logica matematica parte dos, Apuntes de Lógica Matemática

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Modelos Discretos para Ingeniería

Ing. Washington Loza H. Mgs.

Departamento de Ciencias de la Computación

May 2023 - Sep 2023

Relación y Combinaciones

Se puede pensar en una relación de un conjunto a otro como en una tabla que

lista los elementos del primer conjunto que se relacionan con los elementos del

segundo conjunto.

Dados 2 conjuntos no vacíos A y B , una relación R es un conjunto de pares ordenados donde el primer elemento a está relacionado con el segundo elemento b por medio de cierta propiedad o característica. La relación se indica^ aRb :

R = {(a,b) | a Є A y b Є B}

Una relación podría representarse como una tabla que muestra la correspondencia de unos elementos con respecto a otros. Por ejemplo:

• Una relación (binaria) R de un conjunto X a un conjunto Y es un subconjunto del

producto cartesiano X × Y. Si (x, y) ∈ R, se escribe xRy , y se dice que x está

relacionada con y. Si X = Y, R se llama relación (binaria) sobre X.

El conjunto

{ x ∈ X | (x, y) ∈ R para alguna y ∈ Y}

se llama dominio de R. El conjunto

{ y ∈ Y | (x, y) ∈ R para alguna x ∈ X}

se llama rango de R.

Una función es un tipo especial de relación. Una función f de X a Y es una relación de

X a Y que tiene las propiedades:

a) El dominio de f es igual X.

b) Para cada x ∈ X, existe exactamente una y ∈ Y tal que (x, y) ∈ f.

Relación y Combinaciones

Sea

X = {2, 3, 4} y Y = {3, 4, 5, 6, 7}.

Si se define una relación R de X a Y por

( x, y) ∈ R si x divide a y,

se obtiene

R = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}

Si se rescribe R como tabla, se obtiene

Relación y Combinaciones

Una relación de Equivalencia es aquella que tiene las tres propiedades:

• Reflexiva

• Simétrica

• Transitiva

Por otro lado, una relación de equivalencia tiene clases de equivalencia

y estas forman particiones. Una partición es un subgrafo completo.

Relaciones Equivalentes

Son conjunto que contienen a todos los elementos de b ∈ B y que están

relacionados con a ∈ A. Los elementos del primer conjunto se encierran

entre corchetes, de forma que en una clase de equivalencia se pueda

describir como:

[a] = { b / b ∈ B, aRb }

Las relaciones de equivalencia son importantes porque es una propiedad que deben tener las redes en el área de computación, donde la computadora No. 1 de una red puede enviar información a la computadora No. 2 ; pero además, la computadora No. 2 puede enviar información o comunicarse con la computadora No. 1 ; siendo esta la propiedad de simetría.

Relaciones Equivalentes

Por otra parte, toda computadora tiene comunicación consigo misma, con lo cual se cumple la propiedad Reflexiva. Así como existe un camino de comunicación para ir de la No. 1 a la No. 2 ( 1 , 2 ), y uno para ir de ( 2 , 5 ), debe existir uno de ( 1 , 5 )m con lo cual se cumple la propiedad Transitiva

Simétrica

Una relación R sobre un conjunto X se llama simétrica si para toda x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R, entonces

(y, x) ∈ R.

Propiedades de las Relaciones

La relación R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} sobre X = { a, b, c, d} es simétrica porque para toda x, y,

si (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R.

Por ejemplo, (b, c) está en R y (c, b) también está en R. La digráfica de una relación simétrica tiene la propiedad de que siempre que existe una arista dirigida de v a w, también existe una arista dirigida de w a v. Note que la digráfica de la relación tiene la propiedad de que para toda arista dirigida de v a w, también existe la arista dirigida de w a v.

Antisimétrica

Una relación R en un conjunto X se llama antisimétrica si para toda x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R y

x ≠ y, entonces (y, x) ∋ R.

Propiedades de las Relaciones

La relación R sobre X = {1, 2, 3, 4} definida por (x, y) ∈ R

si x = y, x, y ∈ X, es antisimétrica porque para toda x,y, si

( x,y) ∈ R y x y, entonces (y, x) ∈ R. Por ejemplo, (1, 2) ∈ R, pero (2, 1) ∋ R. La digráfica de una relación antisimétrica tiene la propiedad de que entre cualesquiera dos vértices existe a lo sumo una arista dirigida. Observe que la digráfica de esta relación tiene a lo sumo una arista dirigida entre cada par de vértices.

De Orden Parcial

Una relación R en un conjunto X se llama orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y

transitiva.

Propiedades de las Relaciones

Como la relación R definida en los enteros positivos por

(x, y) ∈ R si x divide a y es

reflexiva, antisimétrica y transitiva, R es un orden parcial. Si R es un orden parcial en un conjunto X, la notación se usa algunas veces para indicar que ( x,

y) ∈ R. Esta notación sugiere que estamos interpretando la relación como una ordenación de los

elementos de X. Suponga que R es una relación de orden parcial en un conjunto X.

• Si x, y ∈ X y ya sea 𝒙 ≤ 𝒚 o 𝒚 ≤ 𝒙, se dice que x y y son comparables.
• Si x, y ∈ X y y se dice que x y y son incomparables.
• Si todo par de elementos de X es comparable, se llama a R de orden total. La relación menor o igual que en los enteros positivos es de orden total, puesto que si x y y son enteros, x = y o bien y = x. La razón para el término “orden parcial” es que, en general, algunos elementos de X pueden ser incomparables.

Inversa

Sea R una relación de X a Y. La inversa de R, denotada por R

• 1

, es la relación de Y a X

definida p or:

R

• 1 ={( y, x) | (x, y) ∈ R}.

Propiedades de las Relaciones

Si se define una relación R de X = {2, 3, 4} a Y = {3, 4, 5, 6, 7} por

(x, y) ∈ R si x divide a y,

se obtiene

R = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}.

El inverso de esta relación es

R

• 1

En palabras, esta relación se describe como “es divisible entre”.

Diagrama de Hasse

En matemáticas, un diagrama de Hasse es una representación gráfica simplificada de un

conjunto parcialmente ordenado finito.

Esto se consigue eliminando información redundante. Para ello se dibuja una arista

ascendente entre dos elementos solo si uno sigue a otro sin haber otros elementos

intermedios.

Diagrama de Hasse

En un diagrama se elimina la necesidad de representar:

• Ciclos de un elemento, puesto que se entiende que una relación de orden

parcial es reflexiva.

• Aristas que se deducen de la transitividad (matemática) de la relación.

Por ejemplo, sea el conjunto A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 15 , 20 , 30 , 60 } (todos los

divisores de 60 ). Este conjunto está ordenado parcialmente por la relación de

divisibilidad. Su diagrama de Hasse puede ser representado como sigue:

Diagrama de Hasse