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CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS 4º ESO - 1º BACH
En un límite, al sustituir la variable por el valor del punto, puede darnos un valor numérico
(incluido el 0), ∞ o −∞.
Sin embargo, hay veces que el resultado puede no tener sentido en ℝ porque presenta
ambigüedad. Es el caso de obtener al sustituir: 0/0 , ∞/∞ , 0·∞ , ∞−∞ , 1
∞
0
0
. Son los límites
indeterminados (indeterminaciones). Al resolverlas, el resultado puede ser cualquier número real.
Un caso especial es cuando obtenemos un resultado de la forma k/0. No se trata realmente de una
indeterminación pues, de existir el límite, el resultado será ∞ o −∞.
Veamos cómo resolver cada caso.
En este curso nos vamos a fijar en límites de funciones polinómicas, fracciones algebraicas y, en
algún caso, raíces de polinomios.
C1. k/
Tenemos que resolver los límites laterales. Ambos darán infinito, pero tenemos que estudiar el
signo de cada uno de ellos. Si coinciden, el límite existirá y tomará el valor común. Caso de ser
diferentes, NO existirá el límite.
Para ver el comportamiento del signo en los límites laterales, tomaremos un valor algo mayor al
valor al que tiende la variable (para el límite por la derecha) y un valor algo menor al valor al que
tiende la variable (para el límite por la izquierda). Tenéis que tener cuidado cuando el valor al que
tiende x es negativo, pues un error muy común es pensar que, por ejemplo, −3.001 está a la derecha
de −3, cuando está a la izquierda (es menor).
Ejemplos:
𝑎) lim
𝑥→ 3
. 𝑉𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠.
lim
x→ 3
−
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜, [
= −] ⟹ lim
x→ 3
−
lim
x→ 3
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑦 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜, [
= +] ⟹ lim
x→ 3
−
Como los límites laterales no coinciden, el límite buscado no existe.
𝑏) lim
𝑥→ 3
2
. 𝑉𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠.
Este ejemplo es en todo análogo al anterior, por lo que no repetiremos todo. Baste ver que en el límite
por la izquierda, haciendo x = 2.999 , numerador y denominador son positivos, luego el límite por la
izquierda sería (+∞). Análogamente si tomamos x = 3.001 vemos que el cociente es positivo y que el
límite por la derecha también es (+∞). Como ambos límites coincides, podemos afirmar que
lim
𝑥→ 3
2
C2. ∞/∞
El caso que vamos a estudiar es el del límite cuando x tiende a (+∞) o (−∞) de una fracción
algebraica. Ambos casos se resuelven igual, lo único, que para el caso de tendencia a (−∞) tendremos
que tener en cuenta el signo.
Se trata, pues, de calcular lim
x→∞
P
x
Q(x)
. El resultado es fácil de ver sin más que tener en cuenta lo siguiente:
- Si grado(P(x)) < grado(Q(x)) el límite será 0.
- Si grado(P(x)) = grado(Q(x)) el límite será el cociente de los coeficientes de la variable con
mayor grado.
- Si grado(P(x)) > grado(Q(x)) el límite será (+∞) o (−∞) dependiendo de los signos de los
términos de mayor grado del numerador y denominador.
En este curso, deberemos utilizar un método más riguroso: Dividiremos numerador y denominador
por la variable elevada al mayor exponente de la fracción algebraica. Simplificaremos y haremos el
paso al límite, con lo que todos los términos que estén divididos por la variable(con cualquier
exponente) valdrán cero. (cuidado con el signo en el caso 3 )
En el caso de los límites cuando x⟶(−∞) lo que haremos será cambiar (x⟶(−∞)) por (x⟶∞)
Y en la función sustituiremos x por (−x)
lim
𝑥→−∞
3
2
2
= lim
𝑥→∞
3
2
2
= lim
𝑥→∞
3
2
2
= lim
𝑥→∞
3
2
2
= lim
𝑥→∞
3
3
2
3
2
3
3
3
= lim
𝑥→∞
2
3
= lim
𝑥→∞
−
−
También se puede hacer directamente teniendo cuidado con los signos:
lim
𝑥→−∞
3
2
2
= lim
𝑥→−∞
3
3
2
3
2
3
3
3
= lim
𝑥→−∞
2
3
Ejemplos:
𝑎) lim
𝑥→∞
3
2
3
lim
𝑥→∞
3
3
2
3
3
3
3
3
= lim
𝑥→∞
3
2
𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎
𝑏) lim
𝑥→∞
2
3
lim
𝑥→∞
2
3
3
3
3
3
3
= lim
𝑥→∞
2
3
2
= 0 (𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎)
𝑐) lim
𝑥→−∞
3
2
2
= lim
𝑥→−∞
3
3
2
3
3
2
3
3
= lim
𝑥→−∞
3
2
𝑇𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛: = lim
𝑥→+∞
3
2
2
= lim
𝑥→+∞
3
3
2
3
3
2
3
3
= lim
𝑥→+∞
3
2
−
= lim
𝑥→∞
2
[𝑡𝑖𝑝𝑜
] = lim
𝑥→∞
2
2
2
Hemos visto que nos ha quedado un límite de tipo ∞/∞ que hemos resuelto como en C2.
Es importante tener en cuenta que para introducir un factor en una raíz, hay que hacerlo al cuadrado.
C5. 0·∞
Los límites de este tipo que nos pueden salir en este curso son productos de fracciones algebraicas.
Para resolverlos basta con operar la multiplicación y resolver el límite obtenido(que será del tipo
∞/∞ o 0/0).
Ejemplo:
lim
𝑥→∞
3
2
2
) = lim
𝑥→∞
3
2
3
𝑒𝑠𝑡á 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝐂𝟐. 𝐚
C6. 1
∞
Definimos 𝐞 = lim
x→∞
x
x
. También, si f(x) → ∞ cuando x → ∞ ⟹ lim
x→∞
f(x)
f
( x
)
Así, serán límites de este tipo de indeterminación aquellos en los que tengamos una función f(x) que
tienda a 1, elevada a otra función g(x) que tienda a infinito. El resultado será una potencia del número e.
Supongamos que lim
x→∞
f(x)
g(x)
es del tipo 1
∞
Para resolverlos en 4º ESO, hacíamos lo siguiente:
- Si en la base tenemos un 1 más una función h(x), pasaremos al punto 4.
- Si no tenemos un 1, lo sumamos y lo restamos a la función de la base f(x).
- Dejamos el 1 y operamos f(x)−1=h(x).
- Multiplicamos y dividimos el exponente g(x) por la función h(x) obteniendo como nuevo exponente
. Quedando el límite de la forma lim
x→∞
( 1 + h
x
1
h(x)
·h(x)·g(x)
= e
lim
x→∞
h(x)·g(x)
En este curso, podemos utilizar la fórmula (que es reducir todo lo anterior a un solo paso):
lim
x→∞
f(x)
g(x)
lim [ [f
x→∞
(x)− 1 ]·g(x) ]
Ejemplo:
lim
𝑥→∞
2
2
2 𝑥
3
𝑥+ 1
= lim
𝑥→∞
2
2
2 𝑥
3
𝑥+ 1
(𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2 ) = lim
𝑥→∞
2
2 𝑥
3
𝑥+ 1
= lim
𝑥→∞
2
𝑥
2
5
·
5
𝑥
2
·
2 𝑥
3
𝑥+ 1
lim
𝑥→∞
5
𝑥
2
·
2 𝑥
3
𝑥+ 1
= 𝑒
lim
𝑥→∞
10 𝑥
3
𝑥
3
+𝑥
2
+𝑥+ 1 = 𝑒
10
Usando la fórmula:
lim
𝑥→∞
2
2
2 𝑥
3
𝑥+ 1
lim
𝑥→∞
[(
𝑥
2
𝑥
2
− 1 )·
2 𝑥
3
𝑥+ 1
]
lim
𝑥→∞
(
5
𝑥
2
·
2 𝑥
3
𝑥+ 1
)
lim
𝑥→∞
10 𝑥
3
𝑥
3
+𝑥
2
+𝑥+ 1 = 𝑒
10
