Operaciones con Infinitos: Límites y Indeterminadas, Ejercicios de Matemáticas

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OPERACIONES CON INFINITO Sumas con infinito

Infinito más un número Infinito más infinito

Infinito menos infinito Productos con infinito

Infinito por un número Infinito por infinito

Infinito por cero Cocientes con infinito y cero

Cero partido por un número

Un número partido por cero

Un número partido por infinito

Infinito partido por un número

Cero partido por infinito

Infinito partido por cero

Cero partido por cero

Infinito partido por infinito

POTENCIAS CON INFINITO Y CERO

Un número elevado a cero

Cero elevado a cero

Infinito elevado a cero

Cero elevado a un número

Un número elevado a infinito

Cero elevado a infinito

Infinito elevado a infinito

Uno elevado a infinito No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber: La regla de los signos y que a- n^ = 1/a n

Límite de la inversa de un polinomio en el infinito Si P(x) es un polinomio, entonces:

.

CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO X -∞

No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.

INDETERMINACIONES Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones. Tipos de indeterminación

1. Infinito partido por infinito
2. Infinito menos infinito
3. Cero partido por cero
4. Cero por infinito
5. Cero elevado a cero
6. Infinito elevado a cero
7. Uno elevado a infinito

INDETERMINACIÓN INFINITO PARTIDO INFINITO Podemos resolver esta indeterminación por dos métodos:

1. Por comparación de infinitos.

El numerador tiene mayor grado que el denominador.

El denominador tiene mayor grado que el numerador.

Al tener el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de mayor grado.

2. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Resolver el límite:

Solución:

2.- Resolver el límite Solución: La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el límite, ya que este límite nos conduce a la indeterminación del tipo cero sobre cero. Para su solución existen dos métodos: 1 er^ Método Por lo que aplicando la factorización:

2 odo^ Método: Un segundo método, que requiere del conocimiento de uso de fórmulas de derivación, para solucionar este tipo de problemas es la famosa ley de L´Hospital. Para los estudiantes que abordan por segunda vez el tema de límites les será de mayor utilidad, sin embargo, para los estudiantes que lo abordan por primera vez se les sugiere retomar el tema una vez que se hayan cubierto los ejercicios de derivadas. (Video 17MB ) Mediante la regla de L´Hospital Derivamos tanto el numerador como el denominador, antes de evaluar el límite, obteniendo:

aplicando el limite a esta última expresión obtenemos:

3 .- Resolver el siguiente límite: Solución : Como el limite queda indeterminado debido a la división:

Entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador como en el denominador en este caso entre x^7 :

4. Solucionar el siguiente límite: Solución: Dividiendo entre x^3 por ser variable de mayor potencia tendríamos:

5- Encontrar el

Solución:

6.- Encontrar la solución del siguiente limite

Solución: La solución, como podemos analizar, no es tan inmediata ya que nos conduce a la indeterminación de la forma cero entre cero. Al igual que el ejercicio 2 podemos llegar al resultado mediante dos caminos diferentes:

por lo tanto

2 odo^ Método Mediante regla de L´Hospital

como esta fracción aun mantiene la indeterminación entonces se deriva nuevamente:

por tanto:

9. Halla los siguientes límites

a) limけ→⦘ 䙴

⡱け² け⡸⡩ ㎘^

け² け²⡸⡩䙵^ b)^ limけ→⦘

⡰け⡹⡱ 㒓⡱け²⡸⡩

10. Halla los siguientes límites

a) limけ→⦘ 䙴㒓3ᡶ² ㎘ 1 ㎘ 2ᡶ䙵 b) limけ→⦘

ㄙ㒓⡰けㄡ⡹⡩ √けㄠ⡸⡰

11.- Encontrar la solución de la siguiente expresión:

Solución:

Multiplicando por Tenemos: