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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ
ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
Fundamentos de Cálculo Semestre académico 2020-
Lista de Ejercicios 8
Funciones trigonométricas inversas.
Límites de funciones.
- En cada ítem, determine el dominio (implícito) de la función f.
a) f (x) = arc cos
x^2 −x− 13
7
arc sen
x
b) arc cos(arc sen(2x + 1)).
c) f (x) = arc cos(x − 1)
sec(x).
d) f (x) =
arc sen
x^2 − 8 x+ 4
log 2
13 2 −^ x
- Encuentre, si existen, el valor máximo y el valor mínimo de la función
f (x) = arctan
x^2 − 2 x
- En cada ítem, encuentre el rango de la función f.
a) f (x) = 1 − 3 arctan(2x + 1), x > 0.
b) f (x) =
4 arctan(x − 2)
π
2 e^3 −x^ − 1 , si x > 3.
c) f (x) = arc sen
x
x + 3
, x ≥ − 1.
d) f (x) = sen
arctan(2x) −
π
6
- Halle la función inversa de la función
f (x) =
cos x + 1, si x ∈ [− 2 π, −π[ ;
ln(−x + 1), si x ∈ [0, 1[.
- Justi que la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:
a) arc cos(cos(−π/4)) = −π/ 4.
b) La función f : [− 1 , 1] → R dada por f (x) = arc cos(x) −
π
2
es impar.
c) Si l´ım x→ 0
xf (x) = 0 entonces el límite l´ım x→ 0
f (x) existe.
d) Para todo x ∈ [0, 2 π] se cumple que arc cos(cos x) ≥ arc sen(sen x).
e) Para todo x ∈ R, existe y ∈ R tal que cos x = arc cos(y).
f) La función f (x) = arctan(sen(2x)), π 8 < x ≤ 38 π posee valor máximo pero no valor
mínimo.
- Pruebe que la función
f (x) = tan(2 arc sen(x)), x ∈ [− 1 , 1] −
se puede expresar de la siguiente forma
f (x) =
2 x
1 − x^2
1 − 2 x^2
, x ∈ [− 1 , 1] −
- Determine los siguientes límites.
a) l´ım x→+∞
b) l´ım x→−∞
2 x + 1
x − 2
c) l´ım x→+∞
arctan(1 − 2 x).
d) l´ım x→−∞
− 3 e
x .
e) l´ım x→−∞
1 − 9 x + 2x
7 .
f) l´ım x→−∞
− 2 − x^2 /^3.
g) l´ım x→+∞
ln(3 + x).
h) l´ım x→−∞
(π − 3)^2 x.
i) l´ım x→ 3 +
1 − x
x − 3
j) l´ım x→− 2 +^
log (^1) 2
(x + 2).
k) l´ım x→ 3 −^
1 − 2 tan
( (^) πx
l) l´ım x→ 92 π^ −^
| 2 − sec(x)|.
m) l´ım x→ 0 −
−x.
n) l´ım x→− 1 −
2 + x
o) l´ım x→ 0 +^
arc sen(1 − x).
- Calcule los siguientes límites.
a) l´ım x→ 0 +
ln(x)
b) l´ım x→− 1 +^
arc sen(x^4 ).
c) l´ım x→+∞
2 −^
√ (^3) x .
d) l´ım x→ 0 −^
e^1 /x.
e) l´ım x→ π 2 −^
log 2 5
(cos(x)).
f) l´ım x→+∞
arctan(1 − ln(x + 1)).
- Calcule los siguientes límites o explique por qué no están de nidos.
a) l´ım x→− 2
x
2 / 3 .
b) l´ım x→ 0
x
|x|
c) l´ım x→− 1
arc sen(x).
d) l´ım x→ 1
e
1 x− (^1).
e) l´ım x→ 0
e
− 1 /x^2 .
f) l´ım x→ 0
∣arctan
x
- Considere la función
f (x) =
ln(kx) + 1, si x < k ;
π
arc sen(x − 1), si 0 ≤ x ≤ 2.
Donde k es una constante real.
a) Para k = − 2 , esboce la grá ca de f y determine su rango.
b) Para k = − 2 , halle f −^1 y esboce su grá ca.
c) Halle el conjunto de valores de k para los cuales f es inyectiva.
- Considere la función f de nida por
f (x) =
a − arctan
x −
π 2
, si x ≥
π 2 ;
π −
x −
π
2
, si x < π 2.
Donde a es una constante real.
a) Cuando a =
π
2
Haga un esbozo de f.
b) Calcule los siguientes límites o explique por qué no están de nidos:
l´ım x→− 2 −^
g(x), l´ım x→− 2 +^
g(x), l´ım x→ 0
g(x) y l´ım x→ 2
g(x).
- Calcule los siguientes límites o explique por qué no están de nidos.
a) l´ım x→ 1 −^
2 x
3 −x
7 +3 arc sen(x).
b) l´ım x→− 2 +
ln(x + 2)
2 (^3).
c) l´ım x→+∞
arctan(x) − 2
x−x^3 .
d) l´ım x→−∞
x 2
4 + 3^2 x^
e) l´ım x→+∞
x
(2x + 1)3x^
f) l´ım x→−∞
x^2 + 3x
3 x^2 − 2
g) l´ım x→ 0
cos x
ln(x^2 )
h) l´ım x→ 0
ex^ arctan
x
i) l´ım x→−∞
2 x^2 + 7
x^3 − 6 x
j) l´ım x→ 0 +
x^2
ln x
- Calcule los siguientes límites o explique por qué no están de nidos.
a) l´ım x→ 1 −
tan
πx 2
arc cos(x)
b) l´ım x→− 2
x
x^2 − 4
c) l´ım x→+∞
1 x (^) − 2 x^.
d) l´ım x→ 1 −
3 x
ln x
e) l´ım x→+∞
x −
x.
f) l´ım x→−∞
3 x^2 − 1 √ 4 x^2 + x
g) l´ım x→+∞
x + 1 −
x
- Considere la función
f (x) =
x − 2 k, 0 ≤ x ≤ 2 ;
5 ln(x − 2), 2 +
1 e < x <^ 2 +^ e^ ;
3 k − arctan(x − 2 − e), x ≥ 2 + e.
Donde k es una constante.
Halle el conjunto de valores de k para los cuales f es inyectiva.
- Sea f : R → R una función impar e inyectiva que satisface las siguientes condiciones:
Para x ∈ ] − 1 , 0[ , se cumple que f (x) =
5 x+1^ − 8 x+
8 x^
Para x ∈ [1, +∞[ , se cumple que f (x) =
π
arctan(−x + 1) − 3.
a) Determine la regla de correspondencia y esboce la grá ca de la función f.
b) Determine los siguientes límites:
i) l´ım x→−∞
f (x).
ii) l´ım x→− 1 +^
f (x).
iii) l´ım x→ 0 +^
f (x).
iv) l´ım x→+∞
f (x).
v) l´ım x→ 1 +^
f (x).
vi) l´ım x→ 2 −^
f (x).
