SA- LÍMITES Y CONTINUIDAD
1. LÍMITES
1.1. IDEA INICIAL DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO (cuando x → a)
Si una función f (x) no tiende a ningún número concreto, cuando x tiende a a, se dice
que no tiene límite cuando x tiende a a
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se explican indeterminaciones e asintotas
Tipo: Apuntes
2018/2019
Subido el 10/03/2026
usuario desconocido 🇪🇸
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SA- LÍMITES Y CONTINUIDAD
1. LÍMITES
1.1. IDEA INICIAL DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO (cuando x → a) Si una función f (x) no tiende a ningún número concreto, cuando x tiende a a , se dice que no tiene límite cuando x tiende a a
1.2. DEFINICIÓN DE LÍMITE EN UN PUNTO
1.3. LÍMITES LATERALES
En la definición de límite no se distingue entre las posibilidades de que x se aproxime a a con valores mayores o menores que a. No obstante, algunas veces conviene distinguir si x → a por la izquierda (siendo x < a), que se escribe x → a -^ , o si x → a por la derecha (siendo x > a), denotado por x → a+.
1.4. LÍMITES INFINITOS EN UN PUNTO: ASÍNTOTAS VERTICALES
Otro ejemplo:
ACTIVIDAD:
1.5. LÍMITES EN EL INFINITO: ASÍNTOTAS HORIZONTALES
SI TENEMOS OPERACIONES CON ±∞
+∞ + ∞ = +∞ +∞ ± 𝑘 = +∞ ∞ 𝑘 = ∞ 𝑘 +∞ (^) = +∞ si 𝑘 > −∞ − ∞ = −∞ −∞ ± 𝑘 = −∞ 𝑘 ∞ = 0 𝑘+∞^ = 0 𝑠 i 0 < 𝑘 < 1 (+∞) ∙ (+∞) = +∞ (+∞) ∙ (+ 𝑘) = +∞ (^) ∞+𝑘^ = ∞ 𝑘−∞^ = 0 si 𝑘 > (−∞) (^) ∙ (−∞) (^) = +∞ (+∞) (^) ∙ (− 𝑘) (^) = −∞ ∞−𝑘^ = 0 𝑘−∞^ = ∞ 𝑠 i 0 < 𝑘 < 1 (−∞) ∙ (+∞) = −∞ (−∞) ∙ (+ 𝑘) = −∞ (−∞) ∙ (−𝑘) = +∞ ∞ − ∞ = 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟. 0 ∙ ∞ = 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟. ∞ ∞ = 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟. 1 ∞ (^) = 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟. 2.2.1 CASO 𝒌 𝟎 En un cociente, si el denominador tiende a cero y el numerador tiende a k ≠ 0, el cociente tiende a infinito” En estos casos es conveniente estudiar los límites laterales en el punto, ya que con frecuencia se obtienen signos distintos para el infinito.
2.2.2. CASO
𝟎 𝟎 Aparece al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas o de funciones irracionales. Este caso puede resolverse factorizando los polinomios y simplificando la expresión inicial.
Ejercicio: Soluciones: 2.2.4. CASO ∞ − ∞
Ejercicio: Solución: 2.2. 5. CASO 𝟎 ∙ ∞ Como el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del denominador el resultado es ∞.
Ejercicio: Soluciones:
3. ASÍNTOTAS
3.1. ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES
ASÍNTOTAS VERTICALES
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
3.2. ASÍNTOTAS OBLÍCUAS
Una asíntota oblicua (y=mx + n) existe en una función racional cuando el grado del numerador es exactamente uno mayor que el grado del denominador. No existen si hay asíntota horizontal.
4. CONTINUIDAD
Ya hemos visto anteriormente que una función continua es aquella que no “da saltos”, es decir, se puede dibujar sin levantar el lápiz. La definición es la siguiente: Si una función tiene límite en un punto a y coincide con f(a), podemos asegurar que la función es continua es ese punto x=a.