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ALGEBRA DE FUNCIONES
A partir de dos funciones podemos operar y construir más funciones.
Sean las funciones 𝑓, 𝑔: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ.
La suma de las funciones 𝑓 y 𝑔 es la función 𝑓 + 𝑔: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ , dada por
cuyo dominio es el conjunto
𝑓+𝑔
𝑓
𝑔
La diferencia de las funciones 𝑓 y 𝑔 es la función 𝑓 − 𝑔: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ , dada por
cuyo dominio es el conjunto
𝑓−𝑔
𝑓
𝑔
El producto de las funciones 𝑓 y 𝑔 es la función 𝑓 ⋅ 𝑔: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ , dada por
cuyo dominio es el conjunto
𝑓⋅𝑔
𝑓
𝑔
El cociente de las funciones 𝑓 y 𝑔 es la función
𝑓
𝑔
∶ 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ , dada por
𝑓
𝑔
𝑓
( 𝑥
)
𝑔
( 𝑥
)
cuyo dominio es el conjunto
𝑔
𝑓
𝑔
Ejemplo.
Sean las funciones 𝑓(𝑥) = √
𝑥 + 1 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2. Determinar todas las operaciones
con ellas.
Solución.
Se tiene que
𝑓
[
𝑔
𝑓
𝑔
[
Entonces la función suma es
𝑓+𝑔
[
La función diferencia es
𝑓−𝑔
= [− 1 , +∞⟩
La función cociente es
𝑓
𝑔
[
Conjunto Imagen
Sean la función 𝑓: 𝑋 → 𝑌 y el conjunto 𝐴 ⊂ 𝑋. La imagen del conjunto 𝐴 es el
conjunto 𝑓(𝐴) = {𝑦𝜖𝑌: 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥𝜖𝐴}.
Es decir,
o
Ejemplo.
Sea la función 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2.
Si 𝐴 =
[
]
entonces 𝑓(𝐴) =
[
]
Ejemplo.
Sean las funciones 𝑓
= 𝑥 − 2. Determinar la composición de 𝑓
con 𝑔.
Solución.
Se tiene que
𝑓
[
𝑔
𝑓
𝑔
[
El dominio de la función composición es dado por 𝐷
𝑓∘𝑔
𝑔
𝑓
[
Luego, 𝐷 𝑓∘𝑔
[
La función composición es
Observe que
𝑔∘𝑓
= [ 1 , +∞⟩
La función composición 𝑔 ∘ 𝑓 es dada por
De lo que se deduce que, en general, 𝑔 ∘ 𝑓 ≠ 𝑓 ∘ 𝑔.
Propiedades de la operación de composición de funciones
a) Propiedad asociativa de la composición de funciones. Sean las funciones 𝑓, 𝑔, ℎ.
Entonces se cumple
Sean 𝐴, 𝐵 conjuntos arbitrarios. La función identidad en 𝐴, 𝑖𝑑
𝐴
: 𝐴 → 𝐴 es tal que
𝐴
b) Si 𝑓: 𝐴 → 𝐵 entonces 𝑓 ∘ 𝑖𝑑
𝐴
c) Si 𝑔: 𝐵 → 𝐴 entonces 𝑖𝑑
𝐴
Demostración.
FUNCIONES PARES E IMPARES
Decimos que la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es par si satisface la condición
𝑓
( −𝑥
) = 𝑓
( 𝑥
) , ∀𝑥𝜖𝐷
𝑓
Ejemplo. La función 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
− 1
FUNCIONES MONOTONAS
Decimos que la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es creciente si ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷
𝑓
se cumple
𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦)
Decimos que la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es decreciente si ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 𝑓
se cumple
𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑓
( 𝑥
)
𝑓(𝑦)
Si una función es creciente o decreciente, decimos que es monótona.
Ejemplo.
La función 𝑓(𝑥) = 5 𝑥 − 2 es creciente.
En efecto, sea 𝑥 < 𝑦
Luego, 5 𝑥 < 5 𝑦
5 𝑥 − 2 < 5 𝑦 − 2
𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦)
Y en consecuencia la función es creciente.
FUNCIONES INYECTIVAS
Decimos que la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es inyectiva si ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 𝑓
se cumple
𝑥 ≠ 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦)
Es decir, una función es inyectiva si las imágenes no repiten valores.
Y en consecuencia, la función es inyectiva.
Observación.
Usando las leyes lógicas, se deduce que la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) no es inyectiva si
𝑓
tal que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦.
Propiedad
Sea 𝑓: 𝑋 → 𝑌 una función inyectiva y 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝑋. Entonces 𝑓
Demostración.
La inclusión 𝑓
es válida en general. No necesita la inyectividad
de 𝑓. La demostración ya se hizo anteriormente.
Demostremos la inclusión
Entonces 𝑓
Como la función es inyectiva se tiene 𝑎 = 𝑏.
Luego, 𝑎𝜖𝐴 ∩ 𝐵.
Es decir, ∃𝑎𝜖𝐴 ∩ 𝐵, 𝑦 = 𝑓(𝑎)
Y en consecuencia, 𝑦𝜖𝑓
Propiedad
Si 𝑓: 𝐴 → 𝐵 y 𝑔: 𝐵 → 𝐶 son tales que 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐶 es inyectiva. Entonces 𝑓 es
inyectiva.
FUNCIONES SURYECTIVAS (SOBREYECTIVAS)
Decimos que la función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es suryectiva si 𝑅 𝑓
Esto significa que todo elemento del conjunto de llegada 𝐵 es preimagen de algún
elemento de 𝐴. Es decir, dado cualquier elemento 𝑏𝜖𝐵 existe un elemento 𝑎𝜖𝐴 tal
que 𝑏 = 𝑓(𝑎).
Ejemplo
La función 𝑓: [ 0 , +∞⟩ → [ 0 , +∞⟩ tal que 𝑓(𝑥) = √
𝑥 es suryectiva.
En efecto, sea 𝑦
0
𝜖[ 0 , +∞⟩ definamos 𝑥
0
como 𝑥
0
0
2
. Entonces se tiene que
0
0
0
2
0
0
0bservacion.
Recordemos que estamos trabajando con funciones 𝑓: ℝ → ℝ. Es decir, cuando no se
mencione el conjunto de partida o de llegada de una función se asume que es el
conjunto de los números reales.
Toda función es suryectiva si se considera como conjunto de llegada el rango de la
función.
Ejemplo.
La función 𝑓(𝑥) = √
𝑥 no es suryectiva pues 𝑅
𝑓
= [ 0 , +∞⟩ mientras que el conjunto
de llegada es ℝ.
Teorema
Si 𝑓: 𝐴 → 𝐵 y 𝑔: 𝐵 → 𝐶 son tales que 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐶 es suryectiva. Entonces 𝑔 es
suryectiva.
Demostración.
Demostraremos que dado 𝑧𝜖𝐶 existe 𝑦𝜖𝐵 tal que 𝑧 = 𝑔(𝑦).
En efecto, sea 𝑧𝜖𝐶. Como 𝑔 ∘ 𝑓 es suryectiva existe 𝑥𝜖𝐴 tal que 𝑧 = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
Es decir, 𝑧 = 𝑔(𝑓
. Haciendo 𝑦 = 𝑓(𝑥) se concluye la demostración del teorema.
FUNCIONES BIYECTIVAS
Una función es biyectiva si es inyectiva y suryectiva.
FUNCIONES INVERSAS
Sea una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 biyectiva. Esto significa que a cada 𝑥 ∈ 𝐴 la función 𝑓 le
asocia un único elemento 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵. Esto permite definir una nueva función,
llamada función inversa de 𝑓, y denotada 𝑓
− 1
que a cada 𝑦 ∈ 𝐵 le asocia 𝑥 ∈ 𝐴. Es
decir
− 1
− 1
Tenemos que
Propiedades
a) 𝐷
𝑓
𝑓
𝑓
𝑓
b) 𝑓
− 1
∘ 𝑓 = 𝑖𝑑
𝐴
, donde 𝑖𝑑
𝐴
: 𝐴 → 𝐴 con 𝑖𝑑
𝐴
(𝑥) = 𝑥, ∀𝑥𝜖𝐴
c) 𝑓 ∘ 𝑓
− 1
= 𝑖𝑑
𝐵
, donde 𝑖𝑑
𝐵
: 𝐵 → 𝐵 con 𝑖𝑑
𝐵
(𝑦) = 𝑦, ∀𝑦𝜖𝐵
Proposición. Si 𝑓, 𝑔 son funciones invertibles y existe 𝑓 ∘ 𝑔 entonces 𝑓 ∘ 𝑔 es
invertible y
− 1
− 1
− 1
IMAGEN INVERSA DE UNA FUNCION
Sea la función 𝑓: 𝑋 → 𝑌. La imagen inversa del conjunto 𝐴 ⊂ 𝑌 es el subconjunto de 𝑋,
denotado con 𝑓
− 1
(𝐴) formado por todos los elementos cuya imagen está contenida en
𝐴. Es decir,
− 1
Ejemplo.
Sea la función 𝑓
𝑥
3
− 1
([
5
3
; 3 ])
Solución.
Sea 𝑥𝜖𝑓
− 1
([
5
3
; 3 ])
𝑓(𝑥)𝜖 [
; 3 ]
Por lo tanto,
− 1
([
; 3 ]) =
[
]
Propiedades
Sean los conjuntos 𝐴 ⊂ 𝑋, 𝐵, 𝐵
1
2
⊂ 𝑌. Entonces
a) 𝑥 ∈ 𝑓
− 1
b) 𝑓
− 1
c) 𝑓
− 1
1
2
− 1
1
− 1
2
d) 𝑓
− 1
1
2
− 1
1
− 1
2
e) 𝑓(𝑓
− 1
f) 𝐴 ⊂ 𝑓
− 1
- Para la función 𝑔
2
Dominio= ℝ Rango=
]
Inversa de la función 𝑔
Como la función no es inyectiva restringimos su dominio de tal manera que la función
inversa exista 𝑔:
[
[
]
− 1
]
[
[
Definida por 𝑔
− 1
- Para la función 𝑓 ∘ 𝑔
Dominio: 𝑥 ∈ 𝐷 𝑔
𝑓
2
∈ ⟨−∞ , 4 ]
Entonces 1 − 𝑥
2
2
Luego 𝐷
𝑓∘𝑔
Se tiene que 𝑅
𝑓∘𝑔
3 ]
2
2
2
