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LISTA 4
Cálculo 1A - 2020.
Definição formal de limite
Limites no infinito
Limites infinitos
Teorema do Confronto
Exercício 1
Considerando os gráficos de g e h dados, ache os limites laterais de f no ponto indicado.
- f (x) =
g(x)
h(x)
, no ponto x = 3
− 2 − 1 1 2 3 4 5 6 7
− 2
2
4
x
y
g
− 2 2 4 6 8
− 100
100
200
300
x
y
h
- f (x) =
g(x)
h(x)
, no ponto x = 2
− 2 2 4 − 1
1
2
3
4
5
x
y
g
− 2 2 4 6 8
− 300
− 200
− 100
100
200
300
x
y
h
Exercício 2
Calcule os limites:
- lim x→ 1 +
|x − 1 |
- lim x→ 3 −
2 x + 7
(3 − x) 2
- lim x→ 5 −
x − 5
|x 2 − 7 x + 10|
- lim x→+∞
(x + 1) 2
x
- lim x→−∞
3
x 5
- lim x→+∞
x − 5
x 2
- lim x→−∞
x − 3
7 x + 2
- lim x→+∞
x
2 − 2
3 − x
- lim x→−∞
x + 2 √ 9 x^2 − 3
- lim x→−∞
9 x + 3
3
8 x 3 − 3
- lim x→+∞
x +
x √ x + 1
- lim x→+∞
x(
x 2
- lim x→−∞
3
x 3
3
x 3 − 2)
Exercício 3
Determine, caso existam, as equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico das funções abaixo.
- f (x) =
3 x
x − 1
- f (x) =
2 x √ x 2
- f (x) =
2 x
2
2 x^2 − 3 x
Exercício 4
Determine os valores de a e b de modo que
lim x→+∞
3 x
2
x + 2
− ax
Exercício 5
Seja f a função dada pelo gráfico a seguir:
3 6 10 13
6
9
10
19
x
y
f
Baseando-se no gráfico de f , responda os seguintes itens:
- lim x→−∞
f (x) 2. lim x→+∞
f (x) 3. lim x→ 10 −
f (x) 4. lim x→ 10 +
f (x)
- Determine, caso existam, as equações das assíntotas verticais e horizontais deste gráfico.
Exercício 6
Assumindo que lim x→+∞
x
)x
= e, calcule os seguintes limites:
- lim x→+∞
x
) 4 x
- lim x→+∞
x
)x
- lim x→ 0 +
(1 + x)
1 x
- lim x→ 0 +
(1 + x)
5 x
Exercício 7
Dê exemplos de funções f e g tais que
- lim x→ 0 +^
f (x) = 0, lim x→ 0 +^
g(x) = 0 e lim x→ 0 +
f (x)
g(x)
- lim x→+∞
f (x) = 0, lim x→+∞
g(x) = 0 e lim x→+∞
f (x)
g(x)
- lim x→ 0 +
f (x)
g(x)
= +∞ e lim x→+∞
f (x)
g(x)
- lim x→ 0 +
f (x)
g(x)
= +∞ e lim x→+∞
f (x)
g(x)
- lim x→+∞
x − 5
x 2
= lim x→+∞
5 x
x + 3 +
4 x
- lim x→−∞
x − 3
7 x + 2
= lim x→−∞
3 x
7 +
2 x
- lim x→+∞
x
2 − 2
3 − x
= lim x→+∞
x −
2 x 3 x
- lim x→−∞
x + 2 √ 9 x 2 − 3
= lim x→−∞
x + 2
|x|
3 x^2
y
como x → −∞ então x < 0.
Assim que |x| = −x
lim x→−∞
x + 2
−x
3 x^2
= lim x→−∞
2 x
3 x^2
- lim x→−∞
9 x + 3
3
8 x^3 − 3
= lim x→−∞
9 x + 3
x
3
3 x^3
= lim x→−∞
3 x
3
3 x^3
- lim x→+∞
x +
x √ x + 1
= lim x→+∞
x +
x
x + 1
= lim x→+∞
1 √ x
1 x
Nos itens 12 e 13 temos indeterminação do tipo ∞ − ∞
- lim x→+∞
x(
x^2 + 5 − x) = lim x→+∞
x(
x 2
x 2
= lim x→+∞
x(x
2
2 ) √ x 2
= lim x→+∞
5 x √ x 2
- lim x→−∞
3
x 3
3
x 3 − 2)
Vamos usar a igualdade a 3 − b 3 = (a − b)(a 2
considerando a =
3
x 3
3
x 3 − 2 y
= lim x→−∞
3
x 3
3
x 3 − 2
3
x 3
2
3
x 3
3
x 3 − 2 + (
3
x 3 − 2)
2
3
x 3
2
3
x 3
3
x 3 − 2 + (
3
x 3 − 2) 2
= lim x→−∞
x
3
3 − 2)
3
x^3 + 2)^2 +
3
x^3 + 2
3
x^3 − 2 + (
3
x^3 − 2)^2
= lim x→−∞
3
x 3
2
3
x 3
3
x 3 − 2 + (
3
x 3 − 2) 2
Solução do Exercício 3
- D(f )=R \ { 1 }
Assíntota horizontal: y = 3, pois lim x→−∞
3 x
x − 1
= 3 e lim x→+∞
3 x
x − 1
Assíntota vertical: x = 1, pois lim x→ 1 +
3 x
x − 1
e lim x→ 1 −
3 x
x − 1
- D(f )=R
Assíntota horizontal: y = − 2 e y = 2, pois
lim x→−∞
2 x √ x 2
= lim x→−∞
2 x
|x|
4 x^2
y
Como x → −∞ então x < 0
Assim |x| = −x
lim x→−∞
2 x
−x
4 x^2
e similarmente
lim x→+∞
2 x √ x 2
= lim x→−∞
2 x
x
4 x^2
Assíntota vertical: Não possui assíntota vertical
- D(f )=R \ { 0 , 3 / 2 }
Assíntota horizontal: y = 1, pois lim x→−∞
2 x
2
2 x 2 − 3 x
= 1 e lim x→+∞
2 x
2
2 x 2 − 3 x
Assíntota vertical: x = 0 e x =
, pois
lim x→ 0 −
2 x
2
2 x 2 − 3 x
= + ∞ assim como lim x→ 0 +
2 x
2
2 x 2 − 3 x
e
lim
x→
−
2 x 2
2 x 2 − 3 x
= −∞ assim como lim
x→
2 x 2
2 x 2 − 3 x
Solução do Exercício 4
lim x→+∞
3 x 2
x + 2
− ax
= lim x→+∞
(3 − a)x 2
x + 2
3 − a = 0
b − 2 a = 0
a = 3
b = 6
Solução do Exercício 5
- lim x→−∞
f (x) = −∞
- lim x→ 10 −^
f (x) = −∞
- lim x→+∞
f (x) = 6
- lim x→ 10 +^
f (x) = f (10) = 16
- Assíntota horizontal: y = 6. Assíntota vertical: x = 10.
Solução do Exercício 6
- lim x→+∞
x
) 4 x
= lim x→+∞
x
)x) 4
= e
4
- lim x→+∞
x
)x
= lim x→+∞
x/ 3
)x/ 3
Se u = x/ 3 então u → +∞ quando x → +∞
y
= lim u→+∞
u
)u) 3
= e
3
- lim x→ 0 +^
(1 + x)
1 x = lim x→ 0 +
1 /x
x
= lim u→+∞
u
)u
= e
- Como − 1 6 sen(e
x ) 6 1 e − 1 6 cos(x) 6 1 , temos − 2 6 2 sen(e
x ) cos(x) 6 2 , logo
x
2
2
x ) cos(x) 6 x
2
Para x muito negativo, x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
Como
lim x→−∞
x
2
x 2
= 1 e lim x→−∞
x
2
x 2
Assim, pelo Teorema do Confronto,
lim x→−∞
x
2
x ) cos(x)
x 2
Solução do Exercício 9
Temos que
−x
2
x
2 − 1
x − 1
Ainda mais,
lim x→ 1
−x
2
x
2 − 1
x − 1
= lim x→ 1
(x − 1)(x + 1)
x − 1
= lim x→ 1
(x + 1) = 2.
Logo, pelo Teorema do Confronto,
lim x→ 1
f (x) = 2.
Solução do Exercício 10
Como |f (x) − 3 | 6 2 |x − 1 |, temos
− 2 |x − 1 | 6 f (x) − 3 6 2 |x − 1 |.
Como
lim x→ 1
− 2 |x − 1 | = 0 e lim x→ 1
− 2 |x − 1 | = 0
pelo Teorema do Confronto, temos
lim x→ 1
(f (x) − 3) = 0.
Com isso,
lim x→ 1
f (x) = y
0 = lim x→ 1
(f (x) − 3) = lim x→ 1
f (x) − lim x→ 1
lim x→ 1
f (x)
Solução do Exercício 11
Temos
f (x)
x
f (x)
x
|f (x)|
|x|
x
4
|x|
|x|
4
|x|
= |x|
3
e, por outro lado
f (x)
x
f (x)
x
|f (x)|
|x|
x
4
|x|
|x|
4
|x|
= −|x|
3 .
Assim,
−|x|
3 6
f (x)
x
6 |x|
3 .
Por outro lado,
lim x→ 0
−|x
3 | = 0 e lim x→ 0
|x|
3 = 0.
Então, pelo Teorema do Confronto, temos
lim x→ 0
f (x)
x
Solução do Exercício 12
Como |f (x)| 6 x 3 , temos que −x 3 6 f (x) 6 x 3 para x ∈ [0, +∞). Assim,
x
3
xk^
f (x)
xk^
x
3
xk^
Se k < 3 então 0 < 3 − k e assim teremos que
lim x→ 0 +
x 3
x k
= − lim x→ 0 +
x
3 −k = y
Lembre que lim x→ 0 +^
x
n
0 se n > 0
1 se n = 0
+∞ se n < 0
0 e lim x→ 0 +
x 3
x k
= lim x→ 0
x
3 −k = 0.
Assim, Teorema do Confronto, temos
lim x→ 0 +
f (x)
x k
Se k = 3, não podemos garantir que limx→ 0 +
f (x) xk^
= 0. Por exemplo, se tivermos f (x) = x 3 , a condição
|f (x)| 6 x 3 será válida e
lim x→ 0 +
f (x)
xk^
y
k = 3
lim x→ 0 +
x
3
x^3
Da mesma forma, se k > 3 , tomando novamente f (x) = x 3 , temos
lim x→ 0 +
f (x)
x k
= lim x→ 0 +
x
3
x k
= lim x→ 0 +^
x
3 −k = y
3 − k < 0
Portanto, o limite nulo só é garantido quando k < 3.
