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El documento trata definir de manera clara el concepto de tensores. Es basado en diferentes libros
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
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¡No te pierdas las partes importantes!
Los tensores aparecen en todas
partes de la física, por eso el objetivo
de esta investigación es
comprenderlos, y para eso debemos
saber que es un vector y un escalar.
Comenzare por algunas definiciones
sencillas para después otras más
avanzadas. Para esto tomare un
ejemplo:
Si te preguntara cuántas canicas
tienes en una bolsa, podrías
responder: “tres”. Yo encontraría tu
respuesta perfectamente
satisfactoria. El número 3 ‘desnudo’,
una magnitud, es suficiente para
proporcionar la información que
busco.
Sí te pregunto “¿Qué tan lejos está tu
casa?” y respondiste, “tres”. Yo te
miraría con curiosidad y te
preguntaría: “¿3 que?”
evidentemente, para esta pregunta,
se necesita más información. El
simple número 3 ya no es suficiente;
necesito un número, un número con
un nombre.
Supongamos que respondes: “tres
kilómetros”. el número 3 ahora se
denomina la representación de un
cierto número de kilómetros. A veces,
estos números se denominan
escalares. La temperatura está
representada por un escalar. La
energía total de un sistema
termodinámico también está
representada por un escalar.
Sí ahora te preguntará, “entonces,
¿cómo llego a tu casa desde aquí?” y
me dices: “sólo camina 3 km”, de
nuevo te miraría con curiosidad. Esta
vez, ni siquiera un numero nominal es
suficiente; hay que precisar una
distancia o una magnitud, sí, pero
¿en qué dirección?
“Simplemente camina 3 km hacia el
norte”. El número de denominación 3
km ahora tiene el adicional requerido,
información direccional adjunta. Estos
números se llaman vectores. La
velocidad es un vector, ya que tiene
una magnitud y una dirección. Muy a
menudo, un vector está representado
por componentes. Si me dijeras que
para ir de aquí a tu casa debo
caminar 3 cuadras al este, 2 cuadras
al norte, y sube 3 pisos, el vector se
extiende desde “aquí” hasta “tu casa”
tendría 3 componentes espaciales:
Físicamente, los vectores se utilizan
para representar ubicaciones,
velocidades, aceleraciones,
densidades de flujo, etc. Dado que
los vectores son cantidades de orden
superior que los escalares, las
realidades físicas a las que
corresponden son típicamente más
complejas que las representadas por
escalares.
Si miramos más de cerca los
vectores…
La acción de un vector es igual a la
suma de las acciones de sus
componentes. Así, en el ejemplo
dado anteriormente, el vector de
“aquí” a “tu casa” se puede
representar como:
De acuerdo con esta
definición, la velocidad (qué
tan rápido va un objeto) no
se resiente por un vector,
pero la velocidad (qué tan
rápido y en qué dirección
un objeto está yendo)
califica como una cantidad
vectorial.
Los valores que representa
un vector se denominan
“componentes” del vector, y
el número de componentes
que se necesitan para
definir un vector es igual al
número de dimensiones en
el espacio en el que el
vector existe. El número de
valores en tales vectores te
dice cuántas dimensiones
hay en el espacio en el que
reside el vector.
Un escalar es la
representación matemática de
una entidad física que puede
ser caracterizado sólo por la
magnitud.
escalares incluyen masa,
carga, energía y velocidad.
Dado que los escalares se
pueden representar solo
por magnitud (números
individuales), y vectores por
magnitud y dirección ( 3
números en 3 dimensiones
espacio), puedes
sospechar que hay otras
entidades que involucran
magnitud y direcciones que
son más complejas que los
vectores (es decir, que
requieren más números
que el número de
dimensiones espaciales).
De hecho, los hay, y tales
entidades son llamados
“tensores”.
Un tensor es la representación
matemática de una entidad
física que puede ser
caracterizado por magnitud y
múltiples direcciones.
Un ejemplo de tensor es la
inercia que relaciona la
velocidad angular de un
objeto giratorio a su un
momento angular. Dado
que el vector de velocidad
angular tiene una dirección
y el vector de momento
angular tiene una
(potencialmente diferente)
dirección, el tensor de
inercia implica múltiples
direcciones.
Y así como un escalar
puede estar representado
por un solo número, y un
vector puede estar
representado por una
secuencia de 3 números en
un espacio tridimensional,
un tensor puede
representarse mediante
una matriz de 3 números R
en un espacio
tridimensional. En esta
expresión, “R” representa el
rango del tensor. Entonces,
en el espacio tridimensional
un tensor de segundo
rango está representado
por 3
2
= 9 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠. En el
espacio N-dimensional, los
escalares todavía requieren
un solo número, los
vectores requieren N
números y los tensores
requieren N números R.
Entonces en el espacio
tridimensional, se ven así:
Debemos tener en cuenta
que los escalares no
requieren subíndices, los
vectores requieren un solo
subíndice, y los tensores
requieren 2 o más
subíndices: el tensor que
se muestra aquí es un
tensor rango 2, pero
también podemos
encontrar tensores de
rango superior. Un tensor
rango 3 puede
representarse mediante
una matriz tridimensional
de valores.
VECTORES Y TENSORES
Los vectores se pueden multiplicar por
escalares para producir nuevos vectores
con él mismo sentido o dirección. En
general, podemos especificar un vector
unitario u, en cualquier lugar que
deseamos, para apuntar en cualquier
dirección que nos plazca. Para construir
otro vector a partir del vector unitario,
multiplicamos u, por un escalar, por
ejemplo 𝜆, para obtener 𝜆 u , un nuevo
vector con magnitud λ y el sentido o
dirección d u.
Observe que el efecto de multiplicar el
vector unitario por el escalar es cambiar
la magnitud de unidad a otra cosa, pero
para dejar la dirección sin cambios.
Supongamos que deseamos alterar
ambos la magnitud y la dirección de un
vector dado. La multiplicación por un
escalar ya no es suficiente. La formación
del producto cruzado con otro vector
tampoco es suficiente. Debemos
encontrar y usar otro tipo de matemática
‘entidad’
vamos a introducir terminología.
(sólo magnitud - 1
componente)
(magnitud y una dirección, 3
componentes)
(magnitud 2 direcciones, 3
2
=
9 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠)
(magnitud y 3
direcciones 3
3
=
27 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠)
Etc.…
Si formamos el Producto Interno de
un vector y un tensor de rango 2, una
diada, el resultado será otro vector
con una nueva magnitud y dirección.
una cantidad que no varía a medida que
se cambia el sistema de coordenadas.
De esta definición, se puede ver que un
tensor de segundo rango tiene 3
2
componentes en el espacio
tridimensional. Tengamos en cuenta que
un tensor de rango cero es un escalar y un
tensor de rango uno es un vector.
No existe una notación estándar para
tensores; puede haber un tensor
representado con flechas dobles (cómo T) o
con una tilde o bidireccional flecha arriba o
abajo (𝑇
̃
,
𝑇
↔ 𝑜
𝑇
↔ ). Algunas personas
representan tensores simplemente
escribiendo la letra qué significa el tensor
con índices de “marcador de posición” para
indicar la contravariante y la covariante,
rango del tensor (𝑇
𝑖𝑗
o 𝑇
𝑏
𝑎
).
Operaciones con
vectores
Los vectores se pueden combinar
de diferentes formas para formar
un nuevo vector.
Las reglas de combinación de
vectores incluyen suma vectorial,
multiplicación escalar (por puntos
o interior) y (en 3 dimensiones)
Cruz multiplicación.
Suma de vectores
La suma de dos vectores a→ y b→,
da como resultado otro
vector c→ cuyas componentes son la
suma de las respectivas
componentes de a→ y b→.
𝒙
𝒙
𝒚
𝒚
Resta de vectores
Para restar dos vectores A y B se
suma A con el opuesto de
vector B , es decir:
Las componentes del vector A – B se
obtienen restando sus componentes.
A – B = (Ax – Bx, Ay – By, Az – Bz)
Multiplicación de vectores
Como producto vectorial ,
cuyo resultado es otro vector.
interno
de fuerza y velocidad da
la potencia escalar que se
entrega en un sistema:
f (nt) · v (m / s) = p (W).
interno de un vector
consigo mismo es el
cuadrado de la magnitud
(longitud) de el vector:
𝟐
vectores U y V en un
espacio tridimensional
mediante un producto
cruzado para formar un
nuevo vector (axial):
donde S es perpendicular
al plano que
contiene U y V y tiene un
sentido (dirección) dado por
la regla de la mano
derecha.
angular es el producto
cruzado del momento lineal
y la distancia:
2
vector V dado se puede
multiplicar por un número
escalar α para producir un
nuevo vector con una
diferente magnitud, pero la
misma dirección.
Sea V = V u donde u es un
vector unitario. Luego
α V = αV u = (αV) u = ξ u
Donde ξ es la nueva
magnitud
