resumen de predicados en informatica, Resúmenes de Estadística

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▪ La lógica de predicados no es más que la lógica de enunciados pero con variable y cuantificadores. ▪ Ejemplo: “Beto es un niño” proposición ▪ “x es un niño” Predicado con variable x ▪ Una proposición no lógica que la constituye el predicado y una o más variables se caracteriza porque no es posible decidir si el valor de verdad es F o V, un enunciado de este tipo también recibe el nombre de función proposicional y se convierte en proposición lógica cuando se constituye la variable para este caso la x por algún valor especifico, a ese valor (sujeto) se le asigna el predicado que forma parte de la función proposicional.

Consideremos los siguientes enunciados:

• Cualquier empleado tiene un jefe.
• Algunos programas usan ciclos.
• Hay una lista que está ordenada. Como acabamos de argumentar, para representar a cada uno de estos enunciados la única forma de hacerlo, con las herramientas que tenemos hasta el momento, es mediante fórmulas proposicionales atómicas, es decir, mediante una simple variable proposicional para cada una de ellas.

De los dos ejemplos anteriores vemos que esta representación no es adecuada, ya que no es capaz de reflejar la estructura interna del enunciado, algo de lo que no debemos sustraernos. Buscamos una herramienta lógica que tome en cuenta, de alguna manera, a esa estructura interna. Por ejemplo, el enunciado algunos programas usan ciclos trata acerca de programas, ciclos y la acción de usar. Estas componentes de la estructura interna de un enunciado se clasifican como individuos (u objetos) y propiedades (o relaciones) atribuibles a los individuos; a estas ´ultimas es a las que llamamos predicados. Tanto los individuos como los predicados se definen en un contexto particular dependiendo del problema que queramos representar. Este contexto se conoce como universo de discurso, el cual es una colección de todas las personas, ideas, cosas, estructuras de datos , etc., necesarios para analizar una fórmula o argumento lógico.

▪ En el caso de estos enunciados, el universo tiene al menos personas, animales y lugares. ▪ Aunque parezca que podemos utilizar lógica proposicional para representar a los individuos y relaciones, esto no es así. Por ejemplo, no tiene sentido decir que el primer enunciado se formaliza como p ∧ q donde p significa Isabel es colega y q significa María es colega, ya que la conjunción de estos dos enunciados no consigue explicar la relación de colegas entre Isabel y María. ▪ En lógica de predicados utilizamos la notación P (t1, t2,... , tn) para describir que la propiedad o relación P se da entre los individuos t1, t2,... , tn. Expresemos algunos de los ejemplos que dimos arriba con esta nueva notación:

Podemos ver de estos ejemplos que cada predicado P recibe un número distinto de argumentos de entrada t1,... , tn – escribimos el nombre de los predicados con mayúsculas para distinguirlos de las funciones –. Al número de argumentos de un predicado le llamamos el índice o aridad del predicado. También vemos que el orden, en muchos de ellos, es importante. Por ejemplo, el predicado P adre tiene un significado muy distinto si cambiamos el orden de los argumentos, lo mismo que el predicado Suma. Una vez que se ha definido un predicado con un determinado índice, queda prohibido cambiarle el índice posteriormente.

▪ Es de importancia remarcar que los nombres de las variables no importan siempre y cuando se usen de forma consistente. Sin embargo, obsérvese que las expresiones anteriores no corresponden a proposiciones, puesto que los valores de x e y est´an indeterminados, por lo que resulta imposible verificar si el predicado Recita se cumple. Las variables juegan el papel de representantes de valores concretos, como un estudiante, un número o un programa particular. Obsérvese entonces que un mismo predicado puede representar un número potencialmente infinito de proposiciones, una por cada individuo que pueda tomarel lugar de cada una de las variables del predicado.

Consideremos ahora los siguientes enunciados:

• Hay un gato rayado.
• Algunas personas van al teatro.
• Todos los programas en Java usan clases.
• Todos los estudiantes trabajan duro.
• Algunos estudiantes se duermen en clase.
• Ocho de cada diez gatos lo prefieren.
• Nadie es más tonto que yo.
• Al menos seis estudiantes están despiertos.
• Hay una infinidad de números primos.
• Hay más computadoras PC que Mac.

▪ Por ejemplo, para decir todos hablan español escribimos ∀xE(x) donde E(x) significa que x habla español. Similarmente, si C(x) significa que x es cuervo, entonces para especificar que hay un cuervo escribimos ∃xC(x). Más aún, usando cuantificadores en combinación con la lógica proposicional, podemos representar enunciados más complejos, como por ejemplo todos los estudiantes son más jóvenes que algún profesor cuya especificación es como sigue: ▪ ∀x(E(x)→ ∃y(P (y)∧J(x, y))), ▪ donde queda claro que P (x) significa x es profesor; E(x) significa que x es estudiante y J(x, y) significa que x es más joven que y. ▪ A continuación vamos a definir el lenguaje formal de la lógica de predicados que incluye todos los elementos discutidos hasta ahora, para después volver al tema de especificación formal.

▪ En esta sección definimos formalmente lo que se conoce como un lenguaje de la lógica de predicados de primer orden, el cual, a diferencia del caso proposicional, varía dependiendo del universo de discurso particular y de las relaciones y propiedades de los individuos que se deseen especificar.

▪ Cada símbolo de la categoría func tiene asociado un número fijo de argumentos (el índice o aridad del símbolo). A veces escribimos f (n) para indicar que el símbolo f tiene índice n.

Ejemplo1 : Supongamos que el universo consta de los países del mundo.

• Las variables x e y denotan a países cualesquiera.
• La constante a denota a Alemania y la constante b a Brasil.
• El símbolo funcional f de índice 1 denota a la operación que recibe un país y devuelve su ciudad capital. Es decir, f (x) es la capital de x. Esto es posible dado que cada país tiene una única capital de manera que dicha asociación es funcional. En particular f (a) denota a Berlín y f (b) a Brasilia. Ejemplo 2 :

▪ De los ejemplos anteriores se observa que las fórmulas con predicados se generan de la misma manera que las fórmulas de la lógica proposicional, sólo que las fórmulas atómicas han cambiado de simples variables proposicionales a predicados que involucran términos. ▪ Veamos la gramática formal, en la que usamos el metasímbolo “|” para separar alternativas de sustitución para un mismo símbolo no terminal de manera abreviada, y el metasímbolo “.. .” para denotar “más como los anteriores”.

▪ Nuevamente cada símbolo de la categoría pred tiene asociado un número fijo de argumentos.