Apunte de Derivadas
Derivada de una función en un punto
𝒇!(𝒂)
Consideremos una función
𝑓(𝑥)
y un punto P que se ve en la grafica, de abscisa
𝑥 = 𝑎
.
Suponiendo que damos a la variable independiente x un pequeño incremento h, por lo
tanto, nos desplazaremos en un nuevo punto Q de la curva próximo. Consideremos la
tangente del ángulo que forma el segmento PQ con la horizontal:
𝑡𝑔+𝛼 = 𝑓
(
𝑎+ℎ
)
−𝑓(𝑎)
ℎ
Si
ℎ → 0
, el segmento PQ tenderá a confundirse con la recta r tangente a la curva
𝑓(𝑥)
en
𝑥 = 𝑎
, es decir los ángulos
𝛼+𝑦+𝛼"
tenderán a ser iguales:
𝑡𝑔+𝛼"=lim
#→" 𝑡𝑔+𝑎"=lim
#→"
%
(
'(#
)
*%(')
#= 𝑓!(𝑎)
Derivada por definición
La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la
recta tangente a la función de dicho punto
Nota: La derivada de una función en un punto puede resultar un número positivo,
negativo o cero. El signo indicará el crecimiento de la función.
TEMA 10
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f‘(a):
Consideremos una función f(x) y un punto P de su gráfica
(ver figura), de abscisa x=a. Supongamos que damos a la
variable independiente x un pequeño incremento h (en el dibujo
lo hemos exagerado, para que se pueda ver la situación…); por
lo tanto, nos desplazaremos a un nuevo punto Q de la curva
próximo. Consideremos la tangente del ángulo que forma el
segmento PQ con la horizontal:
Si h0, el segmento PQ tenderá a confundirse con la recta r tangente a la curva f(x) en x=a, es decir, los
ángulos y 0 tenderán a ser iguales:
«La derivada de una función en un punto representa geométricamente la
pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto»
Observaciones:
1º) La derivada de una función en un punto puede resultar un número positivo, negativo o cero2. Como
veremos en el apdo. V, su signo indicará el crecimiento de la función.
2º) Veamos una expresión alternativa para calcular la derivada:
Supongamos que hacemos el cambio de variable a+h=x _ si h®0, entonces x®a, con lo cual (3) queda
como:
3º) «Una función es derivable en un punto x=a si $ f ‘(a)»
4º) «Una función es derivable en un intervalo si lo es en todos los puntos de dicho intervalo»
Esta fórmula nos da por tanto la pendiente de la
recta tangente a la curva en x=a. Esta fórmula se
conoce como derivada de la función f(x) en el punto
x=a, y se designa como f ’(a); por lo tanto:
