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PARA QUE ESTUDIEN Y SEAN PROFESIONALES DE EXITO
Tipo: Ejercicios
1 / 15
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Escuela académico profesional de ingeniería
mecánica
Prof. Luis Vargas Vera
Reemplazando con nuestros datos:
∫
C
y
3
ⅆ x−x
3
ⅆy
Aplicamos la derivada parcial:
P= y
3
∧ Q=−x
3
∂ x
−x
3
∂ x
=− 3 x
2
∂ y
y
3
∂ y
= 3 y
2
Reemplazamos y aplicamos coordenadas polares:
∬
D
(
∂ x
∂ y
)
∫∫
(− 3 x
2
− 3 y
2
Calculamos la integral:
∫
0
2 π
∫
0
2
2
cos
2
θ− 3 r
2
sen
2
∫
0
2 π
[
(
r
4
) ]
0
2
ⅆ θ =
∫
0
2 π
(− 12 ) ⅆθ
¿− 12 ( 2 π )=− 24 π
Autor:
Piere Alexander Cabanillas Ávila
x , y
−x
2
− y
+x
2
y=cos x desde
(
−π
)
hasta
(
π
)
y el segmento rectilíneo desde
(
π
)
hasta
(
−π
)
Solución
Primero analizaremos el dominio de la función:
Como podemos observar en el gráfico la función y=cosx, está por arriba del segmento en
todo el recorrido, por tanto, ya podemos dar los límites de integración:
0 ≤ y ≤ cos x
−π
≤ x ≤
π
Ya con los límites de integración, procedemos a usar el Teorema de Green, donde:
∫
C
∫
C
P ⅆx + Q ⅆy =
∬
D
(
∂ x
∂ y
)
Reemplazando con nuestros datos:
∫
C
−x
2
) ⅆx +(ⅇ
− y
2
) ⅆy
Aplicamos la derivada parcial:
− x
2
− y
2
y=cosx
b) ∫
− π
2
π
2
cos
2
x ⅆx , integramos:
∫
− π
2
π
2
cos
2
x ⅆx = ∫
−π
2
π
2
1 +cos 2 x
ⅆx =
x
− π
2
π
2
sen 2 x
−π
2
π
2
∫
− π
2
π
2
cos
2
x ⅆ x=
π
−π
sen ( π )
sen(−π )
π
Reemplazamos en la ecuación inicial:
∫
−π
2
π
2
x cos x ⅆx −
∫
−π
2
π
2
cos
2
x ⅆx = 2 ( 0 )−
π
−π
C está en el sentido de las manecillas del reloj, por tanto, se multiplica por “-”, para ir en
dirección contraria, entonces:
∫
−π
2
π
2
x cos x ⅆx −
∫
−π
2
π
2
cos
2
x ⅆx
π
Autor:
Luis Felipe Arbulú Quispe
Demuestre que cualquier campo vectorial de la forma
F ( x , y , z )=f ( y , z ) i+ g ( x , z ) j+h ( x , y ) k
es incompresible.
Solución:
Se dice que F es un campo vectorial incompresible si la divergencia de dicho
campo es igual a cero, es decir, ¿ F= 0
Sabiendo que,
, donde
es un operador diferencial vectorial con
componentes:
∂ x
∂ y
y
∂ z
entonces.
(
∂ x
∂ y
∂ z
)
f ( y , z ) , g ( x , z ) , h ( x , y )
∂(f ( y , z ))
∂ x
∂( g ( x , z ))
∂ y
∂ (h ( x , y ) )
∂ z
En este caso la función f ( y , z ) no depende de x , por tanto
∂( f ( y , z ))
∂ x
será igual a
cero. Del mismo modo ocurre en las otras funciones, donde,
g ( x , z ) no depende de
y y
h ( x , y )no depende de z, por lo que
∂(g ( x , z ))
∂ y
y
∂(h ( x , y ) )
∂ z
serán iguales a cero.
Entonces nuestra ecuación se reduciría a:
Por lo tanto, cualquier campo vectorial de la forma
F ( x , y , z )=f ( y , z ) i+ g ( x , z ) j+h ( x , y ) k
Será incompresible.
F × G=i
|
1
1
2
2
|
− j
|
1
1
2
2
|
+k
|
1
1
2
2
|
1
2
2
1
i−
1
2
2
1
j+
1
2
2
1
k
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
Reemplazamos
(
∂ x
∂ y
∂ z
)
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
∂ x
2
1
∂ x
2
1
∂ y
1
2
∂ y
1
2
∂ z
2
1
∂ z
Por regla de derivación de un producto, tenemos
1
∂ x
2
∂ x
2
1
∂ x
1
2
∂ x
2
1
∂ y
1
2
∂ y
1
2
∂ y
2
1
∂ y
1
Agrupando obtenemos
2
(
1
∂ y
1
∂ z
)
2
(
1
∂ z
1
∂ x
)
2
2
2
2
¿ ( F ×G )=G .rot F−F. rot G
Queda demostrado la identidad.
Autor:
Harrison Alexis Contreras Chunga
Encuentre el área de la superficie de la parte del cono z= √
x
2
2
que está entre el plano
y=x y el cilindro y=x
2
Solución:
Gráfica:
Gráfica 1. Vista 3D de las superficies.
Gráfica 2. Superficies, y=x y y=x
2
en el plano XY.
∫
0
1
∫
x
2
x
√
1 + 1 dydx=
∫
0
1
∫
x
2
x
√
2 dydx
∫
0
1
√
x
2
x
dx = ∫
0
1
√
2 x − √
2 x
2
) dx= √
∫
0
1
xdx − √
∫
0
1
x
2
dx
√
x
2
|
0
1
√
x
3
|
0
1
√
Entonces:
√
Autor:
Jeison Barturen Bustamante
Encuentre el área de superficie de la parte de la superficie y= 4 x +z
2
que se encuentra entre
los planos
x= 0 ,
x= 1 ,
z= 0 y
z= 1 .
Solución:
Primero, resulta de gran ayuda realizar una gráfica en GeoGebra para poder entender mejor
lo que el problema nos pide:
Con ayuda del gráfico podemos observar mejor la región en la que se quiere obtener el
área.
Segundo, parametrizaremos la superficie:
La superficie es: y= 4 x + z
2
Elegimos parámetro: x=t y z=u, entonces nuestra superficie parametrizada es:
2
Tercero, recordamos la expresión matemática para encontrar el área de superficie y
calculamos los elementos necesarios en nuestro caso:
dS= |
r
t
×r
u
|
dA
∬
R
|
r
t
× r
u
|
dA
r
t
