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Modelos Discretos para Ingeniería

Conjuntos

Relaciones y Propiedades

Ing. Washington Loza H. Mgs.

Departamento de Ciencias de la Computación

May 2023 - Sep 2023

Conjuntos

Un conjunto como se puede ver a grandes rasgos como una colección de individuos u objetos. Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas, sus elementos van separados por una coma y encerrados entre llaves. En extensión: lo cual quiere decir que citamos explícitamente cada uno de sus elementos, como en el conjunto { 1 , 3 , 5 } que contiene exactamente los números 1 , 3 y 5. números 1 , 3 y 5. 𝑴 = {𝒎𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔, 𝒎𝒊é𝒓𝒄𝒐𝒍𝒆𝒔}

La longitud de un conjunto es el número de elementos que contiene, y se representa como |A| para un conjunto A. Por ejemplo, el tamaño de {a, b, c} es 3 , y el tamaño del conjunto vació es cero. Aunque existen conjuntos con tamaños no muy claros. Dos conjuntos A y B son iguales, A = B , si y sólo si tienen los mismos elementos, esto es, x ∈ A si x ∈ B. Por ejemplo { 1 , { 2 , 3 }} = {{ 3 , 2 }, 1 } vemos que en los conjuntos el orden de los elementos es irrelevante. Se supone que en los conjuntos no hay repeticiones de elementos, y que cada elemento del conjunto es distinto de todos los otros

Repaso de Conjuntos

La notación A ⊂ B significa que el conjunto A está “contenido” en el conjunto B, o más técnicamente, que A es subconjunto de B. Por ejemplo, el conjunto {a, c} es subconjunto de {a, b, c}, indicado como {a, c} ⊂ {a, b, c}. En otras palabras, A ⊂ B cuando siempre que x ∈ A, tenemos también x ∈ B. Obsérvese que de acuerdo con esta definición, A ∈ A para cualquier conjunto A: todo conjunto es elemento.

Repaso de Conjuntos

Para indicar que un subconjunto contiene menos elementos que otro, es decir, que es un subconjunto propio de éste, se escribe A ⊂ B. Por ejemplo, {a, c} ⊂ {a, b, c}. Claramente, A = B si A ⊆ B y B ⊆ A. Obsérvese también que si A ⊆ B, entonces |A| ≤ |B|, y si A ⊆ B, entonces |A| < |B|.

Unión: A ∪ B contiene los elementos del conjunto A y también los del conjunto B, es decir, {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}. La unión de conjuntos es conmutativa.

Operaciones de Conjuntos

En cada caso el conjunto resulta por la unión de otros dos conjuntos dados: 𝑎) {𝑎 , 𝑏, 𝑐} ∪ {𝑑 , 𝑒}= {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} 𝑏){1 , 2, 3, 4, 5} ∪ {0, 4 , 6}= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Intersección: A ∩ B contiene los elementos que pertenecen simultáneamente al conjunto A y al conjunto B, es decir, A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}. Por ejemplo, { 1 , 2 , 3 } n { 3 , 4 } = { 3 }.Es conmutativa y asociativa.

Operaciones de Conjuntos

Dos conjuntos cuya intersección es vacía se denominan conjuntos disjuntos. En cada caso el conjunto resulta por la intersección de otros dos conjuntos dados: 𝑎) {1 , 2, 3, 4, 5} ∩ {0, 4 , 5, 6}= { 4, 5} 𝑏) {𝑎 , 𝑏, 𝑐} ∩ {𝑑 , 𝑒}= Ø = { }

Diferencia de Conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia entre A y B , y se indica con A – B , al conjunto constituido por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B. 𝑨 - 𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∉ 𝑩}

Operaciones de Conjuntos

Consideremos los conjuntos A y B, obtiene A – B y B – A. 𝐴 = {1 , 2, 3, 4, 5} 𝐵 = {0, 2, 4 , 6} Se tiene:

Diferencia Simétrica de Conjuntos: Dados dos conjuntos A y B se llama diferencia simétrica de A y B y se denota 𝑨 ∆ 𝑩, al conjunto que contiene a los elementos que están en A y no están en B más los elementos que están en B y no están en A. 𝑨 ∆ 𝑩 = {𝒙|(𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∉ 𝑩) ∨ (𝒙 ∈ 𝑩 ∧ 𝒙 ∉ 𝑨} 𝑨 ∆ 𝑩 =(𝑨 - 𝑩) ∪ (𝑩 - 𝑨)

Operaciones de Conjuntos

Teorema: Sea U el conjunto universal, A y B dos conjuntos. Si 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝑈, entonces A y B son disjuntos si y sólo si 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑨 ∆ 𝑩.

Propiedades de Operaciones de Conjuntos

Ejercicios de Conjuntos

Ejercicios de Conjuntos

Ejercicios de Conjuntos