lineas metodos numericos, Diapositivas de Métodos Computacionales

¡Descarga lineas metodos numericos y más Diapositivas en PDF de Métodos Computacionales solo en Docsity!

Métodos

Numéricos

Luis Carlos Torres Soler

Departamento de Ingeniería de Sistemas e Industrial

Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional de Colombia

Presentación

No es el objeto de las presentes notas escribir un texto de Análisis Numérico o Métodos

Numéricos dado que existe en el mercado muchos libros buenos sobre este tema y sus

aplicaciones; el objeto ha sido el de preparar un resumen para los estudiantes y, no creo que

pueda alcanzar mayor trascendencia que dichos textos. Sin embargo, es necesario preparar

cada clase que se dicta con el fin de no caer en el concepto de ser un docente que se sabe un

texto de memoria.

Cada uno de los estudiantes a través de preguntas, tareas o comentarios enriquecen día a día

estas notas. Es por esto, que poco a poco se mejoran, hasta el punto de ser fuente primaria de

los estudiantes.

Se han adaptado estas notas como base para un curso semestral de Métodos Numéricos de

cualquier carrera de Ingeniería. A las notas, les falta mucho de teoría, de ejemplos, de

conceptos, etc., y aun se entiende que tienen significativos errores que las hace ser basura

para algunos, mientras que para otros es algo muy útil.

No se puede desfallecer en un intento, las notas poco a poco seguirán mejorándose, los

errores se irán corrigiendo, los conceptos se irán complementando, al igual que los ejemplos

serán cada vez mejores. Es la intención, como trabajo académico continuado.

Contenido

• Introducción Pag.
• Teoría de errores
• Series de Taylor
• Solución de ecuaciones
• Cálculo de raíces
• Diferenciación
• Integración
• Ecuaciones diferenciales
• Bibliografía

Teoría de errores

En cada cálculo que se realice, generalmente, se introducen errores que afectan

sustancialmente los resultados y por ende los procesos pertinentes. Los errores son de

diferente índole y provienen de diversas fuentes y por distintos métodos. Un estudio

somero de los errores es conveniente para buscar minimizar la incidencia negativa de ellos.

Ejemplo. 1 = 1/3+1/3+1/3 = .333333+.333333+.333333 =.

Es decir 1 = .999999 ¿Qué error tan grande?

Los cálculos hechos en computador o calculadora llevan a aproximaciones en ellos y, por

tanto, en los resultados, además, como existen representaciones de cantidades con un

número infinito de dígitos no periódicos, en general sólo se toman unos pocos.

Ejemplo.

π =3.14159265 4...≈ 3.

e =2.71828182 8...≈ 2.

Desde luego, se están cometiendo mínimos errores por haber tomado un mayor número

significativo de dígitos, por tanto las operaciones que se realicen con ellos van a ser

aproximadas.

Representación del error

Los errores que se presentan al operacionalizar datos pueden ser:

• Error absoluto = valor verdadero - valor aproximado

x = valor verdadero => e x

= x - x

• Error relativo = error absoluto / valor aproximado; e = e x

/x

Métodos Numéricos

Universidad Nacional de Colombia

2. Errores de truncamiento. Cuando una función f(x) es representada por una serie

infinita, se eliminan términos de la serie.

sen(x) =x - x

3

/3! + x

5

/5! - x

7

/7! + ....

3. Errores de redondeo. Ocurren al representar una cifra por un número finito de

dígitos decimales, es decir, se debe a la eliminación de cifras para tener una

aproximación.

a. Simétrico

Ejemplo: 1.3674 ~ 1.367, 34.2109 ~ 34.

b. Truncamiento

Ejemplo: 1.3674 ~ 1.367, 34.2109 ~ 34.

Los efectos en los resultados usualmente son (pero no siempre) controlados al

adicionar un dígito.

4. Errores acumulados. Ocurren cuando ciertos procedimientos están basados en la

repetición de una secuencia de operaciones. Se obtiene Y n+

a partir de Y n

La importancia del error acumulado depende de su rata de acumulación. Si la rata

de acumulación decrece haciendo que el error sea acotado, la secuencia de

operaciones se dice que es estable. Es inestable si la rata se incrementa.

5. Error estimado. Se presume de un error al desarrollar operaciones.

Normalización

La normalización decimal es la escritura de un número en notación científica, cualquier

cantidad se escribe como:

x = ± Fx * 10

n

± es el signo, Fx se llama mantisa y n exponente.

Ejemplo. Normalizar a 5 dígitos los siguientes números

27,493 --> .27493 * 10

2

0,0032941 --> .32941 * 10

1,82 --> .18200 * 10

,9341 --> .93410 * 10

0

La mantisa siempre es menor de 1, es decir, 0 <= Fx < 1

x = 133,485947 ¿Qué se hace?

x = 0,133485967 * 10

3

no esta normalizado

x = 0,13348 * 10

3

• 0,000005967 * 10

3

El número de ceros en el segundo operando es igual al número de dígitos de la mantisa.

x = 0,13348 * 10

3

• 0,5967 * 10

Métodos Numéricos

Lu is Ca rlo s Torres Soler

x = ± Fx*

c

• Gx*

c-t

, t = número de cifras significativas en Fx.

¿Qué se hace con Gx?

Eliminando Gx, ¿qué le sucede a x, en general?

Si hay que aproximar, ¿cuál es el valor aproximado de Fx?, ¿cuál el error que se introduce?

58,039 - 17,4 = 40,6 incierto

58,039 - 17,400 = 40,

Redondeo simétrico

│1. |Fx| - 10

c

si |Gx| < 0,

|x

| = │

│2. |Fx| - 10

c

• 1- 10

c-t

si |Gx| >= 0,

El signo de x

es el mismo de Fx

1. x = ± Fx * 10

c

• Gx * 10

c-t

|e

x

| = |Gx| * 10

c-t

|e

x

|

max

= |Gx|

max

• 10

c-t

¸ 0,5 * 10

c-t

2. x

= Fx * 10

c

• 1 * 10

c-t

|e

x

| = |Gx-1| * 10

c-t

= 1 - Gx * 10

c-t

|e

x

|

max

= |1-Gx|

max

• 10

c-t

¸ 0,5 * 10

c-t

En conclusión, el error máximo del error absoluto es:

|e

x

|

max

= 0,5 * 10

-t

x= 25,329 t=

x= 0,25327 * 10

2

c=

| e x

/ x

|

max

= | e

x max

| / | x

max

| = |0,5*

c-t

/0,1*

c

| =

5*

-t

x

min

= |Fx*

c

|

min

= 0,1, luego Fx

min

= 0,

Lo único que hace máximo el error relativo es t.

El error relativo máximo en redondeo simétrico depende solamente del número de cifras

significativas en Fx, con las que se trabaje.

Series de Taylor

Sea f(x) una función continua

1

y con derivadas de todo orden en x=x

0

, entonces f(x) puede

ser representada por una serie de potencias en el punto x=x 0

, como:

x

(x- c

x

(x-

c

x

(x-

c

x

(x-

c

c

f(x) =

0

j

j

j=

n

n 0

2

0 1 0 2 0 ∑

∞

Las derivadas de f(x) se obtienen al diferenciar la serie término a término

x

(x- nc

x

(x- c

x

(x- c

c

f (x)=

n- 1

n 0

2

1 2 0 3 0

(1)

x

(x- c

)+...+n(n-1) x

(x- c

x

(x- c

c

f (x)= 2

n- 2

n 0

2

2 3 0 4 0

(2)

......

x

(x- c

(m+ 2)!

(x-x )+ c

+(m+1)! C

f (x)=m!

2

m m+ 1 m+ 2 0

(m)

0

x

(x-

c

(n-m)!

n(n-1)(n-2)...(n-m+1)

n-m

n 0

Es decir:

x

(x-

c

(i-m)!

i(i-1)(i-2)...(i-m+1)

(x)= f

i-m

i 0

i=m

(m)

∑

∞

Al reemplazar x = x 0

en ambos lados de la serie, se tiene:

f(x 0

) = c 0

o c 0

= f(x 0

)

f

(1)

(x 0

) = c 1

o c 1

= f

(1)

(x 0

)

f

(2)

(x

0

) = 2c

2

o c

2

= f

(2)

(x

0

)/

f

(3)

(x

0

) = 3!c

3

o c

3

= f

(3)

(x

0

)/3!

..............

f

(m)

(x 0

) = m!c m

o c m

= f

(m)

(x 0

) / m!

Lo cual significa que:

x

)(x- x

f (

x

)(x- x

f (

x

)(x- x

)+f ( x

f(x)= f(

3

0 0

3

2

0 0

2

0 0

1

0

Es decir:

1

Una función f definida en un conjunto X de R, y x

0

en X, entonces f es continua en x

0

si lim

x->x

f(x)=f(x ), f es continua en el conjunto X si lo es en cada punto de X.

Métodos Numéricos

Universidad Nacional de Colombia

• ...

5!

(.01 )

24

(.01 )

6

(.01 )

2

(.01 )

f(.01) = 1 +.01+

2 3 4 5

Al tener:

m

R

m

m

Si m = 3, Rm = .0000001666. Si m = 2, Rm = .00005. Sólo se tiene que calcular hasta la

potencia 2.

= 1 +.01+.00005 = 1.

2

(.01 )

f(.01) = 1 +.01+

2

El algoritmo

2

general en el desarrollo de las series de Taylor sería:

AlgST( )

Lea x, x 0

, error, maxiter

n = 1, suma = 0

determine R

n

MQ n< maxiter o R

n

error

calcular R n

suma = suma+R n

n = n + 1

FMQ

FAlgST( )

La precisión que puede emplearse utilizando el computador o la capacidad de éste

determinará si la salida es el cálculo de la función o un mensaje de fracaso.

En la serie de Taylor al hacer x 0

=0, se tiene:. x

j!

f (0)

f(x) =

j

(j)

j=

∑

∞

y se llama Serie de Maclaurin

Dada una función f(x), continua con derivada de todos los ordenes, en un punto x=x 0

, se

evalúa en un punto cercano x 0

, empleando la serie de Taylor, siempre y cuando la serie sea

convergente en x=x 0

Proposición. Dada una serie ∑ S k

, con Þ=|S

k+

/ S

k

|, la serie ∑ S

k

es convergente si Þ<

(criterio del cociente)

2

Los algoritmos se describen por medio de un seudocódigo. Las instrucciones de los algoritmos

siguen las reglas de la construcción de programas estructurados, y se escriben de tal forma que

reduzcan al mínimo la dificultad de traducirlo a un lenguaje de programación. MQ significará

"mientras que", teniendo como final FMQ. HQ significará, "hasta que", con final FHQ. La

instrucción condicional IF-THEN-ELSE, está determinada por condición? SI xx NO yy.

Métodos Numéricos

Lu is Ca rlo s Torres Soler

Teorema 1. Una serie es absolutamente convergente, si converge la serie formada con los

valores absolutos de sus términos.

Teorema 2. Una serie alterna es convergente si cumple:

a. La serie es estrictamente alterna

b. El termino n-ésimo tiende a 0, cuando n tiende a inf

c. Cada termino es en valor absoluto menor que el termino anterior: |S

k+

| < |S

k

|

Teorema 3. Dada una serie de potencias, definida como ∑ a n

x

n

a. Si la serie converge para x = c, entonces la serie converge para todo x < |c|

b. Si la serie diverge para x > d, entonces la serie diverge para todo x > |d|.

Frecuentemente la serie de Taylor se simplifica definiendo x = x 0

• x 1

; permitiendo escribir

la serie como:

j

j!

(x ) f

+x )=

x

f( x

0

(j)

j=

0

1 ∑

∞

Si en esta formula se hace x 0

= x i

y x 1

=kh, se tiene:

(kh

j!

(x ) f

+kh)=

x

f(

j i

(j)

j= 0

i ∑

∞

Si k = 1 se tiene: h

n!

x

f

h

x

f

)h+ x

)+f ( x

+h)= f( x

f(

i n

(n)

i 2

(2)

i

(1)

i i

(1)

Similarmente, si k = -1:

h

n!

x

f (

h

x

f (

)h+ x

)-f ( x

• h)= f( x

f(

i n

(n)

n i 2

(2)

i

(1)

i i

(2)

Al considerar la notación f(x i

) = f i

, x i

• h = x i+

, podemos escribir (1) como:

f

n!

h

f +...+

h

f = f +hf +

i

(n)

n

i

(2)

2

(1)

i+ 1 i i

En general, si x i+k

= x i

• kh, f(x i + kh

) = f i+k

(kh) +

n!

f

(kh)+...+

f

+kh)= f +f (kh)+

x

f = f(

n

i

(n)

2

i

(2)

i

(1)

i

i

i+k

Variando en incrementos de +h, -h, +2h, -2h; se tiene:

f

n!

h

f +...+

h

f = f +hf +

i

(n)

n

i

(2)

2

i

(1)

i+ 1 i

f

n!

(-h)

f -...+

h

f = f -hf +

i

(n)

n

i

(2)

2

i

(1)

i- 1 i