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Propiedades de las funciones logarítmicas Introducción En tus estudios del álgebra, te has topado con muchas propiedades, como la conmutativa, la asociativa y la distributiva. Estas propiedades te ayudan a simplificar una expresión o una ecuación complicada. Lo mismo sucede con los logaritmos. Hay un grupo de propiedades que te ayudan a simplificar expresiones complejas de logaritmos. Como los logaritmos se relacionan estrechamente con las expresiones exponenciales, no es de sorprender que las propiedades de los logaritmos se parezcan a las propiedades de los exponentes. Como un recordatorio, aquí están las propiedades de los exponentes.
1. Logaritmo de un producto Recuerda que las propiedades de los exponentes y logaritmos son muy similares. Con los exponentes, para multiplicar números con la misma base, sumas los exponentes. Con los logaritmos, el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos: log b ( MN ) = log b M + log b N Ejemplo : Ejemplo 2 log 3 (9 x ). log 3 (9 x ) = log 3 9 + log 3 x log 3 9 + log 3 x = log 3 32 + log 3 x = 2 + log 3 x log 3 (9 x ) = 2 + log 3 x Simplifica cada sumando, si es posible. En este caso, puedes simplificar ambos sumandos. Reescribe log 2 4 como log 2 22 y log 2 8 como log 2 23 , luego usa la propiedad log b bx^ = x. O, reescribe log 2 4 = y como 2y^ = 4 para encontrar y = 2 y log 2 8 = y como 2y^ = 8 para encontrar y = 3. Usa el método que más tenga sentido para ti. Simplifica cada sumando, si es posible. En este caso, puedes simplificar log 3 9 pero no log 3 x. Reescribe log 3 9 como log 3 32 , luego usa la propiedad log b bx^ = x. O, simplifica log 3 9 convirtiendo log 3 9 = y a 3y^ = 9 y encuentra que y = 2. Usa el método que más tenga sentido para ti.
2. Logaritmo de un cociente
Puedes usar la similaridad entre las propiedades de los exponentes y los logaritmos para encontrar la propiedad para el cociente de un logaritmo. Con los exponentes, para multiplicar dos números con la misma base, sumas los exponentes. Para dividir dos números con la misma base, restas los exponentes. ¿Cuál crees que es la propiedad para el logaritmo de un cociente? Como seguramente sospechaste, el logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos. Ejemplo : log 2 = log 2 x – log 2 2 = log 2 x – 1
3. Logaritmo de una potencia
La propiedad faltante de los exponentes es la potencia de una potencia:
. La similaridad con el logaritmo de una potencia es un poco más difícil de ver. Ejemplo: log 394. log 3 94 = 4 log 3 9 4 log 3 9 = 4• log 3 94 =^ 8 La primera expresión no puede simplificarse más. Sin embargo, la segunda expresión sí. ¿Qué exponente en la base (2) da un resultado de 2? Como 2^1 = 2, sabes que log 2 2 = 1. Podrías encontrar 9^4 , pero eso no haría más fácil simplificar el logaritmo. Usa la propiedad de la potencia para reescribir log 3 94 como 4log 3 9. Podrías reconocer que 32 = 9, log 3 9 = 2
5. Logaritmos uno El logaritmo de la base es igual a 1. logb (b) = 1 ; con b ≠ 1. Ej: log 5 ( 5 ) = 1 ⇔ 51 = 5 log 6 ( 6 ) = 1 ⇔ 61 = 6 6. Logaritmo cambio de base Se utiliza para cambiar la base de logaritmos. El cambio de la fórmula baja es . Cuando los logaritmos primero fueron inventados, no había calculadoras. Los matemáticos y los astrónomos utilizaron los libros publicados con las tablas de logaritmos. Cada tabla tenía exactamente una base. Para encontrar un logaritmo con otra base, utilizaron el cambio de la fórmula baja. Hoy, la mayoría de las calculadoras y de los programas de computadora basados matemáticas tienen logaritmos en dos bases: base 10 y base e. Para encontrar un logaritmo en cualquier otra base, una debe utilizar el cambio de la fórmula baja. Solucione log 24. Cheque Solucione log 522. Cheque
7. Logaritmo Regla de la Cadena
