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Capítulo 2
,, Lóg ica de predicados
Operadores Lógicos
Operador (^) Símbolo Compuesta
y /\ Conjunción o (y/o) (^) V Disyunción (Inclusiva) o (o .. o) 6 Disyunción exclusiva entonces (^) • Condicional si y sólo si +-), (^) Bicondicional no Negación
La Condiciona l
En la condicional p • q , p es el antecedente y q es el consecuente.
( p • q , no es conmutativa)
Proposición
,, Un enunciado es una expresión del lenguaje.
~ Una proposición es un enunciado que puede ser calificado o de verdadero (V) o de Falso (F).
" Valores de verdad : L = {V,F}.
Tablas de los operadores
vv V V V V F V F F V V F F F F V F V V V F V F F F F F V V (^) V
La Condicional
La condicional p • q se puede leer:
" p entonces q.
,, p sólo si q.
~ q si p.
La Condicional
Si la condicional es p • q
,~ su recíproca es q • p ,
- su contraria es - p • -q ,
"' su contrarecíproca es -q • -p.
Ejemplo
(p v -p) es una tautologia.
Demostración:
o
Ejemplo
(p "-p) es una contradicción.
Tautología
Una tautología es una proposición compuesta que es verdadera, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones componentes.
( Una tautología se representa por: 1 )
Contradicción
Una contradicción es una proposición compuesta que es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones componentes.
( Una contradicción se representa por: O^ )
Proposiciones Equivalentes
Dos proposiciones p y q son equivalentes, Demostración: si la proposición p ~ q es una tauto logía. p (p _¡_ ~p) O (pes equivalente a q se representa por: p"' q )
La Implicación
si p implica q , decimos
r:, p es suficiente para
.. q (^) es necesario para
Demostración 2:
(p A q) • p =
~( p /\ q) V p "'
(-p V -q) V p =
( ~p V p) V ~q - 1 V -q -
Consecuencia lógica
q.
p.
que :
La proposición q es consecuencia lóg ica de la propos ición p, si p => q.
(q es consecuencia lógica de p se representa por: q e: p )
Ejemplo (p /\ q)=>P Demostración 1: p q (p A q) • p o o 000 1 o O 1 001 a o 1 a o 1 1 1 1 1 1
Inferencias lógicas 1)Adición:
- Simplificación : 3)Modus ponens: 4)Modus tollens : 5)Silogismo disyuntivo: 6)Silogismo hipotético :
p => (p V q). (p /\ q) => p. ((p • q) /\ p) => q. ((p • q) /\ -q) => -p. ((p V q) /\ -p) => q.
((p • q) /\ (q • r)) => (p • r).
Ejemplo
Ya que : ( p /\ q) => p
Teorema (Reducción al absurdo)
q <= p si y sólo si (p "-q) = O.
(La proposición q es consecuencia lógica de la proposiciones p , si y sól~ si la proposición (p "-q) es una contradicción)
Predicados
Si p es un predicado en D y a E O , entonces p(a) es una proposición.
Ejemplo
Si O = Z x Z y p(x,y): x < y ,
entonces: p(2,3) es V p(3,2) es F
Predicados
Sean X1 ,. .. , Xn conjuntos no vacíos y sea O e X1 X ... X Xn.
Un predicado p definido en O
es una función de O en L = { V , F}.
( p:D • L)
Ejemplo
Si o = z+ y p(x): x es par, entonces: p(4) es V p(3) es F
Operaciones con predicados Dados los predicados p y q , se definen los predicados:
1) (-p)(x) = -p(x).
2) (p " q)(x) = p(x) " q(x).
3) (p v q)(x) = p( x) v q(x).
4) (p ó. q)(x) = p(x) ó. q(x).
5) (p • q)(x) = p(x) • q(x).
6) (p s--+ q)(x) = p(x) tt q(x).
Teorema (Generalización)
Sea p : O • L un predicado y a E O ,
entonces (3 x E O : p(x))
es una consecuencia lógica de p(a).
Ejemplo Si O= Z xZ:
- ( x + y = O ) y ( x * y = O ), son predicados en
las variables x e y.
/ x: x + y= O, es un predicado en la variab le y, la variable x está ligada y la variable y está libre.
3 y: x + y= O, es un predicado en la variable x, la variable y está ligada y la variable x está libre.
Números naturales (IN)
Axiomas:
- IN es un conjunto totalmente ordenado.
- Existe una función sucesor S : IN • IN donde S(n) es el número que le sigue a n en el orden total.
- Existe un único O E IN tal que: O .; S(IN),
donde S (IN) = { S(a) / a E IN}.
Var iables ligadas y variables libres Si p : O • L es un pred icado en las n variables X1 , ... , Xn , entonces / xk : p(X1 , ... , Xnl 1/ 3 xk : p(X1 ' ... ' Xnl son predicados en las (n-1) variables que no son Xk.
En estos casos se dice que la variable Xk está ligada y que las variables restantes son libres.
/ x, 3 y: x +y= O, es una proposición verdadera.
3 y,/ x: x +y= O, es una proposición falsa.
3 y, / x: x * y = O, es una proposición verdadera.
Axioma de inducción
Si A e IN es ta l que:
- Ü E A.
- n E A • (n+ 1) E A. Entonces A= IN.
Definiciones por inducción
Si n y n 0 e IN.
Para definir D(n) V n 2: n 0 :
- Se define D(n 0 ).
- Supuesto definido D(n) V n ?: n0 , se define D(n+1 ).
Ejemplo n Definir: ¿ak, V n ~ l k=I
n+1 n
2) ¿ Qk = L Qk + Qn+I
k=I k=I
Ejemplo
Demostrar: I k = (n)(n + l), V n ~ l
k=I 2
Ejemplo Definir: n!, V n 2: O.
- O! = 1
2} (n+1)! = (n+1) .n!, n?: O
Demostraciones por inducción
Si n y n 0 E IN.
Para demostrar P(n) V n ?: n (^) 0 :
- Se demuestra P(n (^) 0).
- Supuesto demostrado P(n) V n 2: n0 , se demuestra P(n+1 ).
2) I,^ k^ =^ (n)(n^ +^ 1)^ •
k•I 2 i)+(n+l) (n)(n+l) +(n+l)
k=I 2
f k = ( n + I )( n + I + 1)
k=I 2
/* más reglas : •¡
madre (x, y) +-- progenitor (x, y), mujer (x). hijo (x, y) (^) +-- progenitor (y, x), varón (x). hija (X, y) (^) +-- progenitor {y, x), mujer (x).
nieta (x, y) +--
nieta (x, y) +-
abuelo (y, x), mujer (x).
abuela (y, x), mujer (x). hermanos (x, y) +- progenitor (z, x), progenitor (z, y), not (misma-persona (x, y)). misma-persona (x, x).
P.L. natural
/* natural(x) - x elN */
natural(O). natural(S(x)) +- natural(x).
abuelo (x, y) (^) +-- padre (x, z), progenitor (z, y). abuela (x, y) (^) +-- madre (x, z), progenitor (z, y). nieto (x, y) (^) +-- abuelo (y, x), varón (x). nieto (x,y) (^) +-- abuela (y, x), varón (x).
tío (x, y) ~ progenitor (z, y), hermanos (x, z), varón (x). tía (x, y) ~ progenitor (z, y), hermanos (x, z), mujer (x).
antepasado (x, y) ~
progenitor (x, z), antepasado (z, y).
antepasado (x, y) ~
progenitor (x, y).
Ejemplo
? natural(3). Si.
? natural(0.5). No.
P.L igual y diferente
/* igual{x,y) = x = y */
igual(x,x).
/* diferente(x,y) = x * y */
diferente(x,y) +- not(igual(x,y)).
P.L. menor y menor-igual /* menor(x,y) = x < y */
menor(S(x),S(y)) +- menor(x,y). menor(O,S(x)).
/* menor-igual(x,y) = x :S y */
menor-igual(S(x),S(y)) +- menor- igual(x,y). menor-igual(O,x).
P.L. menor-igual2 y diferente
/* menor-igual2(x,y) = x :S y */
menor-igual2(x,y) +- menor(x,y). menor-igual2(x,y) +- igual(x,y).
/* diferente2(x,y) = x st y */
diferente2(x,y) +- menor(x,y). diferente2(x ,y) +- menor(y,x).
Ejemplo ? igual(3,3). S i. ? igual(3,2). No. ? igual(x ,3). Si X= 3. ? diferente(3,3). No.
Ejemplo ? menor(2,4). Si.
? menor(2,2). No.
? menor-igual(2,2). Si.
P.L. mayor y mayor-igual
/* mayor(x,y) = x > y */
mayor(x,y) +- menor(y,x). /* mayor-igual(x,y) = x 2 y / mayor-igual(x,y) +- menor-igual(y,x). / mayor2(x,y) = x > y */ mayor2(x,y) +- not (menor -igual(x,y)).
/* mayor-igual2(x,y) = x 2 y */
mayor-igual2(x,y) +- not(menor(x ,y)).
Ejemplo
? div(17,5,3). Si.
? div(17,5,x). Si X= 3.
Ejemplo
? mod(17,5,2). Si.
? mod(17,5,x). Si X= 2.
Ejemplo
? potencia(2,4, 16). Si.
? potencia(2,4 ,x ). Si X= 16.
P.L. mod
/* mod(x,y,z) = z :=(x MOD y) */
mod(x ,y,z) ~ resta(x,y,t) , mod(t ,y,z). mod(x,y,x) ~ menor(x,y).
P.L. potencia
/* potencia(x,y,z) = z:= xY */
potencia(x,S(y),z) ~ potencia(x,y,t), producto(x,t,z). potencia(S(x),O, S(O)). potencia(O,S(y),O).
P.L. factorial
/* factorial(x,y) = y:=x! */
factorial(S(x) ,y) ~ factorial( x, t) , producto(S( x),t,y). factorial(O , S(O ) ).
Ejemplo
? factorial(4,24). Si.
? factoriaI(4,x). Si x= 24.
Listas Sea L una lista :
Si L es la lista vacía, Representamos L = [ ].
Si L no es la lista vacía, representamos L = [x J xs] , donde x es la cabeza y xs la cola.
P.L. añade
/* añade(x, L 1,L2) = L2 = [x J L 1 ] •¡
aña de (x,xs,[x ¡ xs]).
Listas Una lista es la lista vacía o una lista es una colección ordenada de objetos donde se reconocen dos partes, la cabeza de la lista que es el p ri mer elemento de la lista y la cola de la lista formada por el resto de los elementos.
P.L. lista
lista ( [ ] ).
lista([xlxs]) ~ lista(xs).
Una lista es la lista vacía o
una lista es un elemento seguido de una lista
Ejemplo
? añade(S,[4,7,2 ], [5,4,7,2]). S i.
? añade(S,[4,7,2 ], L ). Si L = (5,4,7,2].
P.L. invierte
/* invierte(L 1,L2) = L2 es la lista L 1 invertida •¡
invierte([x I xs],L) ~ invierte(xs,ts) , concatena(ts,[x], L). invierte([ ],[ ]).
P.L. posición
/* posición(x,L,n) = n:= la posición del elemento x
en la lista L */
posición(x ,[y I ys],S(n)) ~ posición(x,ys,n). posición(x ,[x ¡ xs],S(O}}.
? posición(S,[7,5,9, 1,9,5, 1],x). Si x= X= 6.
? posición(x,[7,4,5,9],3). Si X= 5.
Ejemplo
? invierte([3,4 ,7],[7,4,3]). Si.
? invierte([3,4,7],L). Si L = [7,4,3].
Ejemplo
? posición(S,[7,4,5,9, 1],3). Si.
? posición(S ,[7,4,5,9, 1),x). Si X= 3.
P.L. menor-elemento /* menor-elemento(L,x) x := el menor elemento en la lista L */
menor-elemento([x ¡ xs],x) ~ menor-elemento(xs , y} , menor(x,y}. menor-elemento([x ¡ xs),y} ~ menor-elemento(xs ,y), not(menor (x,y}). menor-elemento([ x ),x).
Ejemp lo
? menor-elemento([S,3.7,2,8],2). Si.
? menor-elemento([5 ,3, 7,2,8],x). Si X= 2.
P.L suma-filas y suma-matrices
*/ suma-filas(L 1,L2 ,L3) = L3 := L 1 + L2 * / suma-filas ([x / xs],[y / ys],[z I zsl) -f- suma(x, y, z ), suma-filas (xs ,ys,zs). suma-filas([ ],[ ],[ ]). */ suma-matrices (A ,B,C) _ C : =A+ 8 • / suma-matrices ([xs I As] ,[ys I Bs],[zs / Cs]) -f- suma-filas(xs,ys ,zs), suma-matrices (As ,Bs ,Cs). suma-matrices ([ ] ,[ ],[ ]).
? suma-matrices([[4,3 ],[2 ,0]],[[1,5],[1,3]], [[5,8],[3,3]]). Si.
? suma-matrices([ [4,3] , [2,0]] , [ [1 ,5] , [1,3]] , L). Si
L = [ [5,8] , [3,3] ].
Matrices
Una matriz de dimensión m x n es una lista, de m listas, de longitud n cada una de ellas.
Ejemp lo
? suma-filas([2,5 , 3],[1,0,4],[3 ,5,7]). Si.
? suma-filas([2,5 ,3],[1,0,4],L). Si
L = [3 ,5,7].
P. L esca l arxfila y esca l arxma t riz /* escalarxfila(x,L 1,L2) = L2 := x .L 1 / escalarxfila (x,[y / ys] , [z I zsl) -f- producto (x, y, z ), escalarxfila (x,ys,zs ). escalarxfila(x,[ ],[ ]). / escalarxma triz (x, A,B) - B := x .A */ escalarxmatriz (x, [ys/A],[zs/8]) -f- escalarxfila (x,ys,zs ), esca larx ma t ri z(x,A,B). esca l ar x matriz (x, [ ],[ ]).
