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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING A´
ENGENHARIA MEC ANICAˆ
Lista de Exerc´ıcios No. 01
Func¸ ˜oes de uma vari´avel real a valores reais
- A func¸ ˜ao maior inteiro ´e dada por
f (x) = [[ x ] =] n se n ≤ x < n + 1 , n ∈ Z.
Calcule
[[ 1
2
] ]
, [[ 1 ]] ,
[[ 5
4
] ]
e
[[
−^15
] ]
- Calcular f ( 2 ), sendo
f (x) =
5 [(x + 1 )^2 + x^2 ][(x + 1 )^4 + x^4 ][(x + 1 )^8 + x^8 ][(x + 1 )^16 + x^16 ] + 232
- Seja f (x) = 4 + 3 x − x^2. Calcule
f (x) − f ( 3 )
x − 3
e
f (x + h) − f (x)
h
Simplifique sua resposta.
- Determine o dom´ınio de
(a) f (x) =
2 x^3 − 5 x^2 + x − 6
x^2 − x x^2 − 1
(b) f (x) =
|x|^2 − ||x| + 2 |
(c) f (x) =
[[ x ]] − x
(d) f (x) =
x + 1
x − 1
(e) f (x) =
x
(f) f (x) =
1 − ex
2
1 − e^1 −x
2
- Um retˆangulo tem um per´ımetro de 20m. Expresse a ´area do retˆangulo como uma func¸ ˜ao do compri-
mento de um de seus lados e determine seu dom´ınio, imagem e esboce seu gr´afico.
- Uma caixa sem tampa deve ser constru´ıda de um pedac¸o de papel˜ao com dimes˜oes 12cm por 20cm.
Para isso, devem-se cortar quadrados de lados x de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figura. Expresse o volume V da caixa como uma func¸ ˜ao de x e determine seu dom´ınio.
x x x
x
x
x x x
- Dˆe o dom´ınio e esboce o gr´afico. Usando o gr´afico determine sua imagem
(a) f (x) =
x , x ≤ 0
− 2 x + 3 , x > 0
(b) f (x) =
−x − 2 , x ≤ − 2
2 (x + 1 )^2 − 2 , − 2 < x ≤ 0
(x − 1 )^3 + 1 , x > 0
(c) f (x) =
1 − (x + 2 )^2 , − 3 ≤ x ≤ − 2
|x| + 1 , − 2 < x
(d) f (x) =
x^3 + 7 x^2 + 14 x + 8 x^2 + 6 x + 8
(e) f (x) =
6 x − 5 3 x − 2
(f) f (x) =
x^2
(g) f (x) = |x + 1 | + x|x|
(h) f (x) = |x| − x
(i) f (x) =
| 2 x + 1 |
2 x + 1 (j) f (x) = 8 sin x cos x
(k) f (x) = 12 ( 1 − cos x)
(l) f (x) =
1 + tg^2 x
(m) f (x) =
tg
x −
π 4
(n) f (x) = [[ x ]]
(o) f (x) = [[ −x ]]
(p) f (x) = | [[ x ]] |
(q) f (x) = [[ x ] +]
x − [[ x ]]
(r) f (x) = 2 ( 1 − ex)
(s) f (x) = − 2 x+^2 + 3
- O gr´afico de f (x) e dada por´
x
y
Determine o dom´ınio e a imagem de f. Esboc¸ar o gr´afico de
g(x) = 2 − f (−x + 1 ), h(x) = | f (x)| e h(x) = f (|x|)
- Encontre as func¸ ˜oes f + g, f − g, f · g, f /g e g/ f e defina seus dom´ınios. Se for poss´ıvel, esboce seus gr´aficos e determine a imagem delas.
(a) f (x) = x^3 + 2 x^2 , g(x) = 3 x^2 − 1
(b) f (x) =
3 − x, g(x) =
x^2 − 1
(c) f (x) = | sin x|, g(x) =
0 , 0 < x < π
1 , x ≥ π
(d) f (x) =
− 2 x , − 1 ≤ x < 0
4 , x = 0
3 , 0 < x ≤ π/ 2
2 , π/ 2 < x ≤ π
, g(x) =
x^2 , x < 0
sin x , 0 ≤ x ≤ π
- Encontre as func¸ ˜oes f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g e defina seus dom´ınios. Se for poss´ıvel, esboce seus
gr´aficos e determine a imagem delas.
(a) f (x) = x^2 − 1, g(x) = 2 x + 1
(b) f (x) = 1 − 3 x, g(x) = cos x
(a) cos(arcsin x) =
1 − x^2
(b) sin(arccos x) =
1 − x^2
(c) cot(arccosec x) =
x^2 − 1
(d) cosec(arccotan x) =
1 + x^2
