on en un punto es el valor en el
eje Oy al que se acerca la funci´on, f (x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.
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ITULO 9. L
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Sin embargo la expresi´on matem´atica rigurosa de l´ımite es algo m´as compleja:
Definici´on: Dada una funci´on f (x) y un punto x = a, se dice que el l´ımite de f (x) cuando x se acerca
a a es L, y se expresa como:
l´ım
x→a
f (x) = L
cuando:
Dado > 0 , existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f (x) − L| <
Lo que viene a expresar esta formulaci´on matem´atica es que si x est´a “suficientemente cerca” de
a, entonces su imagen f(x) tambi´en est´a muy pr´oxima a L.
En la pr´actica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados l´ımites laterales, que como
recordaremos se definen de la siguiente forma:
Definici´on:
Se define el l´ımite lateral por la derecha de a de la funci´on f (x), y se expresa como:
l´ım
x→a
f (x)
al l´ımite al que se acerca f (x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a.
De igual modo, el l´ımite lateral por la izquierda de a de la funci´on f (x) se expresa como:
l´ım
x→a
−
f (x)
y se define como el l´ımite al que se acerca f (x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.
Propiedad: Para que una funci´on f (x) tenga l´ımite en x = a es necesario y suficiente que existan
ambos l´ımites laterales y coincidan, es decir:
l´ım
x→a
f (x) = l´ım
x→a
f (x) = l´ım
x→a
−
f (x)
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Puede ocurrir que uno de los l´ımites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinaci´on
entre ellos, por ejemplo:
En la figura anterior se cumple que:
l´ım
x→ 2
f (x) = +∞
y
l´ım
x→ 2
−
f (x) = 2
- L´ımites finitos en el infinito: Se dice que una funci´on tiene l´ımite b cuando x tiende a +∞
cuando la funci´on se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:
l´ım
x→∞
f (x) = b
Gr´aficamente:
En este caso el l´ımite es 2 cuando x tiende a +∞.
De igual modo se define el l´ımite finito cuando x tiende a −∞.
CAP
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IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 149
- L´ımites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si x tiende a +∞ la funci´on se hace
cada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞).
Un ejemplo gr´afico de este tipo de l´ımites ser´ıa:
En este caso:
l´ım
x→∞
f (x) = −∞
(Intenta dibujar otros casos diferentes).
9.3. C´alculo de l´ımites
Recordaremos, dada su importancia, algunas de las reglas para el c´alculo de l´ımites cuando se
presentan diferentes indeterminaciones:
9.3.1. L´ımitesen el infinito
- L´ımites de polinomios: El l´ımite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o
−∞, dependiendo del coeficiente del t´ermino de mayor grado del polinomio:
l´ım
x→∞
(2x
5
− 3 x
2
l´ım
x→∞
(− 3 x
7
− 5 x
2
pues en el primer caso el coeficiente de x
5 es positivo, y en el segundo caso el coeficiente de x
7
es negativo.
- Indeterminaci´on
: Si tenemos un cociente de polinomios nos encontraremos con una indeter-
minaci´on de este tipo. Para resolverla basta recordar la siguiente regla:
Si tenemos:
l´ım
x→∞
p(x)
q(x)
±∞ si grado(p(x)) > grado(q(x)),
donde el signo depende de los coeficientes.
0 si grado(p(x)) < grado(q(x))
a
b
si grado(p(x)) =grado(q(x)), siendo a y b los
coeficientes de los t´erminos de mayor grado de cada polinomio.
Ejemplos: a)
l´ım
x→∞
x
3 − 5 x
2
−x
2
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IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 151
En caso de que aparezca una ra´ız, el proceso es multiplicar y dividir por el conjugado de la
expresi´on radical:
l´ım
x→∞
(2x − 1) −
x + 1
= (∞ − ∞) = l´ım
x→∞
(2x − 1) −
x + 1
(2x − 1) +
x + 1
(2x − 1) +
x + 1
=l´ ım
x→∞
(2x − 1)
2 − (
x + 1)
2
(2x − 1) +
x + 1
=l´ ım
x→∞
4 x
2 − 4 x + 1 − x − 1
(2x − 1) +
x + 1
=l´ ım
x→∞
4 x
2 − 5 x
(2x − 1) +
x + 1
9.3.2. L´ımitesen puntosfinitos
Si queremos calcular el l´ımite de una funci´on f (x) cuando x se acerca a cierto valor a, simplemente
hemos de sustituir el valor de a en f (x):
l´ım
x→− 3
2 x
2 − 3 x + 1
x + 2
El problema que nos podemos encontrar en este caso es que el denominador se haga 0 al sustituir x
por el valor que corresponda.
Nos podemos encontrar, por tanto, varios tipos de indeterminaci´on.
- Indeterminaci´on
k
, (k =0): Se presenta cuando en el numerador aparece un n´umero cualquiera
no nulo y el denominador es 0.
En este caso el l´ımite el siempre ∞, pero para determinar su signo, se calculan los l´ımites
laterales:
a)
l´ım
x→ 1
1 − 2 x
1 − x
2
l´ım
x→ 1
1 − 2 x
1 − x
2
′ 0001
′
2
−
l´ım
x→ 1
−
1 − 2 x
1 − x
2
′ 9999
′
2
b)
l´ım
x→ 0
x
l´ım
x→ 0
x
′ 0001
l´ım
x→ 0
−
x
′ 0001
−
c)
l´ım
x→− 1
(x + 1)
2
l´ım
x→− 1
(x + 1)
2
′ 9999 + 1)
2
l´ım
x→− 1
−
(x + 1)
2
′ 0001 + 1)
2
- Indeterminaci´on
: En este caso tanto numerador como denominador se hacen 0.
Si tanto en el numerador como en el denominador tenemos polinomios, la forma de resolver la
indeterminaci´on es descomponer los polinomios en factores (mediante, por ejemplo, la regla de
Ruffini) y simplificar para posteriormente volver a sustituir.
l´ım
x→ 2
x
2 − 5 x + 6
x
2 − 4
=l´ım
x→ 2
(x − 2)(x − 3)
(x − 2)(x + 2)
=l´ım
x→ 2
(x − 3)
(x − 2)
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En caso de que tambi´en aparezcan ra´ıces cuadradas, el proceso es multiplicar y dividir por la
expresi´on radical conjugada con el fin de simplificar y luego sustituir:
l´ım
x→− 3
x + 4 − 1
x
2
=l´ ım
x→− 3
x + 4 − 1) · (
x + 4 + 1)
(x
2
x + 4 + 1)
=l´ ım
x→− 3
x + 4)
2 − 1
2
(x
2
x + 4 + 1)
=l´ ım
x→− 3
x + 3
(x
2
x + 4 + 1)
=l´ ım
x→− 3
(x + 3)
(x + 3) · (x − 1) · (
x + 4 + 1)
=l´ ım
x→− 3
(x − 1) · (
x + 4 + 1)
9.3.3. L´ımitespotenciales. Indeterminaci´on 1
∞
Cuando aparecen exponentes, hay que recordar algunas reglas b´asicas.
Si tenemos
l´ım
x→a
(f (x))
g(x)
o bien
l´ım
x→∞
(f (x))
g(x)
se pueden presentar varios casos:
- La base tiende a un n´umero cualquiera no nulo y el exponente a otro n´umero. En este caso el
l´ımite es el n´umero que resulta de realizar la operaci´on correspondiente:
l´ım
x→ 1
(x + 1)
2 x− 3 = 2
− 1
- La base tiende a un n´umero positivo mayor que 1 y el exponente a +∞. En este caso el l´ımite
es tambi´en +∞.
l´ım
x→∞
2 x + 1
1 + x
2 x− 3
∞ = +∞
- La base tiene a un n´umero no nulo comprendido entre -1 y 1 y el exponente a +∞. En este caso
el l´ımite es 0.
l´ım
x→∞
1 + x
2 x + 1
2 x− 3
∞
- La base tiende a un n´umero negativo menor o igual que -1 y el exponente a +∞. En este caso
el l´ımite no existe, pues los productos son alternativamente de signo contrario:
l´ım
x→∞
− 3 x + 1
1 + x
2 x− 3
∞
=
- En el caso en que la base tiende a 1 y el exponente a +∞ tenemos una indeterminaci´on que se
resuelve aplicando la f´ormula:
l´ım
x→a
(f (x))
g(x)
=(
∞
) = (e)
l´ım
x→a
(g(x) · (f (x) − 1))
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Como ambos l´ımites laterales son infinitos, existe una as´ıntota vertical de la funci´on en x =1, y es
m´as, conociendo el valor de los l´ımites podemos asegurar que en las cercan´ıas de la as´ıntota la funci´on
se comportar´a como en el dibujo:
b) En cuanto a esta funci´on,g(x) =
x
, notemos que el denominador se anula cuando
x = 0 =⇒
x =0, es decir la posible as´ıntota vertical estar´a en x =0. Analizando obtenemos:
l´ım
x→ 0
x
l´ım
x→ 0
x
′ 0001
l´ım
x→ 0
−
x
′ 0001
puesto que no hay ra´ıces cuadradas de n´umeros negativos.
De modo que hay una as´ıntota vertical en x = 0 pero s´olo por la derecha, es decir, la gr´afica ser´a:
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9.4.2. As´ıntotashorizontales
Las as´ıntotas horizontales, si existen, indican el valor al que se acerca la funci´on cuando la variable
independiente x se hace muy grande o muy peque˜na.
Dicho en forma de l´ımites, una funci´on tiene una as´ıntota horizontal en y = k cuando para alguno
de los dos l´ımites:
l´ım
x→∞
f (x) = k
o bien
l´ım
x→−∞
f (x) = k
Ejemplo: Calcular las as´ıntotas horizontales de las funciones:
f (x) =
x
2
x + 1
g(x) =
x
a) Para f (x) calculemos los l´ımites anteriores:
l´ım
x→∞
x
2
x + 1
l´ım
x→−∞
x
2
x + 1
=l´ ım
x→∞
(−x)
2
(−x) + 1
=l´ ım
x→∞
x
2
−x + 1
de modo que la funci´on f(x) no posee as´ıntotas horizontales.
b) En cuanto a g(x), de igual modo:
l´ım
x→∞
x
l´ım
x→−∞
x
De modo que g(x) posee una as´ıntota horizontal en y =0 cuando x tiende a ∞. De forma gr´afica:
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ITULO 9. L
IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 157
- Calcula los l´ımites:
a) l´ım
x→∞
x
3
x
2 − 2
b) l´ım
x→−∞
x
3
x
2 − 2
c) l´ım
x→∞
3 x
2 − 5
3 x
2
x
2 − 1
d) l´ım
x→ 1
x
2
x + 4
) x
x− 1
e) l´ım
x→ 2
x
2
x + 7 − 3
f ) l´ım
x→ 1
2 x
2 − 2
x
2 − 2 x + 1
9.5. Continuidad
La idea intuitiva de funci´on continua en un punto es bien sencilla.
Una funci´on continua en un punto es aquella que no “da saltos”, aquella que se puede dibujar sin
levantar el l´apiz del papel.
Matem´aticamente la definici´on de funci´on continua es un poco m´as compleja. Dice as´ı:
Definici´on: Una funci´on f (x) es continua en un punto x = a si:
Dado > 0 , existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f (x) − f (a)| <
Dicho de otra forma, si nos acercamos al punto a, entonces las im´agenes se acercan a la imagen de a,
f (a).
Si f (x) no es continua en x = a se dice que f (x) es discontinua en a o que tiene una discontinuidad
en x = a.
Propiedad: Para que una funci´on sea continua en un punto a es necesario y suficiente que:
a) Exista el valor de la funci´on en el punto, f (a).
b) Existan los l´ımites laterales,
l´ım
x→a
f (x)
y
l´ım
x→a
−
f (x)
, y sean finitos e iguales entre s´ı e iguales a f (a), es decir:
l´ım
x→a
f (x) = l´ım
x→a
−
f (x) = f (a)
Esta ´ultima propiedad proporciona una forma muy sencilla de saber si una funci´on es continua o no
en un punto.
Ejemplo: Estudiar la continuidad de la funci´on:
f (x) =
2 x + 1 si x > 2
x
si x ≤ 2
En primer lugar, se˜nalemos que la mayor´ıa de las funciones que estudiamos son continuas en todos los
puntos salvo en algunos.
¿Cu´ales son los posibles puntos de discontinuidad de una funci´on?.
Aquellos en los que no est´a definida la funci´on (anulan el denominador, etc...) y aquellos en los
que cambia la definici´on de la funci´on.
En todos los dem´as puntos las funciones son siempre continuas y no hace falta analizarlos.
En nuestro caso, si nos fijamos en f (x) encontramos 2 posibles puntos de discontinuidad.
El primero es aquel en el que cambia la definici´on de la funci´on, x =2. Adem´as, como hay un
demominador, que se anula para x =0, y adem´as estamos en el tramo de funci´on para valores menores
que 2, el punto x =0 es otro posible punto de discontinuidad.
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ITULO 9. L
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Analicemos si la funci´on es continua o no en esos puntos.
Continuidad en x =2:
f (2) =
pues debemos sustituir en la parte inferior de f (x), que es donde est´a el igual.
L´ımites laterales:
l´ım
x→ 2
−
f (x) = l´ım
x→ 2
x
Por otra parte:
l´ım
x→ 2
f (x) = l´ım
x→ 2
2 x + 1 = 5
Como los l´ımites laterales existen pero son diferentes, concluimos que f (x) es discontinua en x =2.
Continuidad en x =0:
f (0) =
quedar´ıa un cero en el denominador.
Con esto ya sabemos que la funci´on no puede ser continua en x =0. De todos modos calculamos
los l´ımites laterales.
Observemos que cuando nos acercamos a 0, da igual por la derecha que por la izquierda, estamos
siempre en la parte inferior de la funci´on, luego:
l´ım
x→ 0
−
f (x) = l´ım
x→ 0
−
x
−
Por otra parte:
l´ım
x→ 0
f (x) = l´ım
x→ 0
x
Y f (x) tambi´en es discontinua en x =0.
Por tanto f (x) es continua en todos los n´umeros reales salvo en x = 0 y x =2.
9.6. Tiposde discontinuidad
Analicemos los posibles casos que se pueden dar a la hora de estudiar la continuidad de una funci´on
en un punto.
- Existe f (a) y los l´ımites laterales, que son iguales y finitos, pero distintos del valor de f (a). Una
discontinuidad de este tipo se denomina discontinuidad evitable. Gr´aficamente:
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IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 160
- No existe f (a) o alguno de los l´ımites laterales. Se trata de una discontinuidad esencial. De forma
gr´afica:
Los l´ımites laterales, ambos, son +∞, pero f (0) no existe. Hay una discontinuidad esencial en
x =0.
