¡Descarga Probabilidad 2BACH matemáticas ccss y más Apuntes en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 8: Probabilidad Autor: David Miranda LibrosMareaVerde.tk Revisores: Álvaro Valdés y Leticia González
CAPÍTULO 8: PROBABILIDAD
1. PROBABILIDAD
1.1. Álgebra de sucesos
Experimento aleatorio
Un fenómeno o experimento aleatorio es aquel que, manteniendo las mismas condiciones en la experiencia, no se puede predecir el resultado. Ejemplos: Son experimentos aleatorios: a) Lanzar un dado y anotar el número de la cara superior. b) Lanzar tres dados y anotar los números de las caras superiores. c) Si en una urna hay bolas blancas y rojas, sacar una al azar y anotar el color. d) Tirar una moneda tres veces y anotar el número de caras obtenido e) Sacar, sin reemplazamiento, cinco cartas de la baraja. f) Abrir un libro y anotar la página por la que se ha abierto. Sin embargo, soltar un objeto y comprobar que cae, calcular el coste de la fruta que hemos comprado sabiendo el peso y el precio por kg, calcular el coste del recibo de la compañía telefónica sabiendo el gasto… no son experimentos aleatorios.
Actividades propuestas
1. Indica si son, o no, fenómenos aleatorios:
a) El número de habitantes de las provincias españolas. b) El área de un cuadrado del que se conoce el lado. c) Tirar tres dados y anotar la suma de los valores obtenidos. d) Saber si el próximo año es bisiesto.
Suceso, suceso elemental, espacio muestral
Al realizar un experimento aleatorio existen varios posibles resultados o sucesos posibles. Siempre se obtendrá uno de los posibles resultados. Se llama suceso elemental a cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. El conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral, E. Un suceso S es un subconjunto del conjunto de posibles resultados, es decir, del espacio muestral: S ⊂ E. Ejemplos: L os posibles resultados al tirar una moneda son que salga cara o salga cruz. El conjunto de sucesos elementales es {cara, cruz}. El conjunto de posibles resultados de los experimentos aleatorios siguientes: a) Extraer una bola de una bolsa con 9 bolas blancas y 7 negras es E = { blanca , negra }.
b) Sacar una carta de una baraja española es E = {As de Oros, 2O, 3O,…, SO, CO, RO, As de Copas, …, RC, As de Bastos, …, RB, As de Espadas,…, RE} Al lanzar un dado, el conjunto de posibles resultados es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, el suceso A obtener par es A = {2, 4, 6}, el suceso B obtener impar es B = {1, 3, 5}, el suceso C obtener múltiplo de 3 es C = {3, 6}, el suceso D sacar un número menor que 3 es D = {1, 2}. Al lanzar dos monedas el conjunto de posibles resultados es E = {(C, C), (C, +), (+, C), (+, +)}. El suceso sacar cero caras es A = {(+, +)}, el suceso sacar una cara es B = {(C, +), (+, C)} y el suceso sacar dos caras C = {(C, C)}.
Actividades propuestas
2. Escribe el conjunto de posibles resultados del experimento aleatorio: “ Escribir en seis tarjetas cada una de las letras de la
palabra MONEDA y sacar una al azar ”.
3. Escribe el conjunto de posibles resultados del experimento aleatorio: “ Sacar una bola de una bolsa que tiene bolas
negras, rojas y blancas ”.
4. Inventa dos sucesos del experimento aleatorio: Tirar dos dados.
Operaciones con sucesos
Dados dos sucesos A y B : La unión : A ∪ B se verifica si bien se verifica A o bien se verifica B. La intersección : A ∩ B se verifica si se verifica A y además se verifica B. La diferencia : A − B se verifica si se verifica A y no se verifica B. La unión, intersección y diferencia de dos sucesos aleatorios, son también sucesos aleatorios, pues son subconjuntos del espacio muestral.
2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 9: Probabilidad Autor: David Miranda LibrosMareaVerde.tk Revisores: Álvaro Valdés y Leticia González
Las operaciones con sucesos verifican las mismas propiedades que las operaciones con conjuntos: Asociativa: ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A Distributiva: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) Simplificativa: A ∪ ( B ∩ A ) = A A ∩ ( B ∪ A ) = A Leyes de Morgan: ( A ∩ B ) C^ = AC^ ∪ B C^ ( A ∪ B ) C^ = AC^ ∩ B C Todas ellas puedes comprenderlas representando conjuntos usando diagramas de Venn. Ejemplos: Al lanzar un dado, hemos llamado A al suceso obtener par : A = {2, 4, 6}, y B al suceso obtener múltiplo de 3: B = {3, 6}. Entonces A ∪ B = {2, 3, 4, 6}, A ∩ B = {6}, A − B = {2, 4}.
Actividades propuestas
5. Comprueba, utilizando el ejemplo anterior, que se verifican las 10 propiedades del Álgebra de Sucesos. Por ejemplo:
Vamos a comprobar la Ley de Morgan: ( A ∩ B ) C^ = A C^ ∪ B C: A ∩ B = {6} → ( A ∩ B ) C^ = {1, 2, 3, 4, 5}. A = {2, 4, 6} → AC^ = {1, 3, 5}; B = {3, 6} → BC^ = {1, 2, 4, 5}; A C^ ∪ B C^ = {1, 2, 3, 4, 5}.
6. Al sacar una carta de una baraja española, llamamos B al suceso sacar un oro y A al suceso sacar un rey. Escribe los
sucesos: A ∪ B , A ∩ B, A − B , AC, ( A ∪ B ) C, A C^ ∪ B C.
Suceso seguro, suceso imposible y suceso contrario
Se considera un suceso al espacio muestral, E , y se le denomina suceso seguro. Observa que al realizar el experimento aleatorio es seguro que sale uno de los posibles resultados, luego es seguro que se verifica E. El conjunto vacío es un subconjunto de E luego es un suceso aleatorio. Como suceso al conjunto vacío, ∅, se le llama suceso imposible. Observa que como no tiene elementos es imposible que se verifique.
Dado un suceso A , se denomina suceso contrario (o suceso complementario ) de A , y se escribe A , (o A ’, o A C , o noA ), al
suceso E − A , es decir, está formado por los elementos del espacio muestral que no están en el suceso A.
Sucesos incompatibles
Dos sucesos A y B son incompatibles si A ∩ B = ∅. En caso contrario se llaman sucesos compatibles. Ejemplos: Al sacar una carta de una baraja, si A = “Sacar un as ” y B = “Sacar bastos ” y C = “Sacar un rey ”. Entonces los sucesos A y B son compatibles pues podemos sacar el as de bastos , pero los sucesos A y C son incompatibles pues A ∩ C = ∅, ninguna carta es a la vez as y rey.
Actividades propuestas
7. Utiliza un diagrama de Venn para escribir a A ∪ B ∪ C como unión de conjuntos disjuntos.
8. Considera ahora un diagrama de Venn con sólo dos conjuntos, y representa en él la siguiente situación: Se sabe que en
un grupo de trabajo de 35 personas, hay 15 personas A que toman té, 27 que toman café B y 2 personas que no toman ninguna bebida: ( A ∪ B ) C^ A) ¿Suman más de 35? Eso es porque hay personas que toman té y café, ¿cuántas? Escríbelo en función de A y B , y represéntalo en el diagrama de Venn. B) ¿Cuántas personas sólo toman té y cuántas toman sólo café? C) Nombra con letras a los conjuntos siguientes e indica de cuántas personas están formados: a) Toman café y té. b) No toman ni café ni té. c) Toman té o bien toman té. d) Toman té y no toman café. D) De entre las personas que toman café, ¿cuántas toman también té? A este conjunto lo nombramos A / B. E) ¿Cuántas personas no toman café? Nómbralo con letras e indícalo en el diagrama. F) ¿Cuántas personas toman al menos una de las dos bebidas? Compara el resultado con el de las personas que no toman ninguna de las dos medidas.
1.2. Asignación de probabilidades
Existe una definición axiomática de probabilidad debida a Kolmogorov relativamente reciente (1930), pero antes ya se había sido usado este concepto por ejemplo por Fermat y Pascal en el siglo XVII que se escribieron cartas reflexionando sobre lo que ocurría en los juegos de azar. Cuando no comprendían cómo asignar una determinada probabilidad, jugaban muchas veces al juego que fuese y veían a qué valor se aproximaban las frecuencias relativas. Así, la probabilidad de un suceso podría definirse como el límite al que tienden las frecuencias relativas de ese suceso cuando el número de experimentos es muy alto. Si los sucesos elementales son equiprobables, es decir, a todos ellos les podemos asignar la misma probabilidad, (si la moneda no está trucada, si el dado no está trucado…) se puede usar la Relgla de Laplace : Por tanto: Para calcular probabilidades se usan dos técnicas, una experimental, a posteriori , analizando las frecuencias relativas de que ocurra el suceso, y la otra por simetría, a priori , cuando se sabe que los sucesos elementales son equiprobables, entonces se divide el número de casos favorables por el número de casos posibles. Esto último, cuando se puede usar, simplifica la forma de asignar probabilidades y se conoce como Regla de Laplace que dice que:
2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 9: Probabilidad Autor: David Miranda LibrosMareaVerde.tk Revisores: Álvaro Valdés y Leticia González
Definición
La probabilidad es una aplicación (función) que asigna a cada suceso A de un espacio muestral E un número real que debe verificar las siguientes propiedades: E → R A → P ( A ) 1.- La probabilidad del suceso seguro es 1: P ( E ) = 1. 2.- La probabilidad de cualquier suceso siempre es un número no negativo: P ( A ) ≥ 0, para todo A. 3.- Si dos sucesos son incompatibles entonces la probabilidad de la unión es la suma de sus probabilidades: Si A ∩ B = ∅ entonces P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ). Las dos últimas las verifican todas las medidas. La probabilidad es una medida.
Consecuencias de los axiomas
De estos axiomas se deducen las siguientes propiedades:
a) La probabilidad del suceso contrario es 1 menos la probabilidad del suceso: P ( A ) = 1 − P ( A ).
Demostración: En efecto, un suceso y su suceso contrario son incompatibles, y su unión es el suceso seguro. Por lo que usando los axiomas
1 y 3 se tiene: 1 = P ( E ) = P ( A ∪ A ) = P ( A ) + P ( A ) ⇒ P ( A ) = 1 − P ( A ).
b) La probabilidad del suceso imposible es 0: P (∅) = 0. Demostración: En efecto, el suceso imposible es el suceso contrario del suceso seguro, por lo utilizando la propiedad anterior y el axioma 1,
se tiene: P (∅) = P ( E )= 1^ −^ P ( E ) = 1 – 1 = 0.
a) La probabilidad de un suceso (finito) es la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen. Demostración: En efecto, los sucesos elementales son incompatibles entre sí, luego si A = { a 1 , a 2 , …, an } por el axioma 3 se tiene que: P ( A ) = P { a 1 , a 2 , …, a (^) n } = P ( a 1 ) + P ( a 2 ) + … + P ( a (^) n ). Si los sucesos elementales son equiprobables de esta propiedad se deduce la regla de Laplace.
Actividades resueltas
¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos un 6 al tirar dos dados? El suceso sacar al menos un 6 es el suceso contrario al de no sacar ningún 6. La probabilidad de no sacar un 6 en el primer dado es 5/6, luego la probabilidad de no sacar ningún 6 es (5/6)⋅(5/6). La probabilidad de sacar al menos un 6, al ser el suceso contrario es: P ( Sacar al menos un 6 ) = 1 − P ( No sacar ningún 6 ) = 1 − (5/6)⋅(5/6) = 11/36.
Actividades propuestas
18. ¿Cuál es la probabilidad de no sacar un 6 al tirar un dado? ¿Y de sacar un 7? ¿Y de sacar un número menor que 5 o bien
un número mayor que 3?
19. Al tirar una moneda tres veces, ¿cuál es la probabilidad de no sacar ninguna cara? ¿Y de sacar al menos una cara?
Observa que sacar al menos una cara es el suceso contrario de no sacar ninguna cara.
Sucesos compatibles e incompatibles
Ejemplo: Al tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número menor que 2 o bien un número mayor que 5? A = {1}, B = {6}. Debemos calcular P ( A ∪ B ) = P (1, 6) = 2/6. Los sucesos A y B son incompatibles, no se verifican a la vez, luego P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) = 1/6 + 1/6…,Hay 10 copas y 10 oros, y ninguna carta es a la vez copa y oro, luego la probabilidad es 20/40. Al tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un múltiplo de 2 o bien un múltiplo de 3? A = {2, 4, 6}, B = {3, 6}. Debemos calcular P ( A ∪ B ) = {2, 3, 4, 6} = 4/6. Los sucesos A y B son compatibles, pues el número 6 es a la vez múltiplo de 2 y de 3. Ahora no se verifica que la probabilidad de la unión sea igual a la suma de probabilidades, pues: P ( A ) + P ( B ) = 3/6 + 2/6 = 5/6. Llamamos sucesos incompatibles a los que no pueden realizarse a la vez, por lo que su intersección es el suceso imposible, y sucesos compatibles a los que pueden realizarse a la vez. Designamos P ( A ∪ B ) a la probabilidad del suceso “ se verifica A o bien se verifica B”. Hemos visto en el ejemplo que si los sucesos son incompatibles su probabilidad es igual a la suma de las probabilidades, pues se verifica el axioma 3 de Kolmogorov. P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ), si A y B son incompatibles. Pero si A y B tienen una intersección no vacía, pueden verificarse a la vez, habrá que restar esos casos, esas veces en que se verifican A y B a la vez. P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ), si A y B son compatibles.
2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 9: Probabilidad Autor: David Miranda LibrosMareaVerde.tk Revisores: Álvaro Valdés y Leticia González
Esta segunda expresión es más general que la primera, ya que en el caso en que A y B son incompatibles entonces P ( A ∩ B )= 0.
Actividades resueltas
Calcula la probabilidad de los sucesos siguientes: a) Sacar una sota o una figura; b) No sale una sota o sale un sota; c) Sacar un oro o una figura. a) Hay 4 sotas y hay 4 ∙ 4 = 16 figuras (as, sota, caballo y rey), pero las cuatro sotas son figuras, por tanto P (Sota ∪ Figura) = 4/40 + 16/40 – 4/40 = 16/40 = 0’4. b) Hay 40 – 4 = 36 cartas que no son sotas, y hay 4 sotas, luego P (no sota ∪ sota) = 36/40 + 4/40 = 1. Esta conclusión es más general. Siempre:
P ( A ∪ A ) = 1,
pues un suceso y su contrario ya vimos que verificaban que P ( A ) + P ( A ) = 1.
c) Hay 10 oros y hay 16 figuras, pero hay 4 figuras que son a la vez oros (as, sota, caballo y rey), luego P (Oro ∪ Figura) = 10/40 + 16/40 – 4/40 = 22/40 = 11/20.
Sucesos dependientes e independientes
Ejemplo: Tenemos una bolsa con 7 bolas rojas y 3 bolas negras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja? Si sacamos dos bolas, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos bolas rojas? La probabilidad de sacar una bola roja es 7/10. Pero la de sacar dos bolas rojas, ¡depende! Depende de si volvemos a meter en la bolsa la primera bola roja, o si la dejamos fuera. En el primer caso decimos que es con reemplazamiento y en el segundo, sin reemplazamiento. Si la volvemos a meter, la probabilidad de sacar bola roja volverá a ser 7/10, y la probabilidad de sacar dos bolas rojas es 7/ ∙ 7/10 = 0’49. La probabilidad de esta segunda bola no depende de lo que ya hayamos sacado, y en este caso la probabilidad se obtiene multiplicando. Si los sucesos A y B son independientes: P ( A ∩ B ) = P ( A ) ∙ P ( B ). Pero si la dejamos fuera, ahora en la bolsa sólo hay 9 bolas y de ellas sólo quedan 6 bolas rojas, luego la probabilidad de que esa segunda bola sea roja es 6/9, y está condicionada por lo que antes hayamos sacado. Se escribe: P (Roja/Roja) y se lee “probabilidad de Roja condicionada a haber sacado Roja”. La probabilidad de sacar dos bolas rojas es ahora: 7/10 ∙ 6/9 = 42/90 = 0’46. Observa el diagrama de árbol y comprueba que la probabilidad de sacar primero una bola roja y luego una bola negra (no Roja) es 7/10 ∙ 3/9 = 21/ pues después de sacar una bola roja en la bolsa quedan sólo 9 bolas y de ellas 3 son negras. La probabilidad de sacar primero una bola negra (no Roja) y luego bola Roja es 3/10 ∙ 7/9 = 21/90, y la de sacar dos bolas negras es: 3/10 ∙ 2/9 = 6/90. Los sucesos son dependientes. El que ocurra A , o no ocurra A , afecta a la probabilidad de B. Por eso se dice que B está condicionado a A. Si los sucesos A y B son dependientes entonces: P ( A ∩ B ) = P ( A ) ∙ P ( B / A ) Pero observa más cosas.
P ( A ) + P ( A ) = 1: 7/10 + 3/10 = 1; 6/9 + 3/9 = 1; 7/9 + 2/9 = 1.
P ( E ) = P ( A 1 )+ P ( A 2 )+ … + P ( A (^) n ) = 1: 42/90 + 21/90 + 21/90 + 6/90 = 1
Actividades resueltas
Sacamos dos cartas de una baraja de 40 cartas sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos oros? Si fuera con reemplazamiento la probabilidad sería 10/40 ∙ 10/40, pero al ser sin reemplazamiento la probabilidad del segundo oro viene condicionada por que hayamos sacado un oro previamente. Ahora en la baraja ya no quedan 40 cartas sino 39, y no quedan 10 oros sino sólo 9, luego la probabilidad es: 10 /40 ∙ 9/39 = 3/52. Observa que: Si dos sucesos son dependientes entonces: P ( B / A ) ≠ P ( B ).
Pero si dos sucesos son independientes entonces: P ( B / A ) = P ( B / A ) = P ( B ).
Por tanto la expresión: P ( A ∩ B ) = P ( A ) ∙ P ( B / A ) es general, ya que si los sucesos son independientes entonces P ( B / A ) = P ( B ) y por tanto P ( A ∩ B ) = P ( A ∩ B ) = P ( A ) ∙ P ( B / A ) = P ( A ) ∙ P ( B ).
2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 9: Probabilidad Autor: David Miranda LibrosMareaVerde.tk Revisores: Álvaro Valdés y Leticia González
como en el segundo la causa sea una negligencia.
P ( N , N ) = 0’4 ∙ 0’6 = 0’24 que es la probabilidad de que el primer incendio se deba a una negligencia y el segundo no.
P ( N , N ) = 0’6 ∙ 0’4 = 0’24 P ( N , N ) = 0’6 ∙ 0’6 = 0’
La probabilidad de que al menos uno haya sido por negligencia la podemos calcular sumando las probabilidades de ( N,
N ), ( N , N ) y ( N , N ) que es 0’16 + 0’24 + 0’24 = 0’64. Pero más sencillo es calcular la probabilidad del suceso contrario
P (no N , no N ) = P ( N , N ) = 0’36 y restarla de 1:
P (al menos uno por negligencia) = 1 – P (ninguno por negligencia) = 1 – 0’36 = 0’64.
Actividades propuestas
30. Dibuja en tu cuaderno un diagrama en árbol para tres incendios, y calcula la probabilidad de que al menos uno haya sido
por negligencia siendo P ( N ) = 0’4.
31. Una fábrica de móviles desecha normalmente el 0,02 % de su producción por fallos debidos al azar. Calcula la
probabilidad de que: a) Al coger dos móviles al azar haya que desechar ambos. b) Al coger dos móviles al azar haya que desechar sólo uno. c) Al coger dos móviles al azar no haya que desechar ninguno. d) Verificamos 3 móviles, calcula la probabilidad de desechar los tres. e) Calcula la probabilidad de al verificar 3 móviles rechazar sólo el tercero.
32. En una aeronave se han instalado tres dispositivos de seguridad: A , B y C. Si falla A se pone B en funcionamiento, y si
también falla B empieza a funcionar C. Las probabilidades de que funcione correctamente cada dispositivo son: P ( A ) = 0’99; P ( B ) = 0’96 y P ( C ) = 0’97. a) Calcula la probabilidad de que fallen los tres dispositivos. b) Calcula la probabilidad de que todo vaya bien.
33. Lanzamos una moneda hasta que aparezca dos veces seguidas del mismo lado. Calcula las probabilidades de que: A) La
experiencia termine al segundo lanzamiento. B) Termine al tercer lanzamiento. C) Termine en el cuarto. D) Termine a lo sumo en el cuarto lanzamiento (es decir, que termine en el segundo o en el tercero o en el cuarto lanzamiento).
Tablas de contingencia
Ejemplo: Se han estudiado mil enfermos del hepatitis C analizando por un procedimiento más barato si las lesiones son graves o leves. Luego se les volvió a analizar por el procedimiento usual determinando qué diagnósticos habían sido correctos y cuáles incorrectos. Los valores obtenidos se representan en la tabla: Diagnóstico correcto Diagnóstico incorrecto Totales Lesión maligna 412 24 436 Lesión benigna 536 28 564 Totales 948 52 1000 Determinamos la tabla de frecuencias relativas: Diagnóstico correcto ( C ) Diagnóstico incorrecto ( I ) Totales Lesión maligna ( M ) (^) 0’412 0’024 0’ Lesión benigna ( B ) 0’536 0’028 0’ Totales 0’948 0’052 1
Actividad resuelta
Imagina que estas frecuencias relativas pudieran tomarse como probabilidades. Interpreta entonces el significado de cada uno de estos valores. 0’412 sería la probabilidad de que el diagnóstico de lesión maligna fuese correcto: P ( M ∩ C ). 0’024 = P ( M ∩ I ); 0’536 = P ( B ∩ C ); 0’028 = P ( B ∩ I ). ¿Y 0’436? El número de lesiones malignas es 218, luego 0’436 = P ( M ). Del mismo modo: 0’564 = P ( B ); 0’948 = P ( C ); 0’052 = P ( I ). Observa que P ( M ) + P ( B ) = 1 y que P ( C ) + P ( I ) = 1. Son sucesos contrarios. En general se denomina tabla de contingencias a:
A No A = A
B P ( A ∩ B ) P ( A ∩ B ) P ( B )
No B = B P ( A ∩ B ) P ( A ∩ B ) P ( B )
P ( A ) P ( A ) 1
En una tabla de contingencia figuran todas las probabilidades o contingencias de los sucesos compuestos. Observa que:
Como sabemos por la probabilidad del suceso contrario: P ( A ) + P ( A ) = 1 y P ( B ) + P ( B ) = 1.
Observa también que: P ( A ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ), del mismo modo que P ( B ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) pues se
obtienen sumando respectivamente la primera columna y la primera fila.
También: P ( A ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) y P ( B ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ).
2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 9: Probabilidad Autor: David Miranda LibrosMareaVerde.tk Revisores: Álvaro Valdés y Leticia González
Actividad resuelta
Dada la tabla de contingencia determina si los sucesos A y B son, o no, dependientes
A No A = A
B 2/9 5/9 7/
No B = B 1/9^ 1/9^ 2/
P ( A ∩ B ) = P ( A ) ∙ P ( B / A ), por tanto: 2/9 = 1/3 ∙ P ( B / A ), lo que nos permite obtener: P ( B / A ) = (2/9)/(1/3) = 2/3 ≈ 0’ que es distinto de 7/9 ≈ 0’7778 que es la probabilidad de B. Se puede afirmar que A y B son dependientes ya que P ( B / A ) ≠ P ( B ).
Actividades propuestas
34. Se ha hecho un estudio estadístico sobre accidentes de tráfico y se han determinado las siguientes probabilidades
reflejadas en la tabla de contingencia: Accidente en carretera ( C ) Accidente en zona urbana ( U ) Totales Accidente con víctimas ( V ) 0’3 0’ Accidente con sólo daños materiales ( M ) Totales 0’7 1 a) Copia la tabla en tu cuaderno y complétala. b) Determina las siguientes probabilidades: P ( V ∩ C ); P ( V ∩ U); P ( M ∩ C ); P ( M ∩ U ); P ( V ); P ( M ); P ( C ) y P ( U ). c) Calcula P ( U / V ); P ( C / V ); P ( V / U ); P ( V / C ). ¿Son dependientes o independientes los sucesos: accidente con víctimas y accidente en carretera?
35. Inventa una tabla de contingencia considerando que los accidentes puedan ser de carretera ( C ) o urbanos ( U ), pero que
ahora los clasificamos en leves ( L ), graves ( G ) o mortales ( M ). Observa que lo fundamental para confeccionar la tabla es que los sucesos sean incompatibles dos a dos.
Diagramas de árbol y tablas de contingencia
Los diagramas de árbol y las tablas de contingencia están relacionados. Dado un árbol puedes obtener una tabla de contingencia, y viceversa. Tiene interés esta relación pues con los datos del problema a veces es más sencillo construir uno de ellos y dar la solución pasando al otro.
Actividad resuelta
Dada la tabla de contingencia, obtener el diagrama de árbol que comienza con A y noA = A.
A No A = A
B 0’4 0’3 0’
No B = B 0’2^ 0’1^ 0’
Conocemos la P ( A ) = 0’6, P ( A ) = 0’4, P ( B ) = 0’7 y P ( B ) = 0’3. También
conocemos P ( A ∩ B ) = 0’4; P ( A ∩ B ) = 0’2; P ( A ∩ B ) = 0’3 y P ( A ∩ B ) =
0’1. Nos falta conocer P ( B / A ) que podemos obtener dividiendo P ( A ∩ B ) entre P ( A ): P ( B / A ) = P ( A ∩ B )/ P ( A ) = 0’4 : 0’6 = 4/6 = 2/3. Del mismo modo calculamos:
P ( B / A ) = P ( A ∩ B )/ P ( A ) = 0’2 : 0’6 = 2/6 = 1/3.
P ( B / A ) = P ( A ∩ B )/ P ( A ) = 0’3 : 0’4 = 3/4.
P ( B / A ) = P ( A ∩ B )/ P ( A ) = 0’1 : 0’4 = 1/4.
El árbol es el del margen:
Actividad resuelta
Recíprocamente, dado el diagrama de árbol del margen obtener la tabla de contingencia:
Ahora conocemos P ( A ) = 4/9 y P ( A ) = 5/9. Además
conocemos: P ( B / A ) = 3/5; P ( B / A ) = 3/7; P ( B / A ) = 2/5 y P ( B / A ) = 4/7.
Calculamos, multiplicando: P ( A ∩ B ) = (4/9)∙(3/5) = 12/45 = 4/15; P ( A ∩ B ) =
P ( A ∩ B ) = (5/9)∙(3/7) = 15/63 = 5/21 y P ( A ∩ B ) = (5/9)∙(4/7) = 20/63.
2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 9: Probabilidad Autor: David Miranda LibrosMareaVerde.tk Revisores: Álvaro Valdés y Leticia González
1.5. Teoremas de la probabilidad total y teorema de Bayes
Thomas Bayes en 1763 enunció el teorema que lleva su nombre. Sirve para resolver problemas del tipo de la página inicial: “ Conocemos la probabilidad de que un enfermo que tiene hepatitis esté algo amarillo. Calcula la probabilidad de que alguien
que esté algo amarillo, tenga hepatitis ”. Es decir permite calcular la probabilidad de A / B conociendo la probabilidad de B / A (o mejor, las probabilidades de B condicionado a un conjunto de sucesos A (^) i tales que son incompatibles dos a dos y cuya unión
es todo el espacio muestral). Vamos a enunciarlo, pero ¡no te asustes! ¡Ya sabes resolver problemas en los que se usa el Teorema de Bayes! ¡No hace falta que te aprendas la fórmula!
Previamente vamos a enunciar un teorema que también ya has usado, el teorema de la probabilidad total, que es como un paso intermedio del teorema de Bayes.
Enunciado del teorema de la probabilidad total Sean { A 1 , A 2 , …, A n} un sistema completo de sucesos incompatibles dos a dos, con probabilidades no nulas, suma de probabilidades 1. Sea B otro suceso del que conocemos las probabilidades condicionadas: P ( B / A i). Entonces:
=
n
k
P B PB Ak PAk
1
Enunciado del teorema de Bayes Sean { A 1 , A 2 , …, A n} un sistema completo de sucesos incompatibles dos a dos, con probabilidades no nulas, suma de probabilidades 1. Sea B otro suceso del que conocemos las probabilidades condicionadas: P ( B / A i). Entonces:
=
n
k
k k
i i i i i
P B A P A
P B A P A
PB
P B A P A
P A B
1
Vamos a comprobar que ya lo sabes con un ejemplo sencillo, que ya has resuelto en las actividades propuestas del apartado anterior. Para resolver problemas tipo Bayes basta construir un diagrama de árbol, luego la tabla de contingencia asociada, y a continuación el otro diagrama de árbol.
Actividades resueltas
Antes de comprobar que SÍ sabes resolver problemas tipo Bayes , vamos a trabajar un poco la nomenclatura de las probabilidades condicionadas. Escribe con símbolos las siguientes probabilidades: a) Sabemos que se ha verificado B , ¿cuál es la probabilidad de A? → P ( A / B ) = P ( A ∩ B ) : P ( A ).
b) Probabilidad de B y A → P ( A ∩ B ) = P ( B ∩ A ) = P ( A ) ⋅ P ( B / A ) = P ( B ) ⋅ P ( A/B )
c) Ha salido una bola negra ( A ), probabilidad de que sea de la segunda urna ( B ) → P ( B/A ) d) Probabilidad de B o A → P ( A ∪ B ) = P ( B ∪ A ) e) El accidente ha sido en carretera ( A ), probabilidad de que haya sido mortal ( B ) → P ( B/A )
Tenemos un conjunto de sucesos {A 1 , A 2 , A 3 } tales que E = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 , y son incompatibles dos a dos.
Conocemos sus probabilidades: P(A 1 ) = 0’3, P(A 2 ) = 0’5, P(A 3 ) = 0’2. Tenemos otros dos sucesos incompatibles, A y B, de los que conocemos las probabilidades condicionadas P(A/A 1 ) = 0’4, P(B/A 1 ) = 0’6, P(A/A 2 ) = 0’5, P(B/A 2 ) = 0’7, P(A/A 3 ) = 0’5, P(B/A 3 ) = 0’5. Queremos calcular P(A 1 /B). Confeccionamos un árbol con los datos que tenemos. Ahora podemos calcular las probabilidades de las intersecciones. Ya sabes que: P ( A 1 ∩ A ) = P ( A 1 ) ⋅ P ( A / A 1 ) = 0’3⋅0’4 = 0’ P ( A 1 ∩ B ) = P ( A 1 ) ⋅ P ( B / A 1 ) = 0’3⋅0’6 = 0’ P ( A 2 ∩ A ) = P ( A 2 ) ⋅ P ( A / A 2 ) = 0’5⋅0’3 = 0’ P ( A 2 ∩ B ) = P ( A 2 ) ⋅ P ( B / A 2 ) = 0’5⋅0’7 = 0’ P ( A 3 ∩ A ) = P ( A 3 ) ⋅ P ( A / A 3 ) = 0’2⋅0’5 = 0’ P ( A 3 ∩ B ) = P ( A 3 ) ⋅ P ( B / A 3 ) = 0’2⋅0’5 = 0’ Llevamos estos resultados a la tabla de contingencia asociada: A 1 A 2 A 2 A (^) P ( A 1 ∩ A ) = 0’12 P ( A 2 ∩ A ) = 0’ P ( A 3 ∩ A ) = 0’
P ( A ) = 0’12+0’15+0’1= 0’ B (^) P ( A 1 ∩ B ) = 0’18 P ( A 2 ∩ B ) = 0’ P ( A 3 ∩ B ) = 0’
P ( B )= 0’18+0’35+0’10=0’ P ( A 1 ) = 0’12 + 0’18 = 0’
P ( A 2 ) = 0’15 +
P ( A 3 ) = 0’10 +
2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 9: Probabilidad Autor: David Miranda LibrosMareaVerde.tk Revisores: Álvaro Valdés y Leticia González
Sumando columnas comprobamos que no nos estamos equivocando en los cálculos pues las probabilidades que obtenemos: P ( A 1 ) = 0’12 + 0’18 = 0’3; P ( A 2 ) = 0’15 + 0’35 = 0’5 y P ( A 3 ) = 0’10 + 0’10 = 0’2 son las conocidas. Sumando por filas obtenemos las probabilidades: P ( A ) = 0’12 + 0’15 + 0’1 = 0’37 y P ( B ) = 0’18 + 0’35 + 0’10 = 0’63. Con estas probabilidades podemos construir el otro árbol. Ahora ya es posible calcular las otras probabilidades condicionadas, utilizando las probabilidades de la intersección y dividiendo: P ( A 1 / A ) = P ( A 1 ∩ A ) : P ( A ) = 0’12/0’37 = 12/ P ( A 2 / A ) = P ( A 2 ∩ A ) : P ( A ) = 0’15/0’37 = 15/ P ( A 3 / A ) = P ( A 3 ∩ A ) : P ( A ) = 0’10/0’37 = 10/ P ( A 1 / B ) = P ( A 1 ∩ B ) : P ( B ) = 0’18/0’63 = 18/ P ( A 2 / B ) = P ( A 2 ∩ B ) : P ( B ) = 0’35/0’63 = 35/ P ( A 3 / B ) = P ( A 3 ∩ B ) : P ( B ) = 0’10/0’63 = 10/ La probabilidad pedida P ( A 1 / B ) = 18/63 = 2/7. Observa que: Vamos a repasar los cálculos, para comprender mejor los teoremas de la probabilidad total y de Bayes. Si miramos la tabla hemos obtenido P ( B ) sumando la fila como: P ( B ) = P ( A 1 ∩ B ) + P ( A 2 ∩ B ) + P ( A 3 ∩ B ) Y las probabilidades de las intersecciones las hemos obtenido multiplicando en el árbol: P ( A 1 ∩ B ) = P ( A 1 ) ⋅ P ( B / A 1 )… luego: P ( B ) = P ( A 1 ∩ B ) + P ( A 2 ∩ B ) + P ( A 3 ∩ B ) = P ( B / A 1 ) ⋅ P ( A 1 ) + P ( B / A 2 ) ⋅ P ( A 2 ) + P ( B / A 3 ) ⋅ P ( A 3 ).
Teorema de la probabilidad total: = ∑ ⋅
=
n k
P B PB Ak PAk
1
En el segundo árbol hemos obtenido P ( A 1 / B ) dividiendo P ( A 1 ∩ B ) : P ( B ). Para tener el teorema de Bayes basta sustituir de nuevo la probabilidad de la intersección por el producto, y utilizar el teorema de la probabilidad total:
=
3
1
1 1 1 1 1 1
k
PB Ak P Ak
PB A P A
PB
P B A P A
PB
PB A
P A B
Teorema de Bayes :
=
n
k
k k
i i i i i
PB A PA
PB A PA
PB
PB A P A
P A B
1
Tenemos dos urnas, A y B. La primera con 8 bolas blancas y 2 bolas negras. La segunda con 4 bolas blancas y 6 bolas negras. Se saca una bola al azar, de una de las dos urnas, también al azar y resulta ser negra. ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? Debemos calcular P (Negra/ B ). Para que se parezca más al enunciado del teorema vamos a llamar a Blanca = A 1 y a Negra = A 2. El conjunto de sucesos { A 1 , A 2 } verifica las condiciones del teorema de Bayes. Por tanto queremos calcular P ( A 2 / B ).
Podemos construir el árbol del margen. Por el enunciado conocemos las siguientes probabilidades. Nos dicen que la elección de urna es al azar, por tanto P ( A ) = P ( B ) = 1/2. Si sacamos una bola de la urna A sabemos que P (Blanca/ A ) = P ( A 1 / A ) = 8/10, pues en la urna A hay 10 bolas de las que 8 son bolas blancas. Del mismo modo sabemos: P (Negra/ A ) = P ( A 2 / A ) = 2/10; P (Blanca/ B ) = P ( A 1 / B ) = 4/10, y P (Negra/ B ) = P ( A 2 / B ) = 6/10. Multiplicando calculamos las probabilidades de los sucesos compuestos: P ( A ∩ A 1 ) = 2/5, P ( A ∩ A 2 ) = 1/10, P ( B ∩ A 1 ) = 1/5, P ( B ∩ A 2 ) = 3/10. Estos datos nos permiten construir la tabla de contingencia asociada: Blanca = A 1 Negra = A 2 A (^) P ( A ∩ A 1 ) = 2/5 P ( A ∩ A 2 ) = 1/10 P ( A ) = 2/5 + 1/10 = 1/ B (^) P ( B ∩ A 1 ) = 1/5 P ( B ∩ A 2 ) = 3/10 P ( B ) = 1/5 + 3/10 = 1/ P ( A 1 ) = 2/5 + 1/5 = 3/5 P ( A 2 ) = 1/10 + 3/10 = 4/10 = 2/5 1 Comprueba cómo se verifica el teorema de la probabilidad total:
2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 9: Probabilidad Autor: David Miranda LibrosMareaVerde.tk Revisores: Álvaro Valdés y Leticia González
RESUMEN
Sucesos
Al realizar un experimento aleatorio existen varios posibles resultados o sucesos posibles. Un suceso es un subconjunto del conjunto de posibles resultados.
Tiramos un dado. Posibles resultados = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Suceso obtener múltiplo de 3 = {3, 6}
Asignación de
probabilidades
Una medida Límite al que tienden las frecuencias relativas. Regla de Laplace: Si los sucesos elementales son equiprobables entonces: p = casos favorables / casos posibles.
P (5) = 1/6.
P (sacar múltiplo de 3) = 2/
Axiomática de
Kolmogorov
1. P ( E ) = 1. 2. P ( A ) ≥ 0, para todo A. 3. Si A ∩ B = ∅ entonces P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ).
Propiedades de
la Probabilidad
Suceso contrario: P ( X ) + P ( noX ) = 1. Sucesos dependientes: P ( A ∩ B ) = P ( A ) ∙ P ( B / A ). Sucesos compatibles: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B )
P (no 5) = 1 – 1/6 = 5/6. P (5 ∪ múl. 3) = 1/6 + 2/6 =3/ P sacar primero un 5 y luego múltiplo de 3 =1/6∙2/6 = 2/
Teorema de la
probabilidad total ∑^
=
n
k
P B PB Ak P Ak
1
Teorema de
Bayes ∑ ⋅
=
n
k
k k
i i i i i
PB A P A
PB A P A
PB
PB A P A
PA B
1
AUTOEVALUACIÓN
1. Al tirar dos dados, la probabilidad de sacar al menos un 5 es: a) 5/6 b) 11/36 c) 25/36 d) 30/ 2. Al tirar 3 monedas, la probabilidad de sacar exactamente dos caras es: a) 1/2 b) 3/4 c) 3/8 d) 5/ 3. Al tirar 3 monedas, la probabilidad de sacar al menos dos caras es:
a) 1/2 b) 3/4 c) 3/8 d) 5/
4. Sacamos una carta de una baraja de 40 cartas, la probabilidad de que sea un oro o un múltiplo
de 2 es:
a) 22/40 b) 19/40 c) 36/40 d) 3/
5. Indica cuál de las afirmaciones siguientes es siempre correcta:
a) P ( A ) + P ( noA ) = 1; P ( A y B ) = P ( A ) ∙ P ( B ); P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )
6. El enunciado del teorema de Bayes es:
a)
=
n
k
k k
i i i i i
PC A P A
PC A P A
PC
PC A P A
P A C
1
( / ) b)
=
n
k
k k
i i
P B A P A
PB A P A
P A B
1
2
c)
( / )^3
P B
PB A P A
P Ai B i
= d)
=
n
k
k k
i i i i i
PB A PA
PB A PA
PB
P B A P A
P A A
1
7. En una urna hay 3 bolas rojas y 5 bolas negras. Se sacan dos bolas. Llamamos A al suceso sacar una bola
roja, y B a sacar una bola negra. Los sucesos A y B son:
a) Contrarios b) Incompatibles c) Independientes d) Dependientes
8. Sacamos una carta de una baraja. Llamamos A al suceso sacar un rey y B a sacar una sota. Los sucesos A
y B son:
a) Contrarios b) Incompatibles c) Independientes d) Dependientes
2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 9: Probabilidad Autor: David Miranda LibrosMareaVerde.tk Revisores: Álvaro Valdés y Leticia González
EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Problemas propuestos en selectividad
1. Junio 94. Opción B (2 puntos) Se lanza dos veces un dado equilibrado con seis caras. Hallar la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres. 2. Curso 94/95. Modelo Opción A (2 puntos) En cierto instituto se ofrece informática y teatro como asignaturas optativas. El grupo A consta de 30 estudiantes, y los grupos B y C tienen 35 cada uno. El 60 por ciento del grupo A ha elegido teatro, así como el 20 por ciento del grupo B y el 40 por ciento del resto han elegido informática. a) Si se pregunta a un estudiante elegido al azar, hallar la probabilidad de que haya optado por informática. b) Si un estudiante ha elegido teatro, calcular la probabilidad de que pertenezca al grupo B. 3. Curso 94/95. Modelo Opción B (3 puntos) Se sabe que se han eliminado varias cartas de una baraja española que tiene cuarenta. La probabilidad de extraer un as entre las que quedan es 0’12, la probabilidad de que salga una copa es 0’08 y la probabilidad de que no sea ni as ni copa es 0’84. A) Hallar la probabilidad de que la carta extraída sea as o copa. B) Calcular la probabilidad de que la carta sea el as de copas. ¿Se puede afirmar que entre las cartas que no se han eliminado está el as de copas? 4. Junio 95. Opción A. (3 puntos) En una ciudad en la que hay doble número de hombres que de mujeres, hay una epidemia. El 6 % de los hombres y el 11 % de las mujeres están enfermos. Se elige al azar un individuo. Calcular la probabilidad de: a) que sea hombre. b) que esté enfermo. c) que sea hombre, sabiendo que está enfermo. 5. Septiembre 95. Opción B. (3 puntos) Una persona despistada tiene ocho calcetines negros, seis azules y cuatro rojos, todos ellos sueltos. Un día con mucha prisa, elige dos calcetines al azar. Hallar la probabilidad de: a) que los calcetines sean negros. b) que los dos calcetines sean del mismo color. c) que al menos uno de ellos sea rojo. d) que uno sea negro y el otro no. 6. Septiembre 95. Opción B. (2 puntos) Tres personas viajan en un coche. Si se supone que la probabilidad de nacer en cualquier día del año es la misma y sabemos que ninguno ha nacido en un año bisiesto, (a) hallar la probabilidad de que solamente una de ellas celebre su cumpleaños ese día. (b) calcular la probabilidad de que al menos dos cumplan años ese día. 7. Curso 95/96. Modelo Opción A (3 puntos) En una bolsa A hay siete bolas numeradas de 1 al 7, y en otra bolsa B hay cinco bolas numeradas del 8 al 12. Se realiza la experiencia compuesta consistente en tomar una bola al azar de A, anotar su paridad e introducirla posteriormente en la bolsa B , a continuación se extrae al azar una bola de B y se anota también su paridad. (a) Calcular la probabilidad de que las dos bolas extraídas tengan la misma paridad. (b) Hallar la probabilidad de que la bola extraída de B corresponda a un número impar. 8. Junio 96. Opción A. (3 puntos) Una urna contiene 6 bolas blancas y 4 negras una segunda urna B contiene 5 bolas blancas y 2 negras. Se selecciona una urna al azar y de ella se extraen 2 bolas sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que: (a) Las dos bolas sean blancas. (b) Las dos bolas sean del mismo color. (c) Las dos bolas sean de distinto color. 9. Junio 96. Opción B. (2 puntos) De una baraja de 40 cartas se eligen al azar simultáneamente 4 cartas. Hallar: a) Probabilidad de que se halla elegido al menos un rey. b) Probabilidad de que tres de las cuatro cartas sean del mismo palo. 10. Septiembre 96. Opción A. (2 puntos) La cuarta parte de las participantes en un congreso son españolas. La probabilidad de que una congresista desayune té si es española es un octavo y la probabilidad de que tome té si es extranjera, es un tercio. Si se elige una congresista al azar: a) ¿cuál es la probabilidad de que desayune té? b) ¿cuál es la probabilidad de que no sea española si desayuna té? c) ¿cuál es la probabilidad de que sea española si no desayuna té? 11. Curso 96/97. Modelo Opción A (2,5 puntos) Para realizar un control de calidad de un producto se examinan 3 unidades del producto extraídas al azar y sin reemplazamiento de un lote de 100 unidades. Las unidades pueden tener defectos de dos tipos, A y B. Si en el lote de 100 unidades existen 10 unidades con defectos del tipo A únicamente, 8 unidades con defecto del tipo B únicamente, y dos unidades con ambos tipos de defecto, se desea determinar la probabilidad de que en la muestra de tres unidades extraídas se obtengan en total: a) Cero defectos. b) Una unidad con defecto del tipo A y otra con defecto del tipo B , o bien una unidad con ambos tipos de defecto.
2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 9: Probabilidad Autor: David Miranda LibrosMareaVerde.tk Revisores: Álvaro Valdés y Leticia González
23. Septiembre 99. Opción B. (2 puntos) Se dispone de tres urnas, la A que contiene dos bolas blancas y cuatro rojas, la B con tres blancas y tres rojas, y la C con una blanca y cinco rojas. (a) Se elige una urna al azar y se extrae una bola de ella, ¿cuál es la probabilidad de que esta bola sea blanca? (a) Si la bola extraída resulta ser blanca, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? 24. Curso 99/00. Modelo Opción A (2 puntos) Si se escoge un número al azar de cierta ciudad española, la probabilidad de que figure a nombre de un hombre es 0’7 y de que figure a nombre de una mujer es 0’3. En dicha ciudad, la probabilidad de que un hombre trabaje es 0’8 y de que lo haga una mujer es 0’7. Se elige un número de teléfono al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda una persona que trabaja? b) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a un hombre, sabiendo que pertenece a una persona que trabaja? 25. Curso 99/00. Modelo Opción B (2 puntos) Un examen consiste en elegir al azar dos temas de entre los diez del programa y desarrollar uno. a) ¿Qué probabilidad tiene un alumno, que sabe seis temas de aprobar el examen? b) ¿Qué probabilidad tiene el mismo alumno de saberse uno de los dos temas elegidos y el otro no? 26. Junio 00. Opción A. (2 puntos) De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar, sucesivamente y sin reemplazamiento, dos bolas. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídas sean blancas? (b) Si la segunda bola ha resultado ser negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también lo haya sido? 27. Junio 00. Opción B. (2 puntos)
Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio talas que P (A) = 0’6; P (B) = 0’2 y
(a) Calcúlese y razónese si los sucesos A y B son independientes.
(b) Calcúlese
28. Septiembre 00. Opción A. (2 puntos) La probabilidad de que en un mes dado un cliente de una gran superficie compre un producto A es 0’6; la probabilidad de que compre un producto B es 0’5. Se sabe también que la probabilidad de que un cliente compre el producto B no habiendo comprado el producto A es 0’4. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente haya comprado sólo el producto B? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente no haya comprado ninguno de los productos? 29. Septiembre 00. Opción B. (2 puntos) Una empresa emplea tres bufetes de abogados para tratar sus casos legales. La probabilidad de que un caso se deba remitir al bufete A es 0’3; de que se remita al bufete B es 0’5 y de que se remita al bufete C es 0’2. La probabilidad de que un caso remitido al bufete A sea ganado en los tribunales es 0’6; para el bufete B esta probabilidad es 0’8 y para el bufete C es 0,7. (a) Calcúlese la probabilidad de que la empresa gane un caso. (b) Sabiendo que un caso se ha ganado, determínese la probabilidad de que lo haya llevado el bufete A. 30. Curso 00/01. Modelo Opción A. (2 puntos) En una ciudad, la probabilidad de que uno de sus habitantes censados vote al partido A es 0’4; la probabilidad de que vote al partido B es 0’35 y la probabilidad de que vote al partido C es 0’25. Por otro lado, las probabilidades de que un votante de cada partido lea diariamente algún periódico son, respectivamente, 0’4; 0’4 y 0’6. Se elige una persona de la ciudad al azar: a) Calcúlese la probabilidad de que lea algún periódico. b) La persona elegida lee algún periódico, ¿cuál es la probabilidad de que sea votante del partido B? 31. Curso 00/01. Modelo Opción B. (2 puntos) Una urna contiene 7 bolas blancas, 3 bolas rojas y 2 bolas negras. Se considera el experimento aleatorio consistente en extraer tres bolas de la urna, de forma sucesiva y sin reemplazamiento. Sean los sucesos B1 : La primera bola es blanca, B2 : La segunda bola es blanca y B3 : La tercera bola es blanca. a) Exprésese con ellos el suceso Las bolas extraídas en primer y tercer lugar son blancas, y la extraída en segundo lugar no. b) Calcúlese la probabilidad del suceso Las tres bolas son del mismo color.
2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 9: Probabilidad Autor: David Miranda LibrosMareaVerde.tk Revisores: Álvaro Valdés y Leticia González
32. Junio 01. Opción A. (2 puntos) Una fábrica produce tres modelos de coche: A, B y C. Cada uno de los modelos puede tener motor de gasolina o diesel. Sabemos que el 60 % de los modelos son de tipo A y el 30 % de tipo B. El 30 % de los coches fabricados tienen motor diesel, el 30 % de los coches del modelo A son de tipo diesel y el 20 % de los coches del modelo B tienen motor diesel. Se elige un coche al azar. Se piden las probabilidades de los siguientes sucesos: (a) El coche es del modelo C. (b) El coche es del modelo A , sabiendo que tiene motor diesel. (c) El coche tiene motor diesel, sabiendo que es del modelo C. 33. Junio 01. Opción B. (2 puntos) Tres máquinas A, B y C fabrican tornillos. En una hora, la máquina A fabrica 600 tornillos, la B 300 y la C 100. Las probabilidades de que las máquinas produzcan tornillos defectuosos son, respectivamente, de 0’01 para A , de 0’02 para B y de 0’03 para C. Al finalizar una hora se juntan todos los tornillos producidos y se elige uno al azar. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya fabricado la máquina A , sabiendo que no es defectuoso? 34. Septiembre 01. Opción A. (2 puntos) En un videoclub quedan 8 copias de la película A , 9 de la B y 5 de la C. Entran tres clientes consecutivamente y cada uno elige una copia al azar. Calcúlese la probabilidad de que: (a) Los tres escojan la misma película. (b) Dos escojan la película A y el otro la C. 35. Septiembre 01. Opción B. (2 puntos) Con el objetivo de recaudar fondos para un viaje, los alumnos de un instituto realizan una rifa con 500 números. Un alumno compra dos números. (a) Si sólo hay un premio, ¿qué probabilidad tiene el alumno de que le toque a él? (b) Si hay dos premios, ¿qué probabilidad tiene el alumno de que le toque al menos uno de ellos? 36. Curso 01/02. Modelo Opción A. (2 puntos) Un proveedor suministra lotes de materia prima y el 5 % de ellos resulta defectuoso. Seleccionando al azar 3 lotes (a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 sean defectuosos? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el máximo de lotes defectuosos sea 2? 37. Curso 01/02. Modelo Opción B. (2 puntos) Una prueba para determinar cierta contaminación en el agua presenta los siguientes resultados en probabilidad: 0’05 de falsos positivos, esto es, casos en los que estando el agua libre de contaminación, el test dice que el agua se encuentra contaminada. Si el agua está contaminada, el test lo detecta con probabilidad 0’99. El agua está libre de contaminación con probabilidad 0’99. Si se realizar una nueva prueba y el test indica que hay contaminación, calcular la probabilidad de que el agua esté libre de contaminación. 38. Junio02. Opción A. (2 puntos) Se tienen tres cajas iguales. La primera contiene 3 bolas blancas, 4 negras; la segunda contiene 5 bolas negras y, la tercera 4 blancas y 3 negras. a) Se elige una caja al azar y luego se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra? b) Si se extrae una bola negra de una de las cajas, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda caja? 39. Junio02. Opción B. (2 puntos) Se lanzan dos dados equilibrados de seis caras tres veces consecutivas: a) Calcular la probabilidad de que en los tres lanzamientos salga el seis doble. b) Calcular la probabilidad de que en los tres lanzamientos salga un doble distinto del seis doble. 40. Septiembre02. Opción A. (2 puntos) Una persona desea jugar en una atracción de feria, donde regala un peluche, si al tirar un dardo se acierta en un blanco. Si solo se permite tirar tres dados y la probabilidad de acertar en cada tirada es 0’3. a) ¿Cuál es la probabilidad de llevarse el peluche? b) ¿Cuál es la probabilidad de llevarse el peluche exactamente en el tercer lanzamiento? c) ¿Y de llevárselo exactamente en el segundo? 41. Septiembre02. Opción B. (2 puntos) Un día determinado, en una tienda de ropa joven, se han realizado 400 ventas pagadas con la tarjeta de crédito V y 350 ventas pagadas con la tarjeta MC. Las ventas restantes del día han sido abonadas en metálico. Se comprueba que 150 de las ventas pagadas con la tarjeta de crédito V superan los 150 euros, mientras que 300 de las compras pagadas con MC superan esa cantidad. Se extrae al azar un comprobante de las ventas del día pagadas con tarjeta de crédito. a) ¿Cuál es la probabilidad de que corresponda a una compra superior a 150 euros? b) Si la compra es inferior a 150 euros, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido pagada con la tarjeta MC?
2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 9: Probabilidad Autor: David Miranda LibrosMareaVerde.tk Revisores: Álvaro Valdés y Leticia González
52. Septiembre 04. Opción B (2 puntos) En una población, el 40 % son hombres y el 60 % mujeres. En esa poblaci6n el 80 % de los hombres y el 20 % de las mujeres son aficionados al fútbol. (a) Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar sea aficionada al fútbol. (b) Elegida al azar una persona resulta ser aficionada al fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? 53. Curso 04/05. Opción B (2 puntos) En un centro de enseñanza hay 240 estudiantes matriculados en 2º curso de Bachillerato. La siguiente tabla recoge su distribución por sexo y por opción que se cursa:
Si se elige un estudiante al azar de entre los que cursan 2º de Bachillerato en ese centro, calcular la probabilidad de que: (a) No curse la opción Científico-Tecnológica. (b) Si es chico, curse la opción de Humanidades y Ciencias Sociales.
54. Curso 04/05. Opción A (2 puntos) Un ajedrecista gana una partida con probabilidad 0’6, la empata con probabilidad 0’3 y la pierde con probabilidad 0’1. El jugador juega dos partidas. (a) Describir el espacio muestral y la probabilidad de cada uno de los resultados de este experimento aleatorio. (b) Calcular la probabilidad de que gane al menos una partida. 55. Junio 05. Opción A (2 puntos) Una caja con una docena de huevos contiene dos de ellos rotos. Se extraen al azar sin reemplazamiento (sin devolverlos después y de manera consecutiva) cuatro huevos. (a) Calcular la probabilidad de extraer los cuatro huevos en buen estado. (b) Calcular la probabilidad de extraer de entre los cuatro, exactamente un huevo roto. 56. Junio 05. Opción B (2 puntos) En un experimento aleatorio consistente en lanzar simultáneamente tres dados equilibrados de seis caras, se pide calcular la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: "Obtener tres uno”, "Obtener al menos un dos”, "Obtener tres números distintos" y "Obtener una suma de 4”. 57. Septiembre 05. Opción A (2 puntos) En un colectivo de inversores bursátiles, el 20 % realiza operaciones vÍa Internet. De los inversores que realizan operaciones vÍa Internet, un 80 % consulta InfoBolsaWeb. De los inversores bursátiles que no realizan operaciones vía Internet sólo un 20 % consulta InfoBolsaWeb. Se pide: (a) Obtener la probabilidad de que un inversor bursátil elegido al azar en este colectivo consulte InfoBolsaWeb. (b) Si se elige al azar un inversor bursátil de este colectivo y resulta que consulta InfoBolsaWeb, ¿cuál es la probabilidad de que realice operaciones por Internet? 58. Septiembre 05. Opción B (2 puntos)
Sean A y B dos sucesos, tales que Calcular:
(a) P ( B/A ). (b) Nota: representa el suceso complementario del suceso A.
59. Curso 05/06. Opción A (2 puntos) Se dispone de la siguiente información relativa a los sucesos A y B: P ( A ) = 0’ 6 P ( B ) = 0’ 2 P(A ∩ B) = 0’ 12. (a) Calcular las probabilidades de los sucesos( A U B ) y ( A /( A U B )). (b) ¿Son incompatibles? ¿Son independientes? 60. Curso 05/06. Opción B (2 puntos) Una urna contiene dos bolas. La urna se llenó tirando una moneda equilibrada al aire dos veces y poniendo una bola blanca por cada cara y una bola negra por cada cruz. Se extrae una bola de la urna y resulta ser blanca. Hallar la probabilidad de que la otra bola de la urna sea también blanca. 61. Junio 06. Opción A (2 puntos) Una persona cuida de su jardín pero es bastante distraída y se olvida de regarlo a veces. La probabilidad de que se olvide de regar el jardín es 2/3. El jardín no está en muy buenas condiciones, así que si se le riega tiene la misma probabilidad de progresar que de estropearse, pero la probabilidad de que progrese si no se le riega es de 0’25. Si el jardín se ha estropeado, ¿cuál es la probabilidad de que la persona olvidara regarlo?
P ( A )= PB = PA ∪ B =
P ( A / B ) A
Chicas Chicos Tecnológica 64 52 Humanidades y C. Sociales 74 50
2º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Capítulo 9: Probabilidad Autor: David Miranda LibrosMareaVerde.tk Revisores: Álvaro Valdés y Leticia González
62. Junio 06. Opción B (2 puntos) Se considera el experimento consistente en lanzar una moneda equilibrada y un dado equilibrado. Se pide: a) Describir el espacio muestral de este experimento. b) Determinar la probabilidad del suceso: Obtener una cara en la moneda y un número par en el dado. 63. Septiembre 06. Opción A (2 puntos) Los tigres de cierto país proceden de tres reservas: el 30 % de la primera, el 25 % de la segunda y el 45 % de la tercera. La proporción de tigres albinos de la primera reserva es 0’2 %, mientras que dicha proporción es 0’5 % en la segunda y 0’1 % en la tercera. ¿Cuál es la probabilidad de que un tigre de ese país sea albino? 64. Septiembre 06. Opción B (2 puntos) Una urna contiene 10 bolas blancas y 5 negras. Se extraen dos bolas al azar sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? 65. Junio 07. Opción A (2 puntos) Según cierto estudio, el 40 % de los hogares europeos tiene contratado el acceso a Internet, el 33 % tiene contratada la televisión por cable, y el 20 % disponen de ambos servicios. Se selecciona un hogar europeo al azar. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo tenga contratada la televisión por cable? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios? 66. Junio 07. Opción B (2 puntos) Los pianistas de Isla Sordina se forman en tres conservatorios, C1, C2 y C3, que forman al 40 %, 35 % y 25 % de los pianistas, respectivamente. Los porcentajes de pianistas virtuosos que producen estos conservatorios son del 5 %, 3 % y 4 %, respectivamente. Se selecciona un pianista al azar. (a) Calcular la probabilidad de que sea virtuoso. (b) El pianista resulta ser virtuoso. Calcular la probabilidad de que se haya formado en el primer conservatorio (C1). 67. Septiembre 07. Opción A (2 puntos) En el departamento de lácteos de un supermercado se encuentran mezclados y a la venta 100 yogures de la marca A, 60 de la marca B y 40 de la marca C. La probabilidad de que un yogur esté caducado es 0’01 para la marca A; 002 para la marca B y 0’03 para la marca C. Un comprador elige un yogur al azar. (a) Calcular la probabilidad de que el yogur esté caducado. (b) Sabiendo que el yogur elegido está caducado, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca B? 68. Junio 2008-Opción A, 2 puntos En un juego consistente en lanzar dos monedas indistinguibles y equilibradas y un dado de seis caras equilibrado, un jugador gana si obtiene dos caras y un número par en el dado, o bien exactamente una cara y un número mayor o igual que cinco en el dado. a) Calcúlese la probabilidad de que un jugador gane. b) Se sabe que una persona ha ganado. ¿Cuál es la probabilidad de que obtuviera dos caras al lanzar las monedas? 69. Junio 2008-Opción B, 2 puntos Se consideran dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, tales que: P(A) = 1/4, P(B) = 1/3, P(AUB) = 1/ a) ¿Son A y B sucesos independientes? Razónese.
b) Calcúlese P .Nota .- La notación representa al suceso complementario de A.
70. Septiembre 2008-Opción A, 2 puntos Se consideran dos actividades de ocio: A = ver televisión y B = visitar centros comerciales. En una ciudad, la probabilidad de que un adulto practique A es igual a 0’46; la probabilidad de que practique B es igual a 0’33 y la probabilidad de que practique A y B es igual a 0’15. a) Se selecciona al azar un adulto de dicha ciudad. ¿Cuál es la probabilidad de que no practique ninguna de las dos actividades anteriores? b) Se elige al azar un individuo de entre los que practican alguna de las dos actividades. ¿Cuál es la probabilidad de que practique las dos actividades? 71. Septiembre 2008-Opción B, 2 puntos Se supone que las señales que emite un determinado telégrafo son punto y raya y que el telégrafo envía un punto con probabilidad 3/7 y una raya con probabilidad 4/7. Los errores en la transmisión pueden hacer que cuando se envíe un punto se reciba una raya con probabilidad 1/4 y que cuando se envíe una raya se reciba un punto con probabilidad 1/3. a) Si se recibe una raya, ¿cuál es la probabilidad de que se hubiera enviado realmente una raya? b) Suponiendo que las señales se envían con independencia, ¿cuál es la probabilidad de que si se recibe punto-punto se hubiera enviado raya-raya?
( A^ / B^ ) A
