¡Descarga Análisis Matemático: Derivabilidad y Regla de L'Hopital y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
lim
cot
lim
lim
lim
lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim
las definiciones de abajo no es obligatorio que f x este definida en x a
se empieza por f x b hasta llegar a x a g luego si g se cumple f x b
cogemos f x b g x x a sacar D por ejemplo D c d
sacar a d
a c se coge el numero mas bajo h
si D le damos un valor al azar a asi que x a x a h h x a h por ultimo a ar g x sabiendo que h x a h
Limite de una funcion es saber cual es el valor de la funcion acercandonos a cierto valor f x quiere decir que cuando x se acerca a la funcion f x y se acerca a
f x b
x D x a f x b x D a x a f x b x D a x a f x b x D x a f x x D x a f x x D x f x cte x D x f x cte x D x f x x D x f x x D x f x x D x f x
Los pasos a seguir por resolver un ite por definicion
Definicion
f x b f x b f x b f x f x f x cte f x cte f x f x f x f x
R
R
x a
g g
g
x
x a
f f f f f f f f f f f x a x a x a x a x a x x x x x x
transformar
1
1 1
3
AA
A
A
A
d d d d d d d d d d d 6 7 6 6 7 6 6 7 6 6 7 6 6 7 6 6 7 6 6 7 6 6 7 6 6 7 6 6 7 6 6 7 6
f f d f
d
d d
f d d f f d d f f d d f f d d f f d d f f d d f f d d f f d d f f d d f f d d f f d d f
"
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**3 3 3 3 3 3
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N
lim lim lim lim lim lim lim lim
lim (^) lim
lim
lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim cos cot
min exp exp
exp exp
int
lg
a siempre a a a a a b a b
b
a b
a (^) siendo b a a a a b a b a b a c c b
a b a b a b b a b si b fuera negativo seria imposible a b a b b a si b fuera negativo seria verdad siempre a b a b a a b a b a b a b a b a a b a b a b de las potencias n
f x f x f x g x f x g x f x g x f x g x
g x
f x g x
f x
k f x k f x siendo k Cte k k siendo k Cte f x f x fog x f g x si f es continua en g x f x f x cuidado con D si n es par f x f x cuidado con D sen f x sen f x lo mismo pasa con tag g arcsen etc
a si no hay raices cuadradas factorizamos b si hay raices cuadradas utilezaremos el conjugado c aplicar regla de l hopital
a se divide el numerador y el deno ador por el x de mayor grado potencia b si son onentes divideremos por el onente de de mayor base c regla de l hopital
a en la mayoria de los casos basta con efectuar el calculo b en raices cuadradas basta con multiplicar por el conjugado c si son onentes se multiplica por el onente de mayor base d aplicar regla de l hopital antes hay que transformarlo en caso o aplicando estas formulicas que son eresantes
Recuerda estas formulas
mas adelante haremos a unos ejercicios para entenderlo mejor
observacion
a b ab
b a (^) ab b
a (^) a b ab b a
lim
n n n n n n n n n n n n
x a
n x a
n
x a x a x a x a x a x a
x a x a
x a
x a x a x a x a
g x x a
g x
x a x a x a
n x a
n (^) f
x a b b x a f x a x a
2 2 2
1 2 3 2 4 3 1 2 3 2 4 3
x a
log log
, A
, 0 A
" " " " " " " "
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lim
lim
lim
lim
inf
lim lim lim lim
cos cos
cos cot cot
cos
cot
e e
e
e
Derivabilidad a la derecha Derivabilidad a la Izquierda
o bi n o bi n
Regla de L hopital Mas bi n de BERNOULLI
h
f a h f a (^) f a
x a
f x f a (^) f a
h
f a h f a (^) f a
x a
f x f a (^) f a
f es derivable en x a f a f a es decir cuando ambas tienen valores finitos iguales o bi n ambos son initos de igual signo
sean f y g dos funciones continuas y definidas en a b derivables en a b y sea c a b
tal que f c g c (^) g xf x gf xx gf xx gf xx mientras f y g sean n veces continuas y derivables la regla de L hopital se puede aplicar n veces
y k cte y y f x y n f x f x y k f x y k f x y f x g x y f x g x y f x g x y f x g x f x g x y (^) g xf x^ y f^ x^ g xg x^ f x^ g^ x y fog x y f og x g x y f x y (^) f of x
y f x y ff x^ x Ln a y a y a f x Ln a y e y e f x y senf x y f x f x y f x y senf x f x y tagf x y (^) f x f x tag f x f x
y gf x y (^) sen f x f x g f x f x
y arcsenf x y (^) f x f x
y ar f x y f x f x
y arctagf x y (^) f x f x
y ar gf x y (^) f x f x y f x para esta formula se utiliza asi que y solo queda aplicar formulas anteriores a b a b a b a b a b a b
b
a b
a b
a b
a b
a b
a
e a e e Recordad
ln
h
x a
h
x a
x c x c x c x c n
n
n n
a f x f x f x f x
g x
n (^) n n n n n n^ n^ n n n
n n
n (^) n n n
n
Lna f x g x Lnf x
0 0
1
2
(^11)
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
2 2
(^2 2 2 ) 2 1
2 1
g x
log
AA
, ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( A
AA
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lim lim
lim
lim
lim
min lim
lim
min lim
cot
int cot
min lim
lim
lim
lim
u
o
o
u
sea f x l y f x l
f x l x a f x l A f x l x a f x l B
ahora l l l f x f x l luego l l l f x f x l l f x f x l f x l f x l
por ultimo como f x l y f x l asi que l l l l pero como sabemos que y l l lo que l l l l l l En conclusion el ite es nico siempre hay una sola solucion
en este ejercicio la funci n f x xx^ su do io D asi que
x
x (^) x D x x
x
x D xx^ vamos hacer aparecer
x
x x
x x x
x x x
x (^) x
luego cogiendo queda demostrado el ite
en este ejercicio la funci n f x x x su do io D asi que x x x D x x x
x D x x vamos hacer aparecer x x x x x como ya tenemos x vamos a a ar g x fijandonos en D cogeremos un valor de al azar siendo cojamos se puede coger etc y x x a nosotros nos eresa a ar x
x x x x x x x Por ltimo x x x x
luego cogiendo imo queda demostrado el ite
demostrar que si existe f x es unico
a b a b a a
demuestra que xx
demuestra que x x
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
x x
a b c (^) c b a siendo (^) a b c de mismo signoabc
a b (^) b a siendo (^) a b de mismo signoab
x x x I
cogiendo
I
Recuerda
R
R
R
x a x a x a x a
f
x f
f
f x f
f
g
x a
x
x
llegada Comienzo
llegada (^) Comienzo
g x
X
g x
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
1
2 2
2
2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
1
2
2
2
2 7
( A
( A
A
, A
d
d
d
d
f d d f f d d f
f f f f f
f d d f
f d d f
f d f
f d d f
f d d f f d d d
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f f f
d f
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G
G
I
H
J
H
L L
cot
min
lim
lim lim lim lim
lim
lim lim
lim
lim lim lim
lim
lim lim
lim
lim
D se coge el numero mas bajo
asi que x x a amos g x
x sabemos que x x x x
x sabemos que^ x^ x^ x x (^) x
x sabemos que^ x^ x^ x x (^) x por ultimo (^) x x x (^) x x x x x
x luego imo valor
I x^ x F I
I x^ x x^ x x x^ xx^ x^ x x
I x^ x F I aplicando l Hopital
I x^ x x
I xx^ x^ F I
I xx^ x x x x x xx
I xx^ x^ F I aplicando l Hopital
I xx^ x^ xx
Ejercicio
Ejercicio
calcula I xx
calcula I xx^ x
metodo
metodo
metodo
metodo
g^ R
x
x x x x
x
x x
x
x x x
x
x x
por (^) a cada lado
por (^) a cada lado
por (^) a cada lado
H
H
x
x
1
4
4 4
4
4 4
2 2 4
2 4
2
4
4 4
4
4 4
(^33)
3 2
2
3 2
2 3 3
3 2
2
3 2
2 3
(^6 )
(^2 )
(^3 )
4
4
3 2
2
AA
AA ( ( (
AA ( (
AA ( (
A
A
d
f f (^) d f
- -^ -^ -^ -^ -
- -^ -^ -^ -^ -^ -^ -
- - +^ =^ -^ - - -^ -^ =^ -
= - -^ = - -^ =
= - -^ = -^ - +^ = -
= - -^ = - -^ =
= - -^ = = =
= - -^ = - -^ =
= - -^ = - +
= - -^ = - -^ =
= - -^ = -^ = -^ = =
"
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G
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K
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L
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lim
lim lim lim
lim
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim lim
lim
lim lim lim
lim lim lim
min
lim lim lim lim lim
lim
lim
lim
lim
lim
I ex^ e^ e^ e^ F I aplicando l Hopital
I ex^ e^ e^ e e
aplicando Factorizando I (^) x x^ F I
I (^) x x x xx x x x x
aplicando l Hopital
I (^) x x xx x x aplicando conjugado I (^) x x x x xx x x x x x x
Respuesta I (^) xx^ F I aplicando x x x x x x I (^) xx x xx x x x aplicando
I (^) xx^ x x aplicando
sacamos el imo comun multiplo de indices de las raices m c m asi que el cambio de variable es t x (^) t x^ t luego I queda de la seguiente forma
I (^) xx tt tt t tt t t t
Respuesta I x x
x x (^) F I
calcula I ex^ e
calcula I (^) x x
calcula I (^) xx
calcula I x x
x x
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
metodo
metodo
metodo
metodo a b a b a ab b
metodo L Hopital
metodo Haciendo cambio de variable Recuerda a a a a a existe Ssi aa^ si n imparsi n par
1 2 3 1 2 3 R
R
x
x
x
x x
x x
x
x
x x x
x x x
x x x x
x
x x x
x x x
x t t t t
x
x
x
x
x
x
H
n (^) n n
2
2 2 2
2
2 2 2
2
1 2
1 2 1 1
1 2 1 1
1 2 1 2 1 1
1
3
3 3 3 3 3 3 3 3 2 3
1
3 1 3 3 2 3
3 1 3 2 3
1
3 1
3 2 1 3 2
(^33)
1
3 1 3
3 3 1 3 1 2 1 2
2 3 2
2
2
2
1 2
1
3
2 3 2
2
3 3 2 2
1 A 1
A A A A A A d
d
= - -^ = - -^ =
= - -^ = = =
= - -^ =
= - -^ = - -^ + = - + +
= - -^ =
= -^ = -
= - -^ = - - ++^ = - -^ + -^ + = + -^ + = -
= - -^ =
= - -^ = - -^ + + = + + =
= - -^ = = =
= - -^ = - -^ = - -^ = - -^ + + = + + =
= +-^ -^ =
= +-^ -
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G
G
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min
lim lim lim lim lim
lim
lim lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
lim
lim lim cos
lim lim lim
lim
lim
lim
lim
lim
x x
x x
x
I
x x
x
x
x
x
x x
Respuesta I (^) xx^ F I
sacamos el imo comun multiplo de indices de las raices m c m asi que el cambio de variable es t x (^) tx t luego I queda de la seguiente forma
I (^) xx tt tt t t^ t t t t t t t t t
Respuesta I (^) xx^ aa^ F I
x a
x a x a
x a x a
x a x a x a
x a x a a
x a
x a x a x a
x a x a a
x a
x a x x a
Respuesta I sen axbx^ F I
I sen axbx a^ bax ab
I sen axbx sen axax axbx^ sen axax ab^ ba
Respuesta I x
x x (^) F I
calcula I (^) xx es muy parecido al anterior
calcula I xx aa^ siendo a
I
I
I
calcula I sen axbx
calcula I x
x x
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Haciendo cambio de variable
metodo aplicando el conjugado
metodo Factorizando
metodo l Hopital
metodo l Hopital
metodo
x x
x
x t t t t
x a
x a x a x a x a
x a x a x a
x a x a x a
x
x x
x x x
x
x
x a
x
x
H
0 3 2 3
0
3 2 3
1 4
3
(^1212)
1 4
3 1 4 12
3 12 1 3
4 1 2
2 2 1 2
2
0
0 0
0 0 0
1
2
1 4
3
0
1
2
A
A
A
A
+ - = ++^ - +^ = + +
= - -^ =
= - -^ =
= - -^ = - - ++^ = - -^ + = + =
= - -^ = - -^ + = + =
= - -^ = = =
= -^ +-^ -^ =
= -^ +-^ -
" "
"
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lim lim lim lim lim
lim lim lim lim
lim lim
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lim lim
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lim lim lim
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lim lim
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lim
I
x
x x x
x x
x x
x x
x x
x
I x^ x x x x^ x x (^) x x x
I x (^) xx
Respuesta I x^ x x^ x F I Recuerda I x^ x xx x^ x xx^ sea f x x^ x xx hagamos la tabla para saber cual es el campo de existencia de x x x x x x x
x x existe Ssi x luedo D I x^ x xx xx xx
I xx xx^ x xx
x x
x x (^) no existe porque la funcion f x x x
x x (^) no esta definida en
Respuesta I x^ x x^ F I
I x^ x x x (^) x
x (^) x x (^) x x (^) x
x (^) x x (^) x
I
x (^) x
x (^) x x (^) x
x
x x
x (^) x
x (^) x x (^) x
x
x x
calcula I x^ x xx
calcula I x^ x x
Ejercicio
Ejercicio
a a
x x x x x
x x x x
x x
x
x x
f
x x
x x
x
x
x x x
x x
x x
x
x
n n
1
2 1
2 1 1
2 1
1 1 1 1
2
1 1
3 3 3 2
2
3 3 3 2
2 3 3 2 3 2
3 3 2 3 3 3 2
3 3 3 2 3
(^63 )
3 3 2 3 2
2
(^2 22 )
2 2
2 2
3 3 3 2
2
2
2 1 2 1
A
d , ,
= -^ +-^ -^ = - -^ + - -^ = - -^ + - - ++
= -^ - +^ +
= +^ +^ +-^ = +^ =
= +^ + -^ =
= +^ + -^ = +
= +^ +-^ = ++^ -
= +^ +-^ +^ = -
= +^ +-^ +^ =
= -^ -^ =-
= -^ =
= +^ + -
= +^ +-^ +
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3 3 3
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S
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Q
Q
S
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
S
Q Q
V
V
V
V
V
V
V
V
X
V
V
X
V
V
V
V
X
X
V
V
X
V
X
V
V
X
V
V
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X
X
V
X
X
X
X
V
V
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X
V
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X
V
V
V
X
V
V
V
X
V V
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
]]
]]
]]
]]]
]]]
G G
G
J J
J
I =^ xlim "+ 3 (^3) x
Ln 3x - 2 ^^ h^ = (^) lim x "+ (^3 3) x
Ln x. 3 -^8 `^ x^2 jB^
= (^) x lim"+ 3 (^3) x
Lnx + Ln 3 -^ `^ x^2 j
I =^ xlim "+ 3 3 Lnxx^ +^3 x >^ Ln 3 -^ `^ x^2 j H = (^) xlim "+ 3 (^3) x
Lnx (^) + (^) lim x "+ (^3 3) x
Ln 3 - ` (^) x^2 j = (^) xlim "+ 3 (^3) x
Ln^ ^^3^ x h^3 + (^) lim x "+ (^3 3) x
Ln 3 - ` (^) x^2 j
I = 0 +^ Ln3+ 3 = 0 + 0 = 0 2 º metodo A aplicando l´Hopital
I =^ xlim "+ 3 Ln 3x - 2 ^ 3^ x h^ =
H?
xlim "+ 3 3 3 x^2
1
3x - 2
3 = (^) x lim"+ 3 3x - 2^9 x
3 2 = (^) xlim "+ 3 x 3 -^ `^ x^2 j
9 x^3^ `^ x^1 j 3 =
I =^ xlim "+ 3 x 3 -^ `^ x^2 j
9x. 3 **^1 **_x_** **j** **_=_** (^) **_x lim"+ 3_** ** 3 - (^) x^2 j
9. 3 ` (^) x^1 j = 3 - 09.0^ = 0
_ Ejercicio 26 Recordad: I = lim x " 3 ax_**^ = si x "- 3^ $^ si asi 0^21 1 a^ ( 1 1 I = 0 ( I =+ 3
si x "+ 3 $ si asi 0 21 a^1 ( 1 1 I =+ ( I = 0^3
Z
[
\
]]]
]]
]]]
]
calcula I =^ xlim "+ 3 a ax-
2x+1 (^) + bx siendo a 2 b 2 1 y ^^ a, b h^ d N^2
I =^ xlim "+ 3 a ax-
2x+1 (^) **_+ bx
si x A- 3 ( I = 00 F.I_**
si x A+ 3 ( I = +^ + 33 F.I
- (^) el 1º paso es dividir por el exponente de mayor base
I = (^) xlim "+ 3 a.aa-1 (^) ax
2x (^) + bx = (^) x lim"+ (^3) ax (^) a-
ax^ a.ax^ + a^ bx
x a k = (^) xlim "+ (^3) a-
a.ax^ + abx
x
A^ = 0
f p
= (^) xlim "+ 3 a^2 ax^ = a^2 ^ +^ 3 h^ =+ 3
Indeterminación 1^3 , 0. 3
_ Ejercicio 27 Recordad: I = lim x " a_**^6 f^ ^^ x h@ g x ^^ h^ = 1^3 ( I =^ e
x^ lim"a^7 g x^ ^^ h^ _^ f x ^^ h -1 iA
calcula I = lim x " 0 ^^ cosx + senx h x 1
I = lim x " 0 ^ cosx + senx^ h x (^1) = 1 3 F.I
I =^ e
x^ lim" 0 x^1 ^^ cosx+senx-1 h como (^) xlim " 0 ^^ cosx + senx - 1x h^ = 00 apliquemos la regla de l´Hopital
xlim " 0 ^ cosx + senx - 1^ x h^ =
H?
xlim " 0 ^^ -senx + cosx^1 h^ = 1^ por^ último I = e^1 = e
_ Ejercicio 28_**
calcula I = lim x " 3 `^ 7x - 27x j
x
I = lim x " 3 **^ **_7x - 27x_** **j** **_x = lim x " 3 1 - 7x_** **^2 j x = 1^3 F.I
1 º metodo
I = lim x " 3 ` 1 - 7x^2 j x = (^) e
x^ lim" 3 x 1- d^^ 72 x^ -1 n = (^) e
x^ lim" 3 d^ -^ 72 n = e-^ 72 = (^7) e 2 1
2 º metodo Recordad: (^) f x ^ lim h " 3 a 1 + (^) f ^^1 x hk f x ^ h = e
I = lim x " 3^ `^ 1 - 7x^2 j x = lim x " 3 1 +
-
7x
1 e o
x = xlim" 3 1 +
-
7x
1 e o > -27x H^7
- = e-^ 72 = (^7) e^2
1
_ Ejercicio 29_**
calcula I = lim x " 1^ `^ 2x + 1x + 2 j x-
1
I = lim x " 1^ `^ 2x + 1x + 2 j x-
1 = 1^3 F.I
1 º metodo A I = lim x " a (^6) f ^ x h@ g x ^^ h^ = 1^3 ( I =^ e
x^ lim"a^7 g x^ ^^ h_^ f x ^^ h -1 iA
I = lim x " 1^ `^ 2x + 1x + 2 j x-
1 = (^) e
x^ lim" 1 x-1^1 d^ 2x+1x+2^ -1 n = (^) e
x^ lim" 1 x-1^1 d^ x+2x-1 n = (^) e
x^ lim" 1 d^ x+2^1 n = e^13 = (^3) e
2 º metodo A (^) f x ^ lim h " 3 a 1 + f ^^1 x hk f x ^ h = e
I = lim x " 1 ` 2x + 1x + 2 j x-
1 = lim x " 1 ` 1 + 2x + 1x + 2^ - 1 j x-
1 = lim x " 1 ` 1 + x + 2x - 1 j x-
1 =
I = lim x " 1 1 + x - 1
x + 2
1 e o
x-1x+2^ x+2x-1^ x-1^1 = lim x " 1 1 + x - 1
x + 2
1 e o
x-1x+
> H
x+2x-1^ x-1^1
I = lim x " 1 1 + x - 1
x + 2
1 e o
x-1x+
> H
lim x" 1 x+2x-1^ x-1^1 = e^13 = (^3) e
_ Ejercicio 30_**
calcula I = lim x " 1^ _ tg^ r 4 x i tg^2
rx
I = lim x " 1^ _ tg^ r 4 x i tg^2
rx = 1^3 F.I
I = lim x " 1^ _ tg^ r 4 x i tg^2
rx = (^) e
lim x" 1 tg^ r 2 x^ c tg^ r 4 x^ -1 m
x^ lim " 1 tg^ r^2 x^ _ tg^^ r^4 x^ - 1 i^ =^3 .0 F.I^ A es pasarlo a la forma 00 o 33 y luego utilizar l´Hopital
cuando tenemos una indeterminación de esta forma )
x^ lim " 1 tg^ r^2 x^ _ tg^^ r^4 x^ - 1 i^ = lim x " 1 tg r 2 x
1
_ tg (^) r 4 x^ - 1 i = lim x " 1 cotg r 2 x
_ tg (^) r 4 x^ - 1 i A Aplicando l´Hopital
= lim x " 1 sen^2 r 2 x
- 2
r
cos^2 r 4 x
1 4
r = -1 2 lim x " 1 cos^2 r 4 x
sen^2 r 2 x = -1 2 2 c^2 m^2
(^1) =- 1 luego I = e-
lim x " (^) 2 r^ tgx
%^1 6 Ln1 - Ln 1 - senx ^ h@/ =- lim
x "^ r 2 tgx
Ln 1 - senx ^^ h^ =
H?
- lim x "^ r (^2) cos^12 x
1 - senx
-cosx =
= (^) lim x "^ r 2 1 - senx
cos^3 x (^) = 0
(^0) =
H?
lim x "^ r 2 -cosx
-3cos^2 x.senx (^) = (^) lim x "^ r 2 3cosx.senx = 0
luego I = e^0 = 1
_ Ejercicio 35_**
calcula I =^ xlim "+ 3^ ^^ e-x h x 1
I =^ xlim "+ 3^ ^^ e-x h x (^1) = 0 0 F.I
I =^ xlim "+ 3 ^ e-x h x^1 =^ e
x^ lim"+ 3 x^1 .Ln^ ^ e^ -x h A (^) xlim "+ 3 1 x^ .Ln e ^ -x h =^ x lim"+ 3 x^1^6 -xLn^ ^ e h @^ =^ xlim "+ 3 ^ -1^ h^ =- 1 luego I = e-
_ Ejercicio 36_**
calcula I =^ xlim "+ 3 ` (^) 1 + x^2 j Lnx
2
I =^ xlim "+ 3^ `^ 1 + x^2 j Lnx
2 = 0^0 F.I
I =^ xlim "+ 3^ `^ 1 + x^2 j Lnx
2 = (^) e
x"^ lim+ 3 Lnx^2 Ln d^ 1+x^2 n
x^ lim "+ 3 Lnx^2 Ln^^ `^ 1 + x^2 j^ = 2 lim x "+ 3 Lnx
Ln ` (^) 1 + x^2 j = 2 lim x "+ 3 Ln2 - Ln 1 + xLnx ^^ h^ = (^) +^ + 33
=
H?
2 lim x "+ 3 x
1
1 + x
- =- 2 lim x "+ 3 1 + xx^ =- 2 lim x "+ 3 xx^ =- 2
luego I = e-
_ Ejercicio 37_**
calcula I = lim x " 0 x.sen x^1 , J = lim x " 3 x.sen x^1
** I = lim x " 0 x.sen x^1
si x " 0 , (^) x^1 " 3 y sen^1 x^ no admite ningún limite x " 0 , lo unico que sabemos es que esta a cot ada -1 `^ # sen x^1 # 1 j^ en conclusión x.sen x^1 " 0 por último limx" 0 x.sen^1 x^ = 0
** J = lim x " 3 x.sen x^1 , J = lim x " 3 x
1
sen x^1 haciendo cambio variable a = x^1 a " 0 ( x^ "^3 ,^ x^1 "^0
J = lim x " 3 x
1
sen x^1 = lim a " 0 senaa^ = 1
_ Ejercicio 38_**
se considera la función f x ^^ h^ =^ -2x - 1x si x #- 1 ) senx^2 si - 1 si 1 xx 1 $ 00
estudiar en los puntos 0 y - 1 la continuidad de f x ^ h Respuesta :
f x ^^ h^ =^ -2x - 1^ x si x #- 1 3
(^2) si - 1 1 x 1 0 2
Z senx si x $ 0 1 [ \
]]]
]]
]]]
]
Continuidad en x = 0 f ^ x h es continua en x = 0 Ssi (^) xlim " 0+ f ^ x h = (^) xlim " 0- f ^ x h = f 0 ^ h f 0 ^^ h^ " nos encontramos en la ecuación 1 ( f 0 ^^ h^ = sen0 = 0 x " 0 +^ " nos encontramos en la ecuación 1 ( (^) xlim " 0+ f ^^ x h^ =^ xlim " 0+senx = 0 x " 0 -^ " nos encontramos en la ecuación 2 ( (^) xlim " 0- f ^ x h = (^) xlim " 0-x^2 = 0 como (^) xlim " 0+ f ^^ x h^ =^ xlim " 0- f ^^ x h^ = f 0 ^^ h^ = 0 , f ^^ x h^ es continua en x = 0
Continuidad en x =- 1 f ^ x h es continua en x =- 1 Ssi (^) x "lim-1+ f ^ x h = (^) x "lim-1- f ^ x h = f -1 ^^ h f -1 ^^ h^ " nos encontramos en la ecuación 3 ( f -1 ^^ h^ =- 2 -1 ^^ h^ - 1 = 1 x "- 1+^ " nos encontramos en la ecuación 2 ( (^) x "lim-1+ f ^^ x h^ =^ x "lim-1+x^2 = 1 x "- 1-^ " nos encontramos en la ecuación 3 ( (^) x "lim-1- f ^^ x h^ =^ x "lim-1- ^^ -2x - 1 h^ = 1 como (^) x "lim-1+ f ^ x h = (^) x "lim-1- f ^ x h = f -1 ^ h = 1 , f ^ x h es continua en x =- 1
_ Ejercicio 39_**
f ^^ x h^ =^2 x si x = 1
(^2) - 1 x - 1 (^) si x! 1
* estudia la continuidad de f
Respuesta :
f ^^ x h^ =^2 x si x = 1 2
(^2) - 1 x - 1 (^) si x! 1 1
en los ejercicios donde aparece el valor absoluto lo 1º es quitarlo x - 1 =^^ $^ x - 1x - 1 si xsi x #$ 11 , pero se observa en la ecuación 1 que x! 1 asi que x - 1 =^^ $ x - 1x - 1 si xsi x 12 11
luego la f queda de la seguiente forma : f ^^ x h^ =^2 x si x = 1
(^2) - 1 -x + 1 (^) si x 1 1
x^2 - 1
Z x - 1 (^) si x 2 1 [
**
]]]
]]]]
]]]
]]]] =
2 si x = 1 c
x + 1
-1 (^) si x 1 1 b
x + 1
Z (^1) si x 2 1 a
[
**
]]]
]]]]
]]]
]]]]
sabemos que una funcion cte y una funcion lineal son continuas en todo R , y como f es el cociente de dos funciones continuas en R ( f es continua en R excepto en los puntos que anulen el denominador -1 ^^ h asi que nos queda por estudiar la continuidad en x = 1 f ^ x h es continua en x = 1 Ssi (^) xlim " 1+ f ^ x h =^ xlim " 1- f ^ x h = f 1 ^ h
f 1 ^^ h^ = 2 , (^) xlim " 1+ f ^^ x h^ =^ xlim " 1+ x + 1^1 =^12 , (^) xlim " 1- f ^^ x h^ =^ xlim " 1- (^) x + 1-1^ =^ -1 2
x^ lim " 1+^ f^ ^^ x h^!^ xlim^ "^ 1-^ f^ ^^ x h^!^ f 1 ^^ h^ (^ f no es continua en x = 1 por último f es continua en R -^ "^ -1, 1 ,
_ Ejercicio 42_**
f ^ x h =^ 2b x si x = 0
e 2 x (^) - eax (^) + x 2 *****^ si x^!^0 halla los valores de a y b para que f sea continua en x = 0 Respuesta: para que la función sea continua en x = 0 , lim x " 0 f ^^ x h^ = f 0 ^^ h
x^ lim " 0 f^ ^^ x h^ = lim x " 0 e x^2
x (^) - eax (^) + x 2 = 00 F.I A aplicando l´Hopital
xlim " 0 e x^2
x (^) - eax (^) + x 2 =
H?
lim x " 0 e 2x
x (^) - aeax (^) + 2x = 1 - a 0 A ^ 1 - a = 0 (^) + a = 1 asi poder seguir aplicando Hopital h
x^ lim " 0 e 2x
x (^) - aeax (^) + 2x =
H?
xlim " 0 e^2
x (^) - a (^2) eax (^) + 2 =
a = 1****? xlim " 0 e^2
x (^) - ex (^) + 2 = 1 , f 0 ^ h = 2b
xlim " 0 f^ ^^ x h^ = f 0 ^^ h^ ,^ 2b = 1^ ,^ b =^12
_ Ejercicio 43_**
f ^ x h = (^) -2x - 1x si x #- 1 ) senx^2 si - 1 1 si x x 1 $^00 Estudiar la derivabilidad de f en x = 0 y x =- 1 Respuesta:
f ^^ x h^ =^ -2x - 1x si x #- 1 ) senx^2 si - 1 1 si x x 1 $^00 ( f l^^ x h^ =^ -22x si - 1^ si x^1 x #^1 - 1^0
cosx si x $ 0
utilizando la definición $ f derivabilidad en x = 0 derivada por la derecha
xlim " 0+^ f^ ^^ xx - 0 h^
- f 0 ^ h (^) = xlim " 0+^ senx - sen0x - 0^ =^ xlim " 0+^ senxx^ = 1 derivada por la Izquierda
xlim " 0-^ f^ ^^ xx - 0 h^
- f 0 ^ h (^) = xlim " 0-^ xx - 0
(^2) - sen = (^) xlim " 0- xx
2 = 0 luego la función no es derivable en x = 0 por no coincidir ambas derivadas. derivabilidad en x =- 1 derivada por la derecha
x "lim-1+^ f^ ^ x -^ x h^ - f -1^ ^^ -1 ^^ h h^ =^ x "lim-1+^ xx + 1
(^2) - 1 = (^) lim x "-1+^ x - 1 ^ h =- 2 derivada por la Izquierda
x "lim-1-^ f^ ^ x -^ x h^^ ^ -1^ h
- f -1 ^ h (^) = x "lim-1-^ -2x - 1 - 1x + 1^ =^ x "lim-1-^ -2x - 2x + 1^ =- 2 luego la función es derivable en x =- 1 por coincidir ambas derivadas. utilizando $ f l f^ l ^^ 0 h^ = 1 , f l^ ^ 0^ + h^ = 1 , f l ^^ 0 - h^ = 0 ( f no es derivable en x = 0 f^ l ^^ -1 h^ =- 2 , f l ^^ -1+ h^ =- 2 , f l ^ -1^ - h^ =- 2 ( f es derivable en x =- 1
_ Ejercicio 44_**
f ^ x h = x
Ln 1 + x ^^ h^ si x 2 0
x^2 + bx + c si x # 0
* es derivable en x = 0
continuidad en x = 0 f 0 ^^ h^ = c , (^) xlim " 0+ f ^^ x h^ =^ xlim " 0+ Ln 1 + x ^^ x h^ = 00 aplicando l´Hopital
= (^) xlim " 0+ 1 + x 1
1 = (^) xlim " 0+ 1 + x^1 = 1
xlim " 0-^ f^ ^^ x h^ =^ xlim " 0- ^^^ x^2 + bx + c h^ = c Por último f es continua en x = 0 Ssi f 0 ^^ h^ =^ xlim " 0+ f ^^ x h^ =^ xlim " 0- f ^^ x h^ ( c = 1 derivabilidad en x = 0
xlim " 0+^ f^ ^^ xx - 0 h^ - f 0 ^^ h^ =^ xlim " 0+^ xx
Ln 1 + x ^^ h^ - 1 = (^) xlim " 0+ Ln 1 + x ^^ x 2 h^ - x^ = 00 aplicar l´Hopital
= (^) xlim " 0+ 1 + x2x
(^1) - 1 = (^) xlim " 0+ 1 + x2x
1 - 1 - x = (^) xlim " 0+ 1 + x2x
-x = (^) xlim " 0+ (^) 2 1 + x ^^ -1^ h = -1 2
x^ lim " 0-^ f^ ^^ xx - 0 h^ - f 0 ^^ h^ =^ xlim " 0-^ x x
(^2) + bx + 1 - 1 = (^) xlim " 0- x x
(^2) + bx = (^) xlim " 0- ^ (^) x + b h = b
luego para que f sea derivable en x = 0 ( (^) c = 1 ) b =^ -1 2
_ Ejercicio 45_**
sea la función f ^^ x h^ =^ x 0
x (^) x si x! 0 ***** (^) ¿ es continua en x = 0? calcula función reciproca f- Respuesta: el primer paso es hacer desaparecer el valor absoluto, asi que la función queda de la forma seguiente:
f ^^ x h^ =^0 x si x 2 0
-x (^) -x =- -x si x 1 0
x
Z x (^) x = (^) x si x 2 0 *[ *
]]]
]]
]]]
]] (^) , la función es continua en x = 0 Ssi f 0 ^ h = (^) lim x " 0+^ f^ ^^ x h^ =^ xlim " 0-^ f^ ^^ x h f 0 ^^ h^ = 0 , (^) xlim " 0+ f ^^ x h^ =^ xlim " 0+ x = 0 , (^) xlim " 0- f ^^ x h^ =^ xlim " 0--^ -x = 0 , luego f es continua en 0 función reciproca f-1^ de f f ^^ x h^ = y , (^) - x^ -x= y = y^ +^ x = y+- x = y (^2) si y # 0
(^2) si y $ 0 ) (^) , (^) x =- yx = y (^2) si y # 0
(^2) si y $ 0
( , % x =- y.yx = y.y^ sisi yy #$ 00
f ^^ x h^ = y , x = y y = f-1^ ^^ y h por último f-1^ ^^ x h^ = x x
_ Ejercicio 46 Calcula f_** l^^ x h^ siendo f x ^^ h^ = Ln ^^ ax^2 + bx + c h Respuesta: Recuerda: y =^^6 f ^^ x h@ n^ & y l = n^6 f ^^ x h@ n-1^. f l ^^ x h^ , y = Ln^6 f ^^ x h@^ & y l =^ f ^^1 x^ h f l ^^ x h
f l ^ x h = ax^2 + bx + c
(^1) ^ (^) ax (^2) + bx + c h l= ax^2 + bx + c
(^1) (^7) ^ (^) ax (^2) + bx + c h 21 A l
f^ l ^^ x h^ =^ ax^2 + bx + c
1 2 8^1^ ^ ax^2 + bx + c h^21 -1 B ^ (^) ax^2 + bx + c h l
f^ l ^^ x h^ =^ ax^2 + bx + c
1 2 8^1^ ^ ax^2 + bx + c h -^21 B^ (^) 2ax + b h = ax^2 + bx + c
1 2 ax^2 + bx + c
(^1) ^ (^) 2ax + b h
f^ l ^ x h =^ ax^2 + bx + c
1 2 ax^2 + bx + c
2ax + b (^) = 2 ^^ ax^2 + bx + c h
2ax + b
