Límites
Límites por definición
Calcular un límite por definición significa encontrar una
diferencia entre f(x) y L (es decir, f(x)-L), dado que x está cerca de c,
pero no es igual a c. Gráficamente, puede verse de la siguiente
manera:
Esta diferencia entre f(x) y L tiene que ser
menor a un valor que llamaremos ε. Así,
aseguramos que dentro de este rango de
valores esté el límite. Para ello, se tendrá
otro valor llamado δ, que da el rango en el
cual se encuentra x cuando tiende a c.
Definición
ε>0 ∃ δ>0 /si 0<x-c<δ⟹fx-L<ε
La anterior definición puede ser separada de la siguiente forma
para su mayor entendimiento:
•ε>0 :Para todo épsilon mayor que cero
•∃ δ>0 : Existe un delta mayor que cero
•/:Tal que
•si 0<x-c<δ:Si esto se cumple…
•⟹fx-L<ε : Entonces esto también se cumple.
¿Cómo se demuestra un límite por definición?
El objetivo de la demostración es hallar un valor para δ (que
usualmente depende de ε, por ejemplo, δ=3ε). Esto se hace primero
partiendo de fx-L y desarrollando esta expresión matemáticamente hasta
que se asemeje a x-c.
Tomemos el siguiente ejemplo para ilustrar una demostración:
Demostrar que limx→23x-2 es igual a 4
Partimos de fx-L , que en nuestro caso es 3x-2-4, y queremos llegar a
algo similar a x-2
ε>0 ∃ δ>0 /si 0<x-c<δ⟹fx-L<ε
3x-2-4<ε
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Elaborado por Ana Figueira. 2012
