Logica matematica, Apuntes de Lógica

¡Descarga Logica matematica y más Apuntes en PDF de Lógica solo en Docsity!

Carlos Ivorra Castillo

L

OGICA MATEM

ATICA

Indice General

• 1 L´ogica de primer orden Introducci´on a la l´ogica matem´atica ix
• Cap´ıtulo I: Lenguajes y modelos
  • 1.1 Estructuras
  • 1.2 Lenguajes formales y modelos
  • 1.3 Expresiones, t´erminos y f´ormulas
  • 1.4 Variables libres y ligadas
  • 1.5 Sustituci´on
  • 1.6 F´ormulas verdaderas y falsas
  • 1.7 Consideraciones finales
• Cap´ıtulo II: El c´alculo deductivo
  • 2.1 Reglas de inferencia sem´anticas
  • 2.2 Sistemas deductivos formales
  • 2.3 Reglas derivadas de inferencia
  • 2.4 Algunos teoremas l´ogicos
  • 2.5 Consideraciones finales
• Cap´ıtulo III: Teor´ıas axiom´aticas
  • 3.1 Consistencia y completitud
  • 3.2 La teor´ıa b´asica de conjuntos
  • 3.3 La teor´ıa de Zermelo
  • 3.4 Interpretaciones de teor´ıas
  • 3.5 Descriptores
• Cap´ıtulo IV: La completitud sem´antica
  • 4.1 Conjuntos maximalmente consistentes
  • 4.2 La prueba del teorema de completitud
  • 4.3 Consecuencias del teorema de completitud
  • 4.4 Consideraciones finales

INDICE GENERAL vii

3 Teor´ıas de conjuntos 353

Cap´ıtulo X: Clases y conjuntos 355

10.1 La aritm´etica de segundo orden................... 356

10.2 La equivalencia entre AP 2 y Z num

10.3 La teor´ıa de conjuntos ZF

∗

..................... 382

10.4 Las teor´ıas de conjuntos NBG

∗

y MK

∗

............... 386

Cap´ıtulo XI: Los axiomas restantes de la teor´ıa de conjuntos 401

11.1 El axioma de infinitud........................ 401

11.2 El axioma de partes......................... 413

11.3 El axioma de regularidad I...................... 416

11.4 Relaciones bien fundadas...................... 423

11.5 El axioma de regularidad II..................... 431

11.6 El axioma de elecci´on........................ 433

Cap´ıtulo XII: Las teor´ıas de conjuntos ZFC y NBG 441

12.1 Relaci´on con KP........................... 443

12.2 La formalizaci´on de la l´ogica en ZF y KP............. 451

12.3 Consistencia e independencia del axioma de regularidad..... 466

12.4 Teor´ıas de conjuntos con ´atomos.................. 474

12.5 El teorema de reflexi´on........................ 479

12.6 Consideraciones finales........................ 482

Ap´endice A: El c´alculo secuencial de Gentzen 485

A.1 Conceptos y resultados b´asicos................... 486

A.2 Consistencia y completitud..................... 498

A.3 La aritm´etica de Peano....................... 505

A.4 Eliminaci´on de cortes......................... 507

A.5 La formalizaci´on del c´alculo secuencial............... 520

A.6 La reflexividad de AP........................ 526

A.7 Funciones demostrablemente recursivas............... 530

Ap´endice B: Conceptos elementales de la teor´ıa de conjuntos 539

B.1 Definiciones b´asicas.......................... 539

B.2 Otros conceptos conjuntistas.................... 545

B.3 La jerarqu´ıa de L´evy......................... 546

Bibliograf´ıa 549

Indice de Materias 551

x Introducci´on a la l´ogica matem´atica

Todos los espanoles˜ son europeos,

Shakespeare no era espa˜nol,

luego Shakespeare no era europeo.

no es un razonamiento v´alido,

1 pues las premisas son verdaderas y, pese a ello, la

conclusi´on es falsa. Aqu´ı es crucial entender que, para que un razonamiento sea

v´alido, (si parte de premisas verdaderas) no basta con que sus conclusiones sean

verdaderas, sino que tienen que ser necesariamente verdaderas. Por ejemplo, el

razonamiento siguiente no es v´alido:

Todos los perros tienen cuatro patas,

Una gallina no es un perro,

luego Una gallina no tiene cuatro patas.

Es cierto que las gallinas no tienen cuatro patas, pero esto no podemos ase-

gurarlo por el mero hecho de que las premisas sean verdaderas. Si las gallinas

tuvieran cuatro patas, las premisas seguir´ıan siendo ciertas, pero la conclusi´on

no lo ser´ıa.

Esto nos lleva a que la validez o invalidez de un razonamiento no depende

realmente de si las afirmaciones que involucra son verdaderas o falsas, pues

s´olo requiere que en el supuesto (que puede darse o no) de que sus premisas

fueran verdaderas, su conclusi´on tambi´en lo ser´ıa (sin perjuicio de que tanto las

premisas como la conclusi´on pudieran ser falsas). Por ejemplo, el razonamiento

siguiente es correcto:

Todos los espa˜noles son americanos,

Moli`ere era espa˜nol,

luego Moli`ere era americano.

Aqu´ı, tanto las premisas como la conclusi´on son falsas, pero el razonamiento es

v´alido porque si las premisas fueran verdaderas la conclusi´on tambi´en tendr´ıa

que serlo.

Y si la validez o invalidez de un razonamiento no depende de si las afirma-

ciones que involucra son verdaderas o falsas, ¿de qu´e depende entonces? La

respuesta es que de la forma de las afirmaciones involucradas. Para entender

esto consideremos la tabla siguiente:

1. Todo A es B 2) Todo A es B 3) Todo A es B

C es A C no es A C no es B

luego C es B luego C no es B luego C no es A

La casilla 1) contiene un ejemplo de forma de razonamiento v´alida. Quiere

decir que cualquier razonamiento que tenga esa forma, independientemente de

qu´e palabras pongamos en lugar de A, B o C, ser´a v´alido. De los cuatro ejemplos

de razonamientos (v´alidos o no) que hemos visto m´as arriba, el primero y el

cuarto tienen esta forma. En cambio, el segundo y el tercero tienen la forma

1 Notemos que un razonamiento inv´alido o, mejor dicho, un razonamiento falaz, no es

realmente un razonamiento, en el mismo sentido en que una pistola falsa no es una pistola.

xi

de la casilla 2), por lo que, seg´un hemos podido comprobar, 2) no es una forma

v´alida de razonamiento. El hecho de que las premisas de 2) sean ciertas no nos

ofrece garant´ıa alguna de que su conclusi´on vaya a serlo tambi´en. Puede ser

que s´ı (como en el caso de las gallinas) o puede ser que no (como en el caso de

Shakespeare). Por otra parte, la casilla 3) contiene una forma de razonamiento

que, superficialmente, se parece m´as a la de 2) que a la de 1) y, sin embargo, es

una forma v´alida de razonamiento al igual que 1) y al contrario que 2).

Llegados a este punto podemos destacar un hecho fundamental: no corres-

ponde a la l´ogica “definir” lo que es un razonamiento v´alido. Las formas v´alidas

de razonamiento son las que son, y no estamos en posici´on de decidir cu´ales

queremos dar por buenas y cu´ales no. El prop´osito de la l´ogica es m´as bien

“capturar” el razonamiento, dar criterios precisos que nos permitan distinguir

con claridad los razonamientos propiamente dichos de las falacias que aparen-

tan serlo. La palabra t´ecnica en lugar de ese “capturar” que hemos empleado

es “formalizar”. Formalizar un razonamiento es expresarlo de tal modo que se

pueda justificar que es v´alido atendiendo unicamen´ te a la forma de las afirma-

ciones involucradas, sin necesidad de considerar para nada, no ya si ´estas son

verdaderas o falsas, sino siquiera su posible significado.

La idea de que esto es posible, es decir, que es posible distinguir los razo-

namientos de las falacias mediante criterios puramente formales, sin analizar el

significado de las afirmaciones involucradas, se remonta a Arist´oteles, aunque ´el

s´olo estudi´o una clase muy particular de razonamientos, los llamados silogismos.

Sin embargo, esta idea recibi´o un nuevo impulso siglos m´as tarde, por parte de

Leibniz y m´as tarde de Boole, De Morgan, Frege, etc., matem´aticos que, cada

cual a su manera, trataron de crear un “c´alculo deductivo”, es decir, un proce-

dimiento para generar y verificar razonamientos de forma “mec´anica”, similar

a los c´alculos mec´anicos que hace el algebrista cuando aplica sistem´aticamente

las reglas de la aritm´etica.

Es muy probable que la posibilidad de “mecanizar” el razonamiento l´ogico

no hubiera pasado de ser una parte marginal y anecd´otica dentro de lo que

son las matem´aticas (como, en efecto, sucedi´o durante mucho tiempo) de no

haber sido porque en un momento dado los matem´aticos se encontraron con

que necesitaban el auxilio de la l´ogica por una cuesti´on de “vida o muerte”.

Paradojas en la teor´ıa de conjuntos A lo largo de la historia, los ma-

tem´aticos han trabajado en numerosas ocasiones con conceptos que no sab´ıan

precisar con exactitud: los griegos hablaban de n´umeros “irracionales” y al

mismo tiempo se cuestionaban si exist´ıan realmente, los algebristas renacentis-

tas hablaban de n´umeros “imaginarios” con m´as fe que raz´on, los analistas de

los siglos XVII y XVIII hablaban de cantidades “infinitesimales” sin ser capaces

de explicar muy bien si eran cero o no eran cero, etc. A lo largo del siglo XIX

se inici´o un proceso de fundamentaci´on de la matem´atica en la que estos con-

ceptos “confusos” fueron clarific´andose paulatinamente, y todo parec´ıa ir bien

hasta que Georg Cantor desarroll´o la teor´ıa de conjuntos, es decir, una teor´ıa

matem´atica sobre la noci´on general de “conjunto”, en el sentido de “colecci´on de

xiii

forma m´as simple de resolver la llamada “paradoja de Russell” es sencillamente

olvidarse de ella y hablar ´unicamente de cosas sensatas.

El problema de esta “soluci´on” es que, como ya hemos indicado, la paradoja

de Russell surge al destilar, al eliminar el contenido propiamente matem´atico,

de las contradicciones que de hecho surg´ıan en la teor´ıa de Cantor, cuyo plan-

teamiento y contexto no ten´ıa nada de “insensato”, por lo menos a simple vista.

Por ejemplo, aunque no estamos en condiciones de entrar ahora en deta-

lles, Cantor defini´o unos “n´umeros infinitos” llamados ordinales que sirven para

“contar” conjuntos infinitos, igual que los n´umeros naturales permiten contar

conjuntos finitos. De hecho, los numeros´ naturales son los primeros ordinales,

pero la sucesi´on de los ordinales se prolonga mucho m´as all´a:

0 , 1 , 2 ,... ω, ω + 1 ,... ω · 2 , ω · 2 + 1 ,...

En la teor´ıa de Cantor ten´ıa perfecto sentido contar todos los numeros´ natu-

rales, y el resultado era el ordinal ω, pero igualmente ten´ıa sentido considerar el

ordinal Ω que resulta de contar todos los ordinales. Ahora bien, por una parte,

pod´ıa probarse que todo ordinal tiene un siguiente, luego podr´ıamos considerar

el ordinal Ω + 1 > Ω, pero por otro lado, siendo Ω el ordinal del conjunto de

todos los ordinales y siendo Ω + 1 uno de dichos ordinales, se pod´ıa probar que

Ω + 1 ≤ Ω. Esta paradoja se conoce como “antinomia de Burali-Forti”, y no

es un juego de palabras (como podr´ıa pensarse que lo es “el conjunto de todos

los conjuntos que no se pertenecen a s´ı mismos”), sino que pone en cuesti´on si

realmente tiene sentido toda la teor´ıa de ordinales cantoriana, la cual est´a “per-

fectamente” justificada si admitimos la posibilidad de razonar sobre conjuntos

arbitrarios.

La importancia de contradicciones como ´esta es que ponen en cuesti´on si la

teor´ıa de conjuntos es realmente una teor´ıa matem´atica o son meras palabras sin

significado. En efecto, es f´acil construir frases coherentes pero que en realidad

no hagan referencia a nada. Eso es lo que se conoce como un relato de ficci´on. Si

un autor escribe un relato hist´orico en el que se preocupa por ser absolutamente

fiel a los hechos, es imposible que incurra en contradicci´on alguna: pues el

relato s´olo contendr´a hechos verdaderos y un hecho y su negaci´on no pueden ser

ambos verdaderos. En cambio, un autor de un relato de ficci´on puede, si quiere,

escribir en una p´agina que James Bond es rubio y en la p´agina siguiente que

James Bond es moreno. Es lo que tiene el hablar de algo (James Bond) que no

es realmente nada m´as que palabras. Desde el momento en que una narraci´on

sobre James Bond no tiene ninguna realidad a la que poder ajustarse, nada

impide que incurra en contradicciones. El problema es ¿le pasa eso a la teor´ıa

de conjuntos? ¿Es Ω como James Bond, un mero “personaje de ficci´on” del que

no podemos hablar coherentemente porque no corresponde a realidad alguna?

Ahora puede verse mejor la importancia de la paradoja de Russel, porque

el problema es si cuando los matem´aticos hablan de conjuntos (porque siguen

hablando de conjuntos m´as o menos en los mismos t´erminos en los que Cantor

hablaba de conjuntos) est´an hablando de algo objetivo o no. Porque si existe

un concepto objetivo de “conjunto”, respecto al cual una afirmaci´on cualquiera

puede ser verdadera o puede ser falsa, pero no las dos cosas a la vez, entonces

xiv Introducci´on a la l´ogica matem´atica

una teor´ıa sobre dichos conjuntos deber´ıa consistir unicamen´ te en afirmaciones

verdaderas sobre conjuntos, y consecuentemente no podr´ıa dar lugar a contra-

dicciones. Pero resulta que si pudi´eramos especificar qu´e debemos entender

exacta y objetivamente por “conjunto”, de tal forma que los conjuntos fueran

unos objetos concretos (en el sentido m´as abstracto de la palabra “objeto”) y

de forma que, para dos cualesquiera de ellos, A y B, la relaci´on A ∈ B estuviera

perfectamente determinada, y pudiera ser verdadera o falsa, pero no ambas co-

sas, entonces la pregunta de si existe o no un conjunto que contiene a todos

los conjuntos que no se pertenecen a s´ı mismos tendr´ıa que tener una respuesta

precisa, afirmativa o negativa, pero no deber´ıa dar lugar a una contradicci´on.

Los n´umeros naturales Antes de abordar el problema que acabamos de

plantear, conviene considerar otro m´as simple que nos sirva de referencia. En

lugar de preguntarnos hasta qu´e punto podemos decir que sabemos de qu´e habla-

mos cuando hablamos de conjuntos, vamos a considerar la cuesti´on cambiando

“conjunto” por “n´umero natural”. Es seguro que el lector sabe lo que son los

numeros´ naturales:

donde los puntos suspensivos tienen aqu´ı un significado muy concreto que abre-

viamos por no aburrir al lector con lo que ya sabe: son el criterio que permite

prolongar indefinidamente la sucesi´on cuyos primeros t´erminos hemos presen-

tado. El lector sabe que el t´ermino siguiente es el 6, y puede escribir los mil

t´erminos siguientes si se lo propone, y es consciente de que, en teor´ıa, puede

prolongarla sin vacilar tanto como se lo proponga.

El lector conoce tambi´en muchas propiedades objetivas de los n´umeros na-

turales, como el hecho de que se pueden sumar y multiplicar, que se pueden

comparar (decir cu´al de dos dados es mayor que el otro), que hay n´umeros que

son primos y otros que no lo son, etc. As´ı, por ejemplo, tiene perfecto sentido

plantearse si 65 537 es o no primo y, si el lector no sabe la respuesta, sabe que

puede comprobarlo mediante un proceso que da la respuesta en un tiempo finito.

Y es absolutamente imposible que dos personas que sepan lo que est´an haciendo

lleguen a conclusiones distintas sobre si 65 537 es o no primo (salvo que una co-

meta un error en sus c´alculos, en cuyo caso deber´ıa reconocerlo sin dificultad

en cuanto alguien se lo se˜nalara). En suma, podemos hablar objetivamente de

los n´umeros naturales. Cualquier afirmaci´on sobre numeros´ naturales (que no

involucre conceptos “dudosos” ajenos a ellos) tiene que ser verdadera o falsa, y

lo m´as importante es que podemos afirmar que esto es as´ı independientemente

de que tengamos medios o no para comprobar cu´al es el caso. Para entender

esto ultimo´ consideremos el ejemplo de la conjetura de Goldbach:

Todo n´umero par mayor que 2 es suma de dos numer´ os primos.

Actualmente no se sabe si esto es cierto o no, pero s´ı que sabemos lo que

significa que sea cierto: podemos constatar que

xvi Introducci´on a la l´ogica matem´atica

ejemplo, podemos decir que la suma de n´umeros naturales es conmutativa, es

decir, que si a y b son dos n´umeros naturales, la suma a + b tiene que dar

necesariamente lo mismo que la suma b + a, y esto lo sabemos porque la suma

no es meramente una definici´on escrita en un papel, sino una operaci´on concreta

que podemos hacer con n´umeros concretos, y nuestro conocimiento preciso de

qu´e es lo que hacemos cuando sumamos dos n´umeros (no ninguna “corazonada”

o “inspiraci´on”, como entender´ıa quien interpretara la palabra “intuici´on” en

un sentido peyorativo o coloquial y no en el sentido t´ecnico preciso que aqu´ı le

estamos dando) nos garantiza que el resultado de una suma no va a depender

del orden en que dispongamos los sumandos.

A su vez, si partimos de premisas intuitivamente verdaderas sobre los n´ume-

ros naturales, tenemos la garant´ıa de que nunca podremos llegar a razonar una

contradicci´on, porque todo lo que digamos ser´an afirmaciones verdaderas sobre

lo que podemos hacer manipulando los n´umeros naturales, y una afirmaci´on

cualquiera sobre los n´umeros naturales puede ser verdadera o falsa, pero no

ambas cosas. Por ejemplo, nuestra intuici´on da un significado preciso a la con-

jetura de Goldbach, pero no alcanza para determinar si es verdadera o falsa.

Cualquiera puede decir: “es evidente que la suma de numeros´ naturales es con-

mutativa”, pero no tiene ning´un fundamento decir “es evidente que la conjetura

de Goldbach es verdadera”. La primera afirmaci´on no tiene car´acter “m´ıstico”,

sino que se basa en nuestro conocimiento sobre lo que hacemos al sumar numeros´

naturales. Por ejemplo, si observamos la figura siguiente:

nos convencemos de que 4 + 3 = 3 + 4, porque si contamos los puntos de

izquierda a derecha o de derecha a izquierda estamos contando en cualquier

caso los mismos puntos y, lo m´as importante, nos damos cuenta de que este

razonamiento no depende para nada de si hemos dibujado 4 y 3 puntos o bien

1 537 y 299, por lo que vale para cualquier par de n´umeros. Por el contrario, el

proceso que a partir del 28 nos lleva a encontrar la descomposici´on 28 = 5 + 23

en suma de primos no es generalizable, es decir, no nos da ninguna garant´ıa de

que nos permitir´a encontrar una descomposici´on similar si en lugar de partir del

28 partimos del 35 266.

Si la matem´atica se redujera al estudio de los n´umeros naturales, disponer de

un c´alculo deductivo formal para realizar con ´el los razonamientos matem´aticos

ser´ıa algo, m´as o menos interesante, pero sin duda innecesario. Para razonar

sobre numeros´ naturales es suficiente con garantizar que hablamos ´unicamente

de conceptos con un significado preciso (no vale hablar de n´umeros “no dema-

siado grandes”, sin m´as precisi´on) y cuidando de que todo lo que digamos sea

intuitivamente verdadero o consecuencia l´ogica de afirmaciones intuitivamente

verdaderas.

Conceptos abstractos Pero la matem´atica no se reduce al estudio de los

numeros´ naturales, y los matem´aticos se han visto abocados a considerar cada

vez conceptos m´as y m´as abstractos, hasta llegar al que, en cierto sentido, se

puede considerar el m´as abstracto de todos: el concepto de “conjunto”.

xvii

La pregunta que se plantea entonces es si podemos hablar de conjuntos en ge-

neral con la misma objetividad con la que podemos hablar de n´umeros naturales

o, dicho de otro modo, ¿el concepto de “conjunto” es como el de “cubo de tres

dimensiones” o como el de “cubo de cuatro dimensiones”? Lo primero supone

que cuando hablamos de conjuntos podemos asignar un significado objetivo a

nuestras afirmaciones, de manera que podemos cuidar de tomar como premi-

sas ´unicamente afirmaciones intuitivamente verdaderas y tener as´ı la garant´ıa

de que no podemos incurrir en contradicciones en nuestros razonamientos, pues

´estos nos llevar´an ´unicamente a afirmaciones intuitivamente verdaderas (aunque

muchas de ellas no sean intuitivamente evidentes). Lo segundo supone que po-

demos pensar en conjuntos, pero sin ninguna garant´ıa de que lo que afirmemos

sobre ellos sean m´as que meras palabras, como cuando decimos que James Bond

es un agente secreto brit´anico, pero no ruso.

En este punto nos encontramos con argumentos contrapuestos. Por una

parte, es evidente que NO disponemos de un concepto intuitivo preciso de “con-

junto”, porque si los t´erminos “conjunto” y, consiguientemente, “pertenencia”

tuvieran un significado objetivo preciso, no podr´ıamos llegar a una contradicci´on

considerando el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a s´ı mis-

mos.

Por otro lado, no es menos evidente que s´ı que tenemos un conocimiento

intuitivo preciso de determinados conjuntos, como el conjunto N de los n´umeros

naturales, o del conjunto P de los n´umeros primos, y podemos decir objeti-

vamente que 5 ∈ P , pero que 8 ∈/ P. Este hecho lleva a muchos a pensar

ingenuamente

4 que el concepto de “conjunto” es como el de “n´umero natural”,

algo que “est´a ah´ı” en el sentido de que podemos hablar objetivamente sobre

los conjuntos como hablamos sobre los n´umeros naturales, pero en este punto

es preciso caer en la cuenta de un hecho muy sutil, pero fundamental:

El hecho de que podamos aplicar con pleno sentido un concepto a

ciertos objetos completamente determinados por la intuici´on no im-

plica necesariamente que dicho concepto tenga en general un conte-

nido intuitivo.

Por ejemplo, sabemos perfectamente lo que estamos diciendo cuando decimos

que el conjunto P de los n´umeros primos es un conjunto y que 5 ∈ P , pero eso

no significa que tengamos un concepto general de “conjunto” bien definido, y

mucho menos con un contenido intuitivo.

Quiz´a otros ejemplos ayuden a entender esto. Si hablamos de “el menor

numero´ natural que puede expresarse como producto de tres primos distintos”,

estamos hablando sin duda alguna de 2 · 3 · 5 = 30.

Esta es una posible definici´on

del n´umero 30. En cambio, no podemos decir que estamos definiendo un numero´

al hablar de “el menor n´umero natural que hubiera sido primo si 8 lo fuera”. Eso

no tiene ni pies ni cabeza, y sabemos distinguir si una “definici´on” es realmente

una definici´on o si s´olo aparenta serlo, pero no lo es. Al menos, esto es as´ı

si convenimos en que en cuanto una definici´on deja lugar a dudas es que no es

4 Sin perjuicio de que otros puedan llegar a la misma conclusi´on no ingenuamente.

xix

Similarmente, cuando afirmamos que existe un primo que cumple X, esto

significa que 2 cumple X o 3 cumple X o 5 cumple X, y que, si continuamos

avanzando por la sucesi´on de los primos, tarde o temprano encontraremos uno

que cumpla X. Nuevamente, esto tiene un sentido objetivo tanto si sabemos

como comprobar que es as´ı como si no. M´as a´un, tiene sentido objetivo incluso

si no sabemos c´omo comprobar si un primo dado cumple o no X (pero sabemos

lo que esto significa).

Un ejemplo para entender esto ´ultimo: Tomemos como X la propiedad “ser

diferencia de dos n´umeros primos”. Podemos preguntarnos si todo n´umero par

tiene la propiedad X. Por ejemplo,

ahora imaginemos que llegamos a un n´umero par p para el que no encontramos

un par de primos que cumplan X. Eso no significa que no existan, porque los

dos primos pueden ser arbitrariamente grandes. Tal vez nos quedemos con la

duda de si p tiene o no la propiedad X, pero o la tiene o no la tiene. Si no la

tiene, ya podemos asegurar que es falso que todo numero´ par tiene la propiedad

X, y si la tiene habr´ıa que seguir buscando por si falla otro. Tal vez nunca

sepamos qu´e pasa a partir de p, pero eso no desmiente que la afirmaci´on “todo

numero´ par es diferencia de dos primos” es objetivamente verdadera o falsa.

Consideremos ahora el concepto de “sucesi´on infinita de numeros´ naturales”.

Conocemos muchos ejemplos concretos de tales sucesiones. Por ejemplo, la

sucesi´on constante igual a 7:

la propia sucesi´on de los n´umeros naturales:

la sucesi´on n

2

• n + 1:

y as´ı infinitas m´as. Sabemos lo que decimos cuando decimos que cualquiera

de ellas es una sucesi´on infinita de n´umeros naturales, podemos hablar objeti-

vamente de cualquiera de ellas, pero ¿sabemos lo que decimos si hacemos una

afirmaci´on sobre la totalidad de sucesiones infinitas de numeros´ naturales? ¿Po-

demos decir objetivamente que toda afirmaci´on sobre la totalidad de sucesiones

infinitas de n´umeros naturales es verdadera o falsa?

Los matem´aticos discrepan en la respuesta a esta pregunta, pero en general

coinciden en que, si la respuesta fuera afirmativa, no es evidente que lo sea, por

lo que en ning´un caso es algo en lo que podamos apoyarnos sin m´as justificaci´on.

Volveremos sobre esto un poco m´as adelante, pero de momento qued´emonos al

menos con que no podemos decir “alegremente” que sabemos de qu´e hablamos

cuando hablamos de “todas las sucesiones infinitas de n´umeros naturales”.

xx Introducci´on a la l´ogica matem´atica

Teor´ıas axiom´aticas En cuanto se vieron enfrentados a las paradojas de la

teor´ıa de conjuntos, los matem´aticos no necesitaron ninguna de las reflexiones

precedentes para convencerse de que la soluci´on a todos sus problemas era una

teor´ıa axiom´atica. Para entender c´omo una teor´ıa axiom´atica “arregla” los

problemas de la teor´ıa de conjuntos, vamos a considerar primero el caso m´as

tangible bajo la hip´otesis de que s´olo estuvi´eramos interesados en razonar sobre

numeros´ naturales.

El primer intento de analizar deductivamente nuestro conocimiento sobre los

numeros´ naturales se debe a Peano, quien propuso los cinco axiomas siguientes

como ´unicas premisas de los razonamientos sobre n´umeros naturales:

1. El cero es un n´umero natural.
2. Todo n´umero natural tiene un siguiente (que es otro n´umero natural).
3. El cero no es el siguiente de ning´un n´umero natural.
4. N´umeros naturales distintos tienen siguientes distintos.
5. (Principio de inducci´on) Si el cero tiene una propiedad P y cuando un

n´umero natural tiene la propiedad P tambi´en la tiene su siguiente, entonces

todo n´umero natural tiene la propiedad P.

El punto d´ebil de estos axiomas, as´ı expresados, es qu´e debemos entender

por propiedad P. Obviamente tiene que ser una propiedad “bien definida”, una

propiedad que no deje lugar a dudas sobre qu´e significa que un numero´ la tenga o

no (lo cual no es lo mismo que exigir que haya un procedimiento que nos permita

saber en la pr´actica si la tiene o no). Pero puede objetarse que, como ya hemos

comentado, no tenemos una definici´on rigurosa de “propiedad bien definida”.

Esta objeci´on no es del todo justa, pues, como tambi´en hemos comentado, el

hecho de que no sepamos definir “propiedad bien definida” no est´a re˜nido con

que sepamos reconocer muchas propiedades que est´an bien definidas sin lugar a

dudas, a las cuales podemos aplicar tranquilamente el principio de inducci´on.

De todos modos, podemos precisar algo m´as el modo en que debe entenderse

el axioma 5. Podr´ıamos pensar en considerar ´unicamente las propiedades que

pueden definirse a partir de los conceptos de “cero” y “siguiente”, pero esto es

demasiado pobre. Para ir por ese camino debemos a˜nadir algunos hechos b´asicos

a los axiomas de Peano. Si, por abreviar, usamos la letra S para referirnos al

siguiente de un n´umero natural y los signos + y · para nombrar la suma y el

producto, como es habitual, los nuevos axiomas son:

6. Sobre los n´umeros naturales hay definida una suma, de modo que la suma

de dos n´umeros naturales es un numero´ natural, y adem´as:

x + 0 = x, x + Sy = S(x + y).

7. Sobre los n´umeros naturales hay definido un producto, de modo que el

producto de dos n´umeros naturales es un n´umero natural, y adem´as:

x · 0 = 0 , x · Sy = x · y + x.