¡Descarga Límits: Cálculo de Límites Infinitos y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Límits
1 / 29
Límits
Calculau, si existeixen, els límits següents:
nlim→∞^2 n^ −^3 n^ =^ nlim→∞^3 n
( 2 n 3 n^
= (^) nlim→∞ 3 n
)n − 1
n^ lim→∞^2 n^ + (−^3 )n^ =^ nlim→∞(−^3 )n
( (^2) n (− 3 )n^
= (^) nlim→∞(− 3 )n
)n − 1
no existeix
2 / 29
Límits
Calculau, si existeixen, els límits següents:
nlim→∞
2 n^ + 1 (− 3 )n^ + 2 = (^) nlim→∞
2 n( 1 + (^21) n ) (− 3 )n( 1 + (^) (−^23 )n ) = (^) nlim→∞ 2 n (− 3 )n^
1 + (^12 )n 1 + (−^23 )n
= (^) nlim→∞
)n ·
1 + (^12 )n 1 + (−^23 )n^
Límits
Calculau, si existeixen, els límits següents:
nlim→∞
2 n^ + 1 n^2 + 2 = (^) nlim→∞
2 n( 1 + (^21) n ) n^2 ( 1 + (^) n^22 ) = (^) nlim→∞ 2 n n^2
1 + (^12 )n 1 + 2 n−^2
= (^) nlim→∞ 2 n n^2
= (^) nlim→∞ 2 n n^2
Quocients
Un límit
que podem resoldre.
Teorema
Si q > 1 , aleshores, per a tot r ∈ R,
n^ lim→∞
qn nr^ = ∞, (^) nlim→∞ nr qn^
Per exemple,
nlim→∞
2 n n^2 = ∞, (^) nlim→∞ n^2 2 n^
5 / 29
Exemples
- (^) nlim→∞ 3 n 2 nn^10000 = (^) nlim→∞ ( 3 / 2 )n n^10000
- (^) nlim→∞ 2 n 3 nn^10000 = (^) nlim→∞ ( 2 / 3 )n n^10000
(^1000). 5 n (^) = lim n→∞n
100
)n = (^) nlim→∞ n^100 2 n^
6 / 29
Exemples
n^ lim→∞
2 n^ + 1 n^2 + 2 = (^) nlim→∞ 2 n( 1 + (^21) n ) n^2 ( 1 + (^) n^22 )
= (^) nlim→∞ 2 n n^2
1 + (^12 )n 1 + 2 n−^2
Exemples
n^1.^2 3 n
- 4 n 3 n^2
- 6 n n^2
- (^) nlim→∞ 109 n^40. 9 n^ + 3
Dominació
Teorema
(4) Si r > 0 , nr^ domina a loga(n) n^2 domina a loga(n)
(5) Si |q| > |p|, qn^ domina a nr^ pn^ loga(n) per a qualsevol r 2 n^ domina a n^21. 5 n^ loga(n)
(6) En canvi, loga(n) domina a nr^ si r < 0 , i a qn, si |q| < 1 (és a dir, quan tendeixen a 0)
10 / 29
Dominació
Si (xn)n domina a (yn)n, aleshores, per a tots a, b ∈ R − { 0 }, (a · xn)n domina a (b · yn)n
n^ lim→∞
1022 · n^203 n
- 001 · 4 n^
· (^) nlim→∞ n^203 n 4 n^
11 / 29
Exemples
- (^) ( 3 n)n domina a (n^2 )n
- (^) ( 3 n)n domina a ( 2 n)n
- ( 0. 3 n)n domina a ( 0. 2 n)n
- ( 3 n)n domina a (n^22 n)n
- (^) (n^1.^5 )n domina a (n^1.^4 )n
- (n−^3 )n domina a ( 0. 5 n)n
- ( 3 n)n domina (
n · log(n))n
- (^) De (n^2 )n i ((n + 1 )^2 )n, cap no domina a l’altra
Exemples
Qui domina?
- (^) ( 1. 05 n)n o (n^2011 )n
- ( 1. 05 n)n o ( 1. 5 n)n
- ( 0. 3 n)n o (n^0.^5 )n
- ( 0. 3 n)n o (n−^2 )n
- (^) (n−^2 )n o (n−^3 )n
- (^) ( 5 )n o (n−^2 )n
- (^) ( 3 n)n o ( 2 n^ ln(n))n
Dominació
Teorema
Si (xn)n domina a (yn)n i si (zn)n és fitada, aleshores (xn)n domina a (yn · zn)n.
( 3 n)n domina a ( 2 nn^5 sin(π n ))n
14 / 29
Sumes, un altre cop
Teorema
Siguin (x n(^1 ))n, (x n(^2 ))n,... , (x n(p ))n unes successions. Si n’hi ha una, diguem (x n(k ))n, que domina a les altres, aleshores
n^ lim→∞x^ n(^1 )+^ x^ n(^2 )+^ · · ·^ +^ x^ n(p^ )=^ nlim→∞x^ n(k) (o totes dues tenen límit i és el mateix, o totes dues són divergents).
15 / 29
Sumes, un altre cop
L’observació clau és que
x n(^1 )+ x n(^2 )+ · · · + x n(k )+ · · · + x n(p)
= x n(k)
x n(^1 ) x n(k)
x n(^2 ) x n(k)
x n(k) x n(k)
x n(p) x n(k)
= x n(k)
x n(^1 ) x n(k)
x n(^2 ) x n(k)
x n(p) x n(k)
i que les fraccions dins del parèntesi de la dreta tendeixen a 0 perquè (x n(k ))n domina a totes les altres successions.
Sumes, un altre cop
Llavors, si x n(k )−→ n→∞ b ∈ R ∪ {∞, −∞},
nlim→∞x^ n(^1 )+^ x^ n(^2 )+^ · · ·^ +^ x^ n(k^ )+^ · · ·^ +^ x^ n(p) = (^) nlim→∞x n(k)
x n(^1 ) x n(k)
x n(^2 ) x n(k)
x n(p) x n(k)
= b( 0 + 0 + · · · + 1 + · · · + 0 ) = b.
Exemples
5 · 2 n^ − 7 · 3 n 9 · 2 n+^1 + 5 · 3 n+^1
= (^) nlim→∞ 5 · 2 n^ − 7 · 3 n 9 · 2 · 2 n^ + 5 · 3 · 3 n
= (^) nlim→∞ 5 · 2 n^ − 7 · 3 n 18 · 2 n^ + 15 · 3 n
= lim n→∞
− 7 · 3 n 15 · 3 n^
= lim n→∞
22 / 29
Exemples
- (^) nlim→∞ n^3 + 2 n^2 + 5 100 n^2 + 7 n
- (^) lim n→∞
3 · 1. 3 n^ + 10 n^2
- 3 n^ + 2 n^100
- (^) nlim→∞ 2 · 3. 3 n^ + 10 · 1. 4 n 4. 3 n^ − 2 · 3. 3 n
- (^) lim n→∞
2 · (− 4 )n+^1 + 10 · 1. 4 n+^1 5 · (− 4 )n^ − 2 · 1. 4 n
23 / 29
Fites
Pregunta
Considerem la successió (xn)n amb xn = 2 n^ − n. Quin és el primer n 0 tal que xn > 106?
2 n^ domina a −n, així que, amb sort, l’efecte de −n esdevé menyspreable.
Plantejam la desigualtat 2n^ > 106 , aïllam la n, i miram si el menor n que trobem amb aquesta propietat també és el que cercam.
(2n^ − n < 2 n, i per tant 2n^ > 106 no implica automàticament que 2n^ − n > 106 .)
Fites
Pregunta
Considerem la successió (xn)n amb xn = 2 n^ − n. Quin és el primer n 0 tal que xn > 106?
2 n^ > 106 ⇒ n log( 2 ) > log( 106 ) = 6 ⇒ n >
log( 2 )
El primer n tal que 2n^ > 106 és 20. Ara:
xk = 2 k^ − k < 2 k^ < 106 si k < 20 x 20 = 220 − 20 = 1048556 > 106
Per tant, n 0 = 20
Fites
Pregunta
Considerem la successió (xn)n amb xn = 2 n^ − n. Quin és el primer n 0 a partir del qual xn > 106? Després de n = 20 podria tornar a baixar. Per tant, ens cal conèixer el creixement i decreixement de la successió: necessitarem derivades.
26 / 29
Exercici
Calculau, si existeixen, els límits següents: (1) (^) nlim→∞ 3 · 1. 8 n^ + 5 (− 1. 5 )n (2) (^) nlim→∞ 3 · (− 1. 8 )n^ − 5 (− 1. 5 )n
(3) (^) nlim→∞
- 8 n n 1. 7 n (4) (^) nlim→∞ 2 · (− 2 )n^ + 5 · 2. 5 n − 1. 8 (− 2 )n^ + 3 · 2. 5 n (5) (^) nlim→∞ 5 · 2 n^ + 3 · (− 2 )n (6) (^) nlim→∞ 5 · 3 n^ − 3 n+^1
(7) (^) nlim→∞^5 ·^1.^8
n (^) − 0. 7 · 1. 6 n 6 · 1. 8 n+^1 − 2. 3 · 1. 6 n+^1 (8) (^) nlim→∞^ −^3 ·^0.^6
n (^) − 6 · (− 0. 7 )n
- 5 · 0. 5 n^ − 0. 3 · 0. 2 n^ 27 / 29
Exercici
(9) (^) nlim→∞^3 ·^ (−^2.^8 )
n (^) + 15 · 3 n − 6 · 3 n^ + 7 · 3. 5 n
(10) (^) nlim→∞ 3 (n + 1 ) 5 n+^1 8 n 5 n
(11) (^) nlim→∞^5 n
(^2) + 3 n + 8 6 (n + 1 )^2 + 4 n − 5
(12) (^) nlim→∞ − 2 · (− 1. 5 )n^ + 15 (n + 1 )^2 6 · (− 1. 2 )n^ + 1. 1 n
(13) (^) nlim→∞^ n^3
n (^) − 5 n 2 2 n 3 n−^1 + 8 n^3
(14) (^) nlim→∞^5 (−^1.^4 )
n (^) + 1 4 (− 1. 6 )n^ − 5
(15) (^) nlim→∞^0.^2
n (^) − 5 · 0. 3 n (− 0. 5 )n^ − 6 · 0. 4 n
Exercici
(16) (^) nlim→∞ 4 n n^2 −^3
n√n
(17) (^) nlim→∞ 3 n^2 − 5 · 2 n^ + 7 · (− 3 )n
(18) (^) nlim→∞ 3 n^2 (− 2 )n^ + 5 n 3 n^ sin(n^2 π) − 7 · 4 n
(19) (^) nlim→∞^ n^3
n (^) − 5 n 2 2 n(− 2 )n^ + 8 n^3
(20) (^) nlim→∞^5 (−^1.^6 )
n (^) + 1 4 (− 1. 4 )n^ − 5 n^3
(21) (^) nlim→∞
- 2 n^ − 5 · 0. 3 n (− 0. 5 )n^ − 6 · 0. 4 n (22) (^) nlim→∞ 4 n 3 n^ − 8 (− 3 )n
(23) (^) nlim→∞ 4 · 3 n^ − 8 (− 3 )n
