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L´ımites de funciones en varias variables
An´alisis Matem´atico III - 2017
FaMAF - U.N.C.
Una herramienta ´util para demostrar que determinados l´ımites valen lo que valen.
Lema del S´andwich: Sea Ω ⊆ Rn^ un conjunto abierto y sea x 0 un punto de acumulaci´on de Ω. Sean f, g, h : Ω → R funciones tales que para cada x ∈ Ω vale que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Supongamos que:
l´ım x→x 0
f (x) = l´ım x→x 0
h(x) = L.
entonces se cumple que: l´ım x→x 0 g(x) = L.
Demostraci´on. Sea ε > 0. Por hip´otesis tenemos que existen los l´ımites para f y h, por lo que, por definici´on, existen δ 1 y δ 2 positivos tales que:
si 0 < ‖x − x 0 ‖ < δ 1 ⇒ |f (x) − L| < ε =⇒ L − ε < f (x) < L + ε,
si 0 < ‖x − x 0 ‖ < δ 2 ⇒ |h(x) − L| < ε =⇒ L − ε < h(x) < L + ε.
Sea δ < m´ın{δ 1 , δ 2 }. Entonces, si 0 < ‖x − x 0 ‖ < δ, se tiene que:
L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε.
De donde se obtiene que |g(x) − L| < ε, que era lo que quer´ıamos probar.
Ahora una herramienta (muy ´util!) para probar que una determinada funci´on no tiene l´ımite en un punto.
Aproximaci´on por curvas: Sea Ω ⊆ R^2 un conjunto abierto y sea (x 0 , y 0 ) un punto de acumulaci´on de Ω. Sea f : Ω → R una funci´on tal que l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )
f (x, y) = L. Supongamos que g : R → R es una
funci´on que cumple que l´ım x→x 0 g(x) = y 0. Entonces:
l´ım x→x 0 f (x, g(x)) = L.
Demostraci´on. Fijemos un ε > 0. Queremos ver que existe δ > 0 tal que si 0 < |x − x 0 | < δ entonces |f (x, g(x)) − L| < ε. Por hip´otesis existe un δ 1 > 0 tal que:
si 0 < ‖(x, y) − (x 0 , y 0 )‖ < δ 1 ⇒ |f (x, y) − L| < ε, (1)
o equivalentemente, si 0 < (x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 < δ 12 entonces |f (x, y) − L| < ε. Adem´as, en la definici´on de l´ımite en x 0 para g, tomando ε = δ 21 > 0, existe un δ 2 > 0 tal que:
si 0 < |x − x 0 | < δ 2 ⇒ |g(x) − y 0 | <
δ 1 2
Tomo δ < m´ın{δ 2 , δ 21 }. Luego, si 0 < |x − x 0 | < δ, entonces |g(x) − y 0 | < δ 21. Se tiene que 0 <
(x − x 0 )^2 + (g(x) − y 0 )^2 < δ^21 4 +^
δ^21 4 < δ
2 1 , de donde se concluye por (1) que^ |f^ (x, g(x))^ −^ L|^ < ε, como se buscaba.
Lista de desigualdades ´utiles.
- Para todo x ∈ R, x 6 = 0, se cumple que | sen(x)| < |x|.
- Si a y b son n´umeros reales, se cumple que 2ab ≤ a^2 + b^2.
- Si a y b son n´umeros reales positivos, se cumple que
ab ≤ a+ 2 b.
- Si a, b y c son n´umeros reales positivos, se cumple que: 3
abc ≤ a+ 3 b+ c.
Nota: Las ´ultimas dos desigualdades se conocen como desigualdad de medias aritm´etica y geom´etri- ca, y se pueden generalizar para n variables.
Demostraci´on. Daremos una ayuda para probar la primera y la cuarta. La segunda y la tercera son sencillas y quedan como ejercicio. Para la primera desigualdad, considerar la funci´on f (x) = x − sen(x). Probar que es creciente (derivar!) y por lo tanto f (x) > f (0) para todo x positivo. Luego se obtiene la desigualdad buscada. Para la cuarta, renombrar a = x^3 , b = y^3 , c = z^3 , y ver que todo equivale a probar que 3xyz ≤ x^3 + y^3 + z^3 con x, y, z > 0. Utilizar que x^3 + y^3 + z^3 − 3 xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 − xy − yz − zx). Como x + y + z > 0, faltar´ıa ver que x^2 + y^2 + z^2 − xy − yz − zx ≥ 0 para todos x, y, z > 0. Para esto ´ultimo, considerar (x − y)^2 + (y − z)^2 + (z − x)^2 ≥ 0 que vale por ser suma de cuadrados, expandir todo y simplificar.
Ejemplos:
- Decidir si existe el siguiente l´ımite, y en caso de respuesta afirmativa, calcularlo:
l´ım (x,y)→(0,0)
x^3 sen(y) x^4 + y^2
Soluci´on: Usaremos el lema del s´andwich. Para esto, notemos que:
x^3 sen(y) x^4 + y^2
∣ =^
|x|^3 | sen(y)| x^4 + y^2
(1) ≤
|x|^3 |y| x^4 + y^2
(2) ≤
|x|^3 |y| 2 x^2 |y|
|x| 2
Donde en (1) se us´o la primera desigualdad de la lista, y en (2) se us´o la segunda, con a = x^2 y b = |y| (en el denominador!). Ahora, notemos que de la cadena de desigualdades mostrada, se deduce que:
|x| 2
x^3 sen(y) x^4 + y^2
|x| 2
Finalmente, es muy sencillo ver que l´ım(x,y)→(0,0) −|x 2 | = l´ım(x,y)→(0,0) |x 2 | = 0 (queda como ejerci- cio!). Se sigue que el l´ımite pedido es 0 usando el lema del s´andwich.
- Decidir si existe el siguiente l´ımite, y en caso de respuesta afirmativa, calcularlo:
l´ım (x,y)→(0,0)
x sen(x) y
Soluci´on: Llamemos f (x, y) a la expresi´on a la que estamos tomando l´ımite. Veremos que el l´ımite no existe. Supongamos, con la idea de llegar a un absurdo, que el l´ımite efectivamente existe y vale L. Consideremos la funci´on g 1 definida por g 1 (x) = x (la recta y = x). En este caso x 0 = 0 e y 0 = 0. Es evidente que se cumple que l´ımx→ 0 g 1 (x) = 0. Luego, al aproximarnos por esta curva:
l´ım x→ 0 f (x, g 1 (x)) = L =⇒ l´ım x→ 0 f (x, x) = L =⇒ l´ım x→ 0
x sen(x) x
= L =⇒ l´ım x→ 0 sen(x) = L.
