¡Descarga limites matematicas ccss y más Resúmenes en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
TEMA 7. Límit de funcions i continuïtat
Funció
S’anomena funció real de variable real a tota aplicació que fa correspondre a cada
element d’un conjunt inicial (o domini) un i només un element d’un conjunt final (o
recorregut).
y = f(x)
La variable x s’anomena variable independent i la variable y variable dependent
Límit d’una funció en un punt
El límit de la funció f(x) en el punt a, es a dir lim f(x) x→ a
, és el valor que te la y quan x
s’aproxima a a ( no quan x=a ja que això seria la imatge de a o f(a) ).
Ex:
lim ( ) 1 0
→
f x x
si ens apropem a x=0 per la dreta (quan x=0,000...01) o
per l’esquerra (x=-0,000...01), el valor de la y tendeix a
ser 1
- Els límits lim f(x) x → a+
o límit per la dreta i lim f(x) x → a−
o límit per l’esquerra , s’anomenen
límits laterals de la funció f(x)
Ex:
Per x=0 lim ( ) 0 0
+^ =
→
f x x
( valor de la y en apropar-nos per la dreta )
lim ( ) 0 0
→−
f x x
( valor de la y en apropar-nos per l’esquerra )
- Per tal que existeixi el límit d’una funció en un punt és necessari que existeixin els
límits laterals i que siguin iguals, es a dir
Si ∃ lim f(x) x → a+
= lim f(x) x → a−
= L ⇒ ∃ lim f(x) x→ a
= L
En el cas anterior, com el límit per la dreta i l’esquerra de 0 són iguals ( tots dos valen
0 ) podem dir que lim ( ) 0 0
→
f x x
. A més observem que el límit no té perquè coincidir
amb la imatge de x=0 per la funció ja que f(0) = 1
Per contra , si lim f(x) x → a+
≠ lim f(x) x → a−
⇒ ∃/ lim f(x) x→ a
Límit d’una funció en l’infinit
El límit de f(x) quan x tendeix a + ∞ és L, es a dir, lim f(x) x →+∞
= L, si per valors de x
molt i molt grans el valor de y s’aproxima a L.
El límit de f(x) quan x tendeix a - ∞ és L, es a dir, lim f(x) x →−∞
= L, si per valors de x molt
i molt petits el valor de y s’aproxima a L.
Ex:
lim f(x ) x →+∞
= 0 lim f(x) x →+∞
lim f(x) x →−∞
= 0 lim f(x) x →−∞
- Els límits quan x tendeix a + ∞ i quan x tendeix a - ∞ no tenen perquè coincidir
b) Indeterminació 0
Quan substituïm la x per a de vegades apareix la indeterminació 0
En aquests casos: descomponem factorialment numerador i denominador,
simplifiquem i substituïm
Ex:
lim
lim
lim
lim
lim
3
3
3 2
2
3
3 2
2
3
3 2
2
3
→
→
→
→
→
x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x
x
x
x
x
c) Indeterminació ∞−∞
Es fa la resta i desprès es substitueix
Ex:
lim (^22) (^2) x x
x
x x
→
→
→
lim
lim
lim
2
2
2
2
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x
x x
x
x x
x
x
x
ii. Càlcul de límits en l’infinit
a) Indeterminació ∞
a Q x
P x
x
lim on
a = 0 si grau Q(x) > grau P(x)
a = ∞ si grau Q(x) < grau P(x)
a = b
a si grau Q(x) = grau P(x)
(on a i b són els coeficients que acompanyen a la x amb el màxim exponent)
Ex:
lim (^3)
2
−
→ ∞ x
x
x
grau
grau
Ex:
lim (^5)
5
→ ∞ x +x
x
x
grau
grau
b) Indeterminació ∞−∞
Hem de diferenciar dos casos:
- Fraccions algebraiques
- Arrels
- Fraccions algebraiques. Hem de fer la resta i calcular el límit
Ex:
lim
2
2
3
x
x
x
x
x
Quan tenim una indeterminació d’aquest tipus podem transformar l’expressió
donada en una de semblant a les anteriors de límit conegut
e P x
Q x Qx
Px
x
→ ∞
( )
( )
) ( )
lim( 1 on ( )
P x
Q x tendeix a 0, i la fracció inversa a ∞
Ex:
−^ ∞
−
→ ∞
lim( 1
3 22 x
x
x (^) x
x
9
1
3 2 · 2 1
6 6
2 1
1
3 2
1
3 2
1
3 2
1 ·^322 2 1
6
2
2
2
2
lim
) ]
lim[( 1
lim( 1
lim( 1
lim(
e e
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
− − →∞
−
− −
−
→∞
−
−
→∞
−
−
→∞
−
−
→∞
També es pot fer servir la fórmula ( )
( () 1 ) () ()
lim
lim ( )^1
fx g x gx
x a
x
x a
x f x e
− ⋅ ∞
→
→±∞
→
→±∞ = =
Ex:
∞
+∞
−
→ ∞
^ =
lim
3 5
2
2
2 x
x
x (^) x
x Indeterminació
lim lim
2
lim
(^20)
5 25 lim
3 5 2
3 5 2 52 1 2
(^3525)
2
(^2 )
2 2 2
2 2 2 2
(^22)
− − + ⋅
− −− ⋅
−
− −
→∞
→ +∞ →+∞ →^ +∞ e e e e x
x (^) x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x
x x^ x
Relació de la continuïtat i el límit d’una funció en un punt
- Una funció f(x) és continua en un punt x = c sí
lim f(x) f(c^ )
x c
→ Es a dir:
f és continua en x = c si es compleixen les tres condicions següents:
a) ∃ lim f(x)
x→ c
b) ∃ f(c)
c) lim f(x) f(c)
x c
→
- Una funció és continua si ho és en tots els punts del seu domini. En cas contrari
la funció és discontinua.
a) Evitable:
∃ lim f(x)
x→ c
però lim f(x) f(c)
x c
→ Existeix o no f(c)
Ex:
Discontinuïtat evitable ( “forat” ) en ( -3 , 5 )
Ex: Estudieu la continuïtat de la funció següent en x = 3
x + 2 si x ≤ 3
f(x) =
x si x > 3
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
2
4
6
8
y
lim ( ) (^3 )
3
f x f x
→
lim (^ ) lim(^2 )^5
3 3
→ − →
f x x x x
→^ −
lim ( )^5
3
f x x
lim ( )^3
3
→^ +
f x x
lim (^ )
3
f x x→
lim (^ ) lim( )^3
3 3
→ + →
f x x x x f(3) = 5
En x = 3 discontinuïtat de salt
c) Asimptòtica : Alguns o els dos límits laterals tendeix a ± ∞
Ex:
Discontinuïtat asimptòtica en x = 4 ( asímptota vertical )
Ex: Estudieu la continuïtat de la funció 2
x
f x = en x = 0
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
2
4
6
8
y
lim ( ) (^0 )^?
0
f x f x
→
= +∞ →^ −
lim (^ )
0
f x x
→
lim (^ )
0
f x x
∃/ f( 0 ) Discontinuïtat asimptòtica en x = 0
- Per estudiar la continuïtat d’una funció hem de:
a) determinar els possibles punts de discontinuïtat:
- punts on hi ha un canvi de fórmula ( funcions definides a trossos )
- punts que no pertanyen al domini. En el cas de funcions definides a
trossos hem de veure que la fórmula no presenti cap valor problemàtic i
si per aquest s’aplica la fórmula o no.
b) estudiar per cada punt la imatge i el límit de la funció en aquest punt. En el cas de les funcions definides a trossos haurem de estudiar els límits laterals en
aquells punts on hi ha un canvi de fórmula
c) determinar el tipus de discontinuïtat
Ex:
2
si x x
x si x
si x x
x
f x
)
iii
ii
i
