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Los Números Enteros. Operaciones, Apuntes de Matemáticas

Matemáticas

Ejercicios y apuntes con números enteros

Tipo: Apuntes

2017/2018

Subido el 25/01/2018

jose-luis-sanchez-3 🇪🇸

4.7

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____________________________________________________________________________________Enteros

1

ENTEROS

Número entero

Llamamos número entero al conjunto formado por un par de números naturales, dados en un cierto

orden, y los infinitos pares equivalentes a él.

Ej. : (0 , 4), (1 , 5), (2 , 6), ...

Pares equivalentes

Dos pares de números enteros se dice que son equivalentes si se cumple:

   

a b c d a d b c, ,    

Pares ordenados canónicos

Son aquellos que tienen un componente igual a cero.

Ej. : (5 , 0), (0 , 7), ...

Notación simplificada de los números enteros

Cada pareja de números naturales está representando a un número entero, que lo podemos escribir de

manera simplificada con un sólo número, pero anteponiendo el signo + si es positivo o el signo - si es

negativo. Si el número es cero no lleva signo.

Si la primer componente es mayor que la segunda el par está representando a un número positivo. Si la

segunda componente es mayor que la primera representa a un número negativo y si las dos

componentes son iguales está representando al cero.

Para saber a qué número está representando el par se restan las componentes.

Ej. : (6 , 2) representa al (+4) ; (3 , 5) representa al (-2) ; (4 , 4) representa al 0.

Valor absoluto de un número

Es el valor que representa el número independientemente del signo que lleve. Se representa entre

barras.

Ej. :

44 

Suma de números enteros

 En forma de pares: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

 En forma simplificada se pueden presentar los siguientes casos:

a) Si sumo dos números enteros positivos el resultado es otro número entero positivo

Ej. : (+8) + (4) = (+12)

b) Si sumo dos números enteros negativos el resultado es otro número entero negativo.

Ej. : (-7) + (-2) = (-9)

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Taller de operaciones con números enteros

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_____________________________________________________________________________________Enteros_

ENTEROS

Número entero

Llamamos número entero al conjunto formado por un par de números naturales, dados en un cierto

orden, y los infinitos pares equivalentes a él.

Ej. : (0 , 4), (1 , 5), (2 , 6), ...

Pares equivalentes

Dos pares de números enteros se dice que son equivalentes si se cumple:

a b ,  c d ,  a  d  b  c

Pares ordenados canónicos

Son aquellos que tienen un componente igual a cero.

Ej. : (5 , 0), (0 , 7), ...

Notación simplificada de los números enteros

Cada pareja de números naturales está representando a un número entero, que lo podemos escribir de

manera simplificada con un sólo número, pero anteponiendo el signo + si es positivo o el signo - si es

negativo. Si el número es cero no lleva signo.

Si la primer componente es mayor que la segunda el par está representando a un número positivo. Si la

segunda componente es mayor que la primera representa a un número negativo y si las dos

componentes son iguales está representando al cero.

Para saber a qué número está representando el par se restan las componentes.

Ej. : (6 , 2) representa al (+4) ; (3 , 5) representa al (-2) ; (4 , 4) representa al 0.

Valor absoluto de un número

Es el valor que representa el número independientemente del signo que lleve. Se representa entre

barras.

Ej. :  4  4

Suma de números enteros

 En forma de pares: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

 En forma simplificada se pueden presentar los siguientes casos:

a) Si sumo dos números enteros positivos el resultado es otro número entero positivo

Ej. : (+8) + (4) = (+12)

b) Si sumo dos números enteros negativos el resultado es otro número entero negativo.

Ej. : (-7) + (-2) = (-9)

c) Si sumo un número entero positivo y otro negativo el resultado es la diferencia entre ellos y el signo

es el del mayor en valor absoluto.

Ej. : (+8) + (-3) = (+5) (-8) + (+2) = (-6)

Opuesto de un entero

El opuesto de un número entero es otro número entero que tiene el mismo valor absoluto, pero signo

contrario.

Ej. : Opuesto de (-6) es (+6), opuesto de (-4) es (+4).

Resta de números enteros

Restar dos números enteros es sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ej. : (+8) - (-3) = (+8) + (+3) = (+11)

Multiplicación de números enteros

 Si multiplicamos o dividimos dos números enteros positivos el resultado es otro número entero

positivo.

Ej. : (+4). (+7) = (+28)

Ej. : (+12) : (+4) = (+3)

 Si multiplicamos o dividimos dos números enteros negativos el resultado es otro número entero

positivo.

Ej. : (- 3). (-4) = (+12)

Ej. : (-18) : (-6) = (+3)

 Si multiplicamos o dividimos dos enteros de distinto signo el resultado es otro número entero de

signo negativo.

Ej. : (-2). (+5) = (-10)

Ej. : (+21) : (-7) = (-3) (-18) : (+3) = (-6)

Regla de los signos para la multiplicación Regla de los signos para la división

e) (6,2) + (7,1)+ (4,9)

f) (3,8) + (2,9) + (7,1)

g) (9,3) + (2,7) + (8,5)

h) (4,4) + (3,5) +(6,2)

i) (8,6) +(7,7)+(1,6)

j) (3,10) + (5,6) + (10,4) + (9,3)

k) (0,5) + (3,7) + (12,3) + (9,6)

l) (3,11) + (4,7) + (13,5) +(5,2)

m) (4,7) + (5,13) + (10,4) + (8,6)

n) (15,8) +(6,11) +(14,9) +(3,7)

o) (6,4) + (8,9) + (5,3)+(3,9)

p) (16,7) +(7,12) +(5,0) +(4,6)

q) (1,8) + (4,9) + (14,7) + (13,8)

r) (5,6) + (9,0) + (2,11) +(4,1)

s) (7,2) + (3,6) + (5,9) + (12,4)

t) (1,9) + (7,6) + (5,4) + (3,9)

u) (5,7) + (4,10) + (3,8) + (7,6)

v) (9,2) + (3,10) + (7,5) + (4,6)

w) (10,8) + (15,3) + (4,9) + (8,6)

x) (15,2) + (4,12) + (3,7) + (20,4)

y) (3,6) + (8,5) + (6,11) + (5,4)

z) (12,8) + (13,7) + (6,9) + (1,10)

aa) (3,11) + (8,4) + (3,5) + (6,5)

bb) (14,8) + (8,4) + (3,5) + (6,5)

cc) (14,8) + (13,5) + (9,2) + (6,12)

dd) (4,7) + (3,8) + (7,5) + (1,6)

ee) (12,7) + (5,9) + (13,6) + (2,10)

ff) (6,1) + (7,0) + (8,13) + (2,5)

gg) (4,3) + (5,2) + (3,7) + (4,6)

hh) (3,6) + (5,5) + (7,15) + (4,9)

ii) (11,6) + (2,7) + (12,8) + (7,13)

jj) (9,11) + (7,13) + (6,2) + (14,8)

8) Escribe el opuesto de cada número:

9) Convierte en sumas y opera:

Observa el ej. : (-7) + (+9) - (-3) - (+6) + (-2)

1º) Paso las restas a sumas y escribo el opuesto del número que viene

2º) Sumo positivos y negativos entre si o escribo directamente el resultado final

a) (+5) - (+3) + (-2) - (-6) - (+7) =

b) +(+17) – (+17) – (- 14) + (-11) + (-3) =

c) -(-4) + (-8) - (+10) - (-9) + (+2) =

d) +(-7) + (+18) – (- 14) – (+8) – (+5) =

e) (-2) - (+9) - (-7) +(+5) + (-6) =

f) – (+6) – (-5) + (-3) + (+7) – (-4) =

g) -(+6) - (-7) + (+8) + (-5) - (+12) =

h) – (-3) – (+12) + (-14) + (+11) – (+14) =

i) (+7) +(-3) - (+11) - (-9) - (+8) =

j) +(+2) – (-17) + (+13) – (+15) + (-8) =

k) (-3) – (+5) + (-7) – (-4) + (-8) =

l) – (+5) + (+7) – (-10) + (-18) – (+6) =

m) (-15) + (-4) – (+7) + (+13) – (+7) =

n) – (-16) + (+12) - (+8) + (-9) – (+15) =

o) (+9) + (+14) – (-6)+ (-11) - (- 8) =

p) – (-7) – (-5) + (+9) – ( +10) + (-4) =

q) (-14) – (+12) – (- 8) + (+15) + ( -4) =

r) +(-2) – (-14) + (+17) – (+8) – (-9) =

s) (-6) – (- 3) + (+ 11) + (- 7) – (+8) =

t) + (-7) – (+21) – (-13) + (+17) + (-29)

_____________________________________________________________________________________Enteros_

10) Opera:

Observa el ej. :

Escribo el resultado de cada corchete

Escribo el resultado final

a)

          9 7 6 9 11

b)

c)

d)

e) [-(+6) + (-3) – (-15)] – [(-19)+ (+3) – (-14)]

f)

            5 3 9 7 8 6

11) Escribe el representante canónico de cada par, luego el entero que representa y después

opera:

a) (9,2) - (8,3) + (5,6) - (12,9)

b) (3,12) + (15,6) - (4,13) + (7,15)

c) - (4,11) + (810) - (6,9) + (14,3)

d) - (7,16) - (4,11) + (9,2) - (6,11)

e) (15,2) - (4,3) + (8,17) - (2,10)

f) (3,11) + (7,15) - (9,4) - (8,2)

g) (13,7) - (11,6) + (7,4) - (4,12)

h) - (15,7) + (10,13) - (6,10) - (4,16)

i) - (6,13) + (15,20) - (7,18) + (14,9)

j) (9,16) - (7,21) + (18,4) - (15,8)

k) - (4,13) - (7,2) + (3,8) - (9,21)

l) (12,3) - (9,8) - (4,7) + (13,15)

m) - (7,14) + (15,2) - (6,13) + (7,18)

n) (12,19) - (7,21) + (15,7) - (8,13)

o) - (6,15) + (8,16) - (7,9) + (15,2)

p) - (14,2) - (4,15) + (13,9) + (7,12)

12) Resuelve aplicando la regla de los signos:

a) (+5) + (-7) + (+9) - (-6) + (-11)

b) +(+15)-(+7)+(-3)-(-2)+(+5)

c) + (-12) - (+4) - (-2) + (-9) - (+13)

d) -(+8)-(-7)+(-5)+(+8)-(+12)

e) (+17) - (+9) + (-5) - (-2) + (+

f) -(+14)-(+12)-(-16)+(+10)+(-9)

g) (+8) - (-7) + (-13) - (+15) - (+4)

h) +(-13)-8-20)+(+15)-(+14)-(+2)

i) (-13) + (+8) - (+7) + (-15) - (+16)

j) +(-1)-(+6)+(-8)+(-13)-(-

k) + (-3) - (+19) + (+11) - (-8) + (+7))

l) -(-7)+(-5)+(+12)-(+6)-(-3)

m) (+10) + (-14) - (+17) + (+13) - (+8)

n) +(-11)-(+13)-(-16)+(-9)+(-2)

o) (-13) - (+11) + (+7) - (-3) + (-14)

p) -(+8)-(+7)-(-15)+(-13)+(+9)

q) (+16) - (-4) + (+9) - (+17) + (+18)

r) (-10)-(+17)+(-13)+(-5)-(-4)

s) (-6) + (+5) - (+7) - (-9) + (-6)

t) -(-7)+(-6)-(-13)+(-15)-(

u) (-3) + (-11) + (-9) - (+3) - (+8)

v) +(-3)-(+5)-(-18)+(-11)-(+1)

w) (+7) + (+11) + (-3) - (-4) + (-12)

x) -(+5)-(+19)+(-4)-(-14)+(+7)

y) (+10) + (-15) - (+7) - (-3) + (-10)

z) (-3)-(-2)-(+11)-(+9)+(+5)

aa) (-7) - (+5) + (-4) - (-13) + (-16)

bb) -(+9)+(-5)-(-10)+(-13)-(-6)

13.- Multiplica en forma de pares:

_____________________________________________________________________________________Enteros_

b) 2(7-3) – 9(4+6)

c) 4(-7-2) + 2(3-8) – 7(-5+8)

d) -6(4 - 2) – 3(-8 -7) + (9-6)

e) – (-6 +7) + (-9 + 6) – 3(5 - 9)

f) 9(3 - 1) – 8(-4 + 2) + 2(-7 – 6)

g)

 

  3 6 1 2 8

   

h)

2  6  4    5  7  1 

i)

2  1  3   5   2  4  5  1 

j)

 3  1  4  6  2   2   1  4 

k)

4   4  6  2   3  1  2  3 

l)

 4  2  1  4   3   2  7 

ll)

 3   5  4  2   1   3  5 

m)

 4  5  3   2   1  6  7 

n) 7(-1 + 3) – [8 + 4(5 – 9)]

ñ) 5[6(4 + 7) – 2] – [-3(5 – 8)]

o) 3[1 – (2 – 3)] + 4[-(-5 + 1)]

p) -2[ 3(1 + 5) – 2] + 6[ 2 – 4(1 – 3)]

q) 5(-1 + 6) – 3[ 4 – 2(-7 + 3)]

r) 4[ 3 – 2(4 – 3) + 1 ] + 2(-5 – 2)

s) 5[ 3 – 4(2 – 6) + 3(8 – 5)]

t) – 2(-1 + 9) – 3[4(1 – 2) + 6]

u) 5[3 – 2(1 – 4)] + 3(-8 – 2)

19) Divide :

       

             

e j

d i

c h

b g

a f