Límites y Continuidad de Funciones, Apuntes de Matemáticas Aplicadas

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Universidad de Sonora

Departamento de Matemáticas.

Notas:

Límites y Continuidad

Dr. José Luis Díaz Gómez 2003

III. Límites y Continuidad de funciones

1. EL PROCESO DEL LÍMITE

Mediante gráficos y tablas de valores de las funciones se introduce el concepto de límite de una función en un punto. También se proporciona casos en los cuales el límite no existe. Ejemplo 1. Con la gráfica y una tabla de valores. ¿Qué le sucede a f(x) = x^2 + 3 cuando x se acerca a 3? Solución: La figura 1.1 corresponde a la gráfica de esta función. En ella podemos ver que entre más cerca se encuentren de 3 los valores de x , entonces los valores de f(x) se encuentran más cercanos a 12. La tabla 1.1 de valores refuerza esa percepción gráfica. Tabla 1. Hacia 3 por la izquierda 3 Hacia 3 por la derecha x 2,5 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1 3, f(x) 9,5 11,41 11,9401 11,994001 12,006001 12,0601 12,61 15, Hacia 12 por la izquierda 12 Hacia 12 por la derecha Podemos ver que a medida que tomamos valores de x más próximos a 3, tanto para valores mayores que tres como para valores menores que 3, los valores de f(x) se aproximan a 12. Ejemplo 2. Con la gráfica y una tabla de valores Si f(x) = , ¿a qué valor se aproxima f(x) si x se aproxima a 2? Solución: La figura 1.2 muestra la gráfica de la función. Podemos ver que, aún cuando la gráfica presenta una ruptura (hueco) en el punto (2, 4), las imágenes de valores de x muy cercanos a 2 son muy cercanas a 4. También una tabla de valores utilizando valores de x próximos a 2 tanto por la izquierda (menores que 2) como por la derecha (mayores que 2), nos convence de esa situación , ver la Tabla 1. Tabla 1. Hacia 2 por la izquierda 2 Hacia 2 por la derecha x 1,5 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2, f(x) 3,5 3,9 3,99 3,999 4,001 4,01 4,1 4, Hacia 4 por la izquierda 4 Hacia 4 por la derecha

crecen sin cota) y si vamos por el lado izquierdo los valores decrecen ilimitadamente (decrecen sin cota). Comentario sobre los ejemplos anteriores Estos cuatro ejemplos tienen cosas en común y cosas en las cuales difieren:  En primer lugar, tienen en común el hecho de que tenemos un valor dado de x (es decir un valor de x previamente fijado) digamos x = c y, luego, consideramos valores de x cada vez más próximos a c , tanto valores mayores que c (por la derecha) como valores menores que c (por la izquierda). Esta situación se expresa diciendo que x tiende a c y simbólicamente se indica por En el ejemplo 1, x tiende a 3; en el ejemplo 2, x tiende a 2; en los ejemplos 3 y 4, x tiende a 0.  En segundo lugar, en los ejemplos 1 y 2, a medida que nos aproximamos al valor dado de x , no importa si lo hacemos por la izquierda o por la derecha, los valores de f(x) se van aproximando a un valor fijo L. Decimos en este caso que f(x) tiende a L y escribimos La situación completa se expresa así: "El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L" Simbólicamente se escribe Se tiene entonces que 2 3 lim 3 12 x x 

2 2

lim 4 x 4 x  x

 En el ejemplo 3 tenemos una situación diferente. En este caso, cuando x tiende a 0 por la derecha entonces g(x) tiende a 1, pero cuando x tiende a 0 por la izquierda se tiene que g(x) tiende a -1. En estas circunstancias se dice que el límite de g(x) cuando x tiende a 0 no existe. Es decir no existe.  Finalmente, en el cuarto ejemplo tampoco existe el límite de f(x) cuando x tiende a 0, porque la tabla no presenta tendencia hacia ningún valor fijo sino que las imágenes crecen o decrecen sin límite a medida que aproximamos x a 0. Esto es:

no existe. De acuerdo con lo anterior damos la siguiente definición intuitiva de límite. Definición 2.1. El límite Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se acerca a c , ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L. Esto se escribe La situación anterior también se puede escribir como cuando Esto se puede ver gráficamente en la figuras 2.22 y 2.23. Ejemplo 6. Existencia de los límites La figura 2.24 representa una función y = f(x).

decir, no importa si f(c) existe o no existe, y si existiera no interesa quién sea; el límite no tiene que ver con f(c) sino con los valores de f(x) para x cercano a c.

2. CÁLCULO DE LÍMITES

En esta sección se establecen las propiedades de los límites y se dan algunas técnicas que permiten calcular muchos límites de funciones algebraicas, sin tener que recurrir ni a gráficas ni a tablas. Hasta aquí hemos calculado límites mediante la elaboración de una tabla o viendo gráficas de funciones. En las tablas hemos escrito valores de x suficientemente cercanos al valor x = c dado y hemos consignado las correspondientes imágenes obtenidas mediante el uso de una calculadora. A partir de estas imágenes hemos inferido el valor del límite o hemos determinado que no existe. Esto está bien para introducir el concepto y tratar de aclarar su significado. En algunas ocasiones esto nos permite también tener una idea bastante acertada del límite, sin embargo el uso de gráficas o de tablas para calcular límites no es todo lo eficiente que quisiéramos. Básicamente tenemos algunos problemas:  A veces no se conoce la gráfica de una función, o es muy difícil de trazar.  Para algunas funciones en general es muy engorrosa la elaboración de la tabla utilizando únicamente una sencilla calculadora.  No siempre el valor que uno puede inferir de la tabla es el correcto. Como sucede muy a menudo en matemáticas, se puede tomar atajos que nos permiten efectuar cálculos más rápidos y, a la vez, con la certeza de la validez de los resultados obtenidos. En el caso de los límites esto se logra con el uso adecuado de algunos teoremas que daremos a continuación como propiedades de los límites. Primeramente, comentaremos dos límites especiales.

Dos límites especiales

El límite de una función constante De la gráfica 2.25 podemos ver que para cualquier valor de c tenemos que k = k Ejemplo 7. a. 2 = 2 b. 2 1/2^ = 21/ c. 3,5 = 3, El límite de la función identidad De la gráfica 2.26 podemos observar que para cualquier valor x = c se tiene que

Aplicaciones de las propiedades de los límites Ejemplo 9. a. ( x + 15 ) = x + 15 = 3 + 15 = 18 b. ( x - 15 ) = x - 15 = 3 - 15 = - c. 4x = 4 · x = 4 · 5 = 20 d. e. x^3 = [ x]^3 = 2^3 = 8 f. x1/2= [ x]1/2= 41/2^ = 2 Ejemplo 10. Calcular (x^2 + 2x + 3). Solución : Tenemos (x^2 + 2x + 3) = x^2 + 2x + 3 = [ x ]^2 + 2 · x + 3 = 2^2 +2 · 2 + 3 = 4 + 4 + 3 = 11 Ejemplo 11. Ejemplo 12.

Si usted observa detenidamente estos últimos cuatro ejemplos se dará cuenta que basta evaluar la función en el valor hacia el que tiende x. Esto es cierto en muchos casos, como sucede en los siguientes: Ejemplo 13. Pero la evaluación directa no siempre funciona. Consideremos nuevamente Si intentamos evaluar en 2 obtenemos y esta es una expresión indefinida. Límites determinados e indeterminados Decimos que el límite es determinado si al evaluar la función en el valor hacia el que x tiende se obtiene el valor del límite. En caso contrario se dice que es indeterminado. Existen varias formas indeterminadas; la que acabamos de ver se llama la forma indeterminada 0/0. Cuando al intentar calcular un límite se obtiene una forma indeterminada debemos echar mano de otros aspectos de la función para encontrar el límite propuesto. Volvamos a Lo que sucede aquí es que ( x - 2 ) = 0

tal como lo indicaba la tabla. Cálculo de límites: métodos A partir del ejemplo anterior vemos que con el objeto de realizar estas transformaciones se utiliza los conocimientos del álgebra básica tales como operaciones con fracciones racionales, factorización de polinomios, racionalización y simplificación de expresiones algebraicas en general. A continuación se presenta varios ejemplos que ilustran estos procedimientos. En todos los casos se trata de límites indeterminados de la forma 0/0. Cuando esté calculando límites haga siempre en primer lugar la evaluación porque si el límite no es indeterminado no es necesario realizar las transformaciones por más "extraña" que sea la función. Primer método: factorizar y simplificar Ejemplo 14. Ejemplo 15.

Ejemplo 16. Segundo método: racionalizar y simplificar Ejemplo 17. Calcular. Solución: En los casos anteriores utilizamos factorización y simplificación para obtener una nueva función. Aquí lo más conveniente es racionalizar el denominador; para ello multiplicamos tanto el numerador como el denominador de la fracción por $\sqrt{x} +2$. Ejemplo 18. Ejemplo 19. Calcular Solución: Aquí racionalizamos el denominador:

Ejemplo 23. Calcular Solución: Transformamos la función utilizando las operaciones con expresiones algebraicas. Ejemplo 24. Calcular Solución: Observe que en este caso aparecen dos variables: x y h. Para efectos del cálculo del límite es h la que hacemos variar hacia 0 (pues dice h tiende a 0 ), la x se trata como si fuera constante. Tenemos entonces:

3. LOS LÍMITES LATERALES

En el Capítulo 1 estudiamos En esa ocasión, mediante una tabla vimos que el límite no existe, pues si tomamos valores de x cada vez más próximos a 0 pero mayores que 0 se obtiene como resultado 1, mientras que si lo hacemos por la izquierda se obtiene como resultado -1. Sin embargo, podemos hablar de una manera más restringida de límite por la izquierda y límite por la derecha. En el caso que nos ocupa decimos que el límite por la derecha es 1 y que el límite por la izquierda es -1. Definición 3.1. Límites laterales Decimos que el límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a c es L , si a medida que tomamos valores de x , cada vez más próximos a c , pero mayores que c , entonces f(x) se aproxima a L. Simbólicamente Decimos que el límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a c es M , si a medida que tomamos valores de x , cada vez más próximos a c , pero menores que c , entonces f(x) se aproxima a M. Simbólicamente Funciones definidas "por partes" Ejemplo 1. Considere una función definida "por partes" como sigue:

Concluimos que no existe. Ejemplo 3. Dada la función Determinar si existe el. Solución: Tenemos , Concluimos que.

4. CONTINUIDAD

Al final de la Sección 2.2 , se hicieron algunas observaciones sobre las posibles relaciones entre la existencia de y el valor f(c). Retomemos esas observaciones y veamos su significado gráfico.

1. En esta gráfica se tiene que: o sí existe o f(c) no existe
2. En estas gráficas se tiene que: o no existe o f(c) sí existe
3. En esta gráfica se tiene que: o sí existe o f(c) sí existe, pero

o

4. En esta gráfica se tiene que: o sí existe o f(c) sí existe y además o Un vistazo a las figuras anteriores nos permite darnos cuenta que, salvo en la última, en todas las demás la gráfica de la función presenta algún tipo de ruptura de la curva sobre el valor de x=c. En otras palabras solamente la gráfica del último caso podría ser dibujada "sin levantar el lápiz del papel". Esta última es la que intuitivamente llamaríamos una función continua. Precisamente la definición de continuidad está basada en la situación que se presenta en este último caso. Definición 3.2. Continuidad Suponga que f es una función que está definida en algún intervalo abierto que contenga a c. Decimos que la función f es continua en x=c si se tienen las siguientes condiciones:
5. Existe f(c) , esto es: c está en el dominio de f.
6. También existe.
7. Además. Si f no es continua en c se dice que es discontinua en c. Ejemplo 4. Discusión sobre la continuidad de algunas funciones
8. Si tenemos una función constante f(x)=k , sabemos que para cualquier c se tiene = k y además f(c)=k. Esto nos dice que es un función continua.
9. La función identidad f(x)=x también es continua pues f(c)=c y.
10. La función es a. discontinua en 1 porque f (1) no existe, pero b. continua en todos los demás puntos. Por ejemplo f (2)=3 y