Introduccion a métodos numéricos, Apuntes de Métodos Numéricos

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

FACULTAD DE INGENIERÍA

MÉTODOS NUMÉRICOS – INTRODUCCIÓN

Ing. Walter Dután

Septiembre 2022 – Febrero 2023

Introducción a los Métodos Numéricos

1. Presentación

2. Prerrequisitos

3. Objetivos

4. Modelos matemáticos

5. Teoría de errores

1 Presentación

 El análisis numérico moderno comienza con el artículo de 1947 de John von Neumann y Herman Goldstine, "Inversión numérica de matrices de orden superior" (Boletín de la AMS, noviembre de 1947).  Aunque el análisis numérico tiene una historia más larga y rica, el análisis numérico "moderno", como se usa aquí, se caracteriza por la sinergia de la computadora electrónica programable, el análisis matemático y la oportunidad y necesidad de resolver problemas grandes y complejos en aplicaciones.  El análisis numérico moderno y la computación científica se desarrollaron rápidamente y en muchos frentes. Nuestro enfoque actual está en el álgebra lineal numérica, métodos numéricos para ecuaciones diferenciales e integrales, métodos de aproximación de funciones y el impacto de estos desarrollos en la ciencia y la tecnología. De particular interés en la actualidad es el impacto de los paquetes de software matemático. http://history.siam.org/

2 Prerrequisitos

 Álgebra básica.  Geometría.  Trigonometría.  Fundamentos de cálculo diferencial e integral.  Álgebra lineal.  Es deseable un conocimiento previo de ecuaciones diferenciales.  Se pueden usar: C, Fortran, Visual Basic, Maple, Mathematica, Mathcad, SciLab, Octave, Euler, Matlab, wxMaxima; o incluso hojas de cálculo para resolver problemas complejos.  Practicas en software matemático.

4 Modelos matemáticos

 Son una parte integral en la solución de problemas de ingeniería.  Muchas veces, estos modelos matemáticos son derivados de principios de la ciencia e ingeniería, mientras otros son obtenidos a partir de los experimentos.  Necesidad de usar procedimientos matemáticos que incluyen (pero no están limitados) a:

• Diferenciación.
• Ecuaciones no lineales.
• Ecuaciones lineales simultáneas.
• Ajuste de curvas por interpolación o regresión.
• Integración.
• Ecuaciones diferenciales.  Solución exacta – Solución aproximada

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4 Modelos matemáticos

 Pasos en la solución de un problema de ingeniería: Planteamiento del problema Modelo matemático Solución del modelo matemático Interpretar/Usar la solución El enunciado del problema define el problema. Ofrece una descripción del problema, enumera las variables involucradas e identifica las restricciones en forma de condiciones de frontera y/o condiciones iniciales. La formulación de la solución consiste en el modelo (ley o leyes físicas) que se utiliza para representar el problema y la derivación de las ecuaciones que gobiernan que deben resolverse. Si el problema se resuelve numéricamente, se debe seleccionar el método numérico que se utiliza para la solución. Las técnicas difieren en precisión, duración de los cálculos y dificultad en la programación. Una vez que se selecciona un método numérico, se implementa en un programa de computadora. La implementación consta de un algoritmo, que es un plan detallado que describe cómo llevar a cabo el método numérico, y un programa de computadora, que es una lista de comandos que permite a la computadora ejecutar el algoritmo para encontrar la solución. Dado que las soluciones numéricas son una aproximación, y dado que el programa de computadora que ejecuta el método numérico puede tener errores, una solución numérica debe examinarse cuidadosamente.

4 Modelos matemáticos

4 Modelos matemáticos

5 Teoría de errores

 En cualquier análisis numérico, surgirán errores durante los cálculos. Para tratar con los errores tenemos que:

1. Identificar el origen del error.
2. Cuantificar el error.
3. Minimizar el error según nuestras necesidades.  ¿Por qué medir los errores?

• Para determinar la precisión de los resultados numéricos.
• Para desarrollar criterios de parada para algoritmos iterativos.

5 Teoría de errores

 Error verdadero: Error verdadero = Valor real (exacto) – Valor aproximado  Ejemplo:

La derivada, f (^ x) de una función f (x) puede ser

aproximada por la ecuación, h f x h f x f x ( ) ( ) ' ( )    Si x f x e

1. 5

( ) 7 y^ h ^0.^3

a) Encontrar el valor aproximado de f'(^2 )

b) El valor real de f'( 2 )

c) El error verdadero de la parte (a)

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5 Teoría de errores

 Error aproximado:

• ¿Qué se puede hacer si no se conocen los valores verdaderos o son muy difíciles de obtener?
• Cuando se soluciona un problema numéricamente, tenemos acceso únicamente a valores aproximados.
• Es necesario saber cómo cuantificar los errores para tales casos. Error aproximado = Presente aproximación – Previa aproximación  Ejemplo: h f x h f x f x ( ) ( ) ' ( )    Si x f x e

1. 5 ( ) 7 en x = 2

a) Encontrar f'(^2 ) usando h = 0.

b) Encontrar usando h = 0. c) El error aproximado de de la parte (b)

f'( 2 )

f'( 2 )

5 Teoría de errores

 Error aproximado relativo:

• La magnitud del error aproximado no muestra que “tan malo” es el error. Esto nos lleva a la definición de error aproximado relativo: Error aproximado relativo = Error aproximado / Presente aproximación  Ejemplo:  El error aproximado relativo se presenta además como porcentaje.  Se puede calcular el error aproximado relativo absoluto. h f x h f x f x ( ) ( ) ' ( )    Si x f x e

1. 5 ( ) 7 en x = 2 a) El error aproximado relativo para h=3 y h=0.

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5 Teoría de errores

 Error aproximado relativo como criterio de parada

• En un método numérico que usa métodos iterativos, se puede calcular el error aproximado relativo el fin de cada iteración. Se puede definir una tolerancia mínima aceptable (tolerancia pre- especificada)
• Si el error aproximado relativo absoluto es menor o igual que la tolerancia pre especificada entonces el error aceptable ha sido alcanzado y no se requieren más iteraciones.
• Alternativamente, se puede especificar cuántos dígitos significativos (m) serán correctos en la respuesta final, entonces
• Ejemplo: a s | | | | 0. 5 10 % 2 m a      s Para x f x e

1. 5

( ) 7 en x  2 con tamaño de paso variable, h

h f^ (^2 ) a  (^) m

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5 Fuentes de error

 Error en el modelo  Errores en los programas o en la medición de cantidades físicas  En aplicaciones de métodos numéricos nos enfocamos en dos tipos de error:

• Error de redondeo
  • Ocasionado al representar un número solo de manera aproximada.
• Error de truncamiento
  • Causado por truncar o aproximar un procedimiento matemático. 0. 333333 2  1. 4142 ... 3 1              2! 1 2 x Truncation Error e x x