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Matem´aticas I: Grupo F, Control 2, Diciembre de 2010
Instrucciones: Este control tiene un total de 5 preguntas y califica sobre 10 puntos. Constituye el 10 % de su calificaci´on. Entregarlo no implica figurar como presentado en la convocatoria. Conteste a las preguntas en un cuadernillo aparte. Solamente puede entregar un cuadernillo. No entregue esta hoja de enunciados. La duraci´on es 75 minutos.
- [3 puntos] Dado el campo escalar f (x, y) = x^2 − y, se pide:
(a) [1 punto] representar las curvas de nivel −2, −1, 0, 1 y 2. (b) [1 punto] calcular la variaci´on aproximada de la funci´on del punto (2, 1) al punto (1, 2). (c) [1 punto] calcular el plano tangente a la funci´on en el punto (2, 1) y relacionar la variaci´on anterior con dicho plano.
Soluci´on: Omitimos la representaci´on, que forma parte de la respuesta. De modo general, la curva de nivel de c es la funci´on y = x^2 −c, que es una funci´on cuadr´atica, convexa con m´ınimo en x = 0 para todo c. La variaci´on aproximada de la funci´on viene dada por la diferencial, que es el producto escalar: ∇f (2, 1) · (∇x, ∇y), donde (∇x, ∇y) = (− 1 , 1) es el vector desplazamiento, dicho producto es −5. La ecuaci´on del plano tangente es z = f (2, 1)+∇f (2, 1)·(x − 2 , y − 1) = −4 + 4x − y. La variaci´on exacta del plano tangente es la variaci´on aproximada de la funci´on ya calculada.
- [2 puntos] Dado el campo escalar f (x, y) = ln (x^2 + 3y^2 ), se pide:
(a) [1 punto] representar la curva de nivel que pasa por el punto (1, 1). (b) [1 punto] hallar el gradiente y utilizarlo para hallar la ecuaci´on de la recta tangente a dicha curva de nivel en el punto anterior.
Soluci´on: Omitimos la representaci´on, que forma parte de la respuesta. Tenemos que f (1, 1) = ln 4. La curva de nivel requerida es el conjunto de puntos (x, y) que satisface f (x, y) = ln 4, o bien x^2 + 3y^2 = 4, que es la ecuaci´on de una elipse que pasa, como hemos visto, por (1, 1). Tenemos ∇f (1, 1) = (1/ 2 , 3 /2), dado que el gradiente es perpendicular a la recta requerida y la pendiente del gradiente es 3, la pendiente de dicha recta debe ser − 1 /3. Adem´as, dicha recta pasa por el punto (1, 1), por lo que es y = 43 − 13 x.
- [2 puntos] Dado el campo escalar f (x, y) = 13 ln x + 23 ln y, se pide hallar la variaci´on porcentual de la funci´on si, a partir del punto (2, 2) (a) [^1 / 2 punto] x var´ıa un 2 % e y no var´ıa. (b) [^1 / 2 punto] x no var´ıa e y var´ıa un un 3 %. (c) [1 punto] se producen simult´aneamente las dos variaciones anteriores.
Soluci´on: De modo general, la variaci´on porcentual en f , sea ∇f , ante variaciones porcentuales en x e y, sean ∇x y ∇y, respectivamente, puede expresarse ∇f = f,x∇x + f,y∇y, donde f,x y f,y son las respectivas elasticidades evaluadas en el punto. Se tiene f,x = (^) f (x,yx ) fx (x, y) = (^) 3 ln 2^1 y f,y = (^) 3 ln 2^2. Las respectivas respuestas se obtienen tomando (∇x, ∇y) igual a (2, 0), (0, 3) y (2, 3), respectivamente.
- [2 puntos] Dado el campo escalar f (x, y) = ln (x + y) + y, se pide:
(a) [1 punto] Razonar si la curva de nivel 1 define y impl´ıcitamente como funci´on de x. (b) [1 punto] Calcule, si est´a definida, la derivada de dicha funci´on.
Soluci´on: Fijado un valor de x, f (x, y) es creciente con y. Por tanto, para cada x solamente puede haber un y tal que f (x, y) = 1, lo que quiere decir que, efectivamente, la curva de nivel 1 define y impl´ıcitamente como funci´on de x. La derivada de dicha funci´on se obtiene usando el resultado de derivaci´on de funciones definidas impl´ıcitamente. Dicha derivada es: dy dx
fx fy
x + y + 1
- [1 punto] Helena puede comprar dos productos, x e y. El precio unitario de x es 3. El precio unitario de y depende del n´umero de unidades: para las primeras 10 es 4 y para las restantes es
- Considerando como dominio R^2 ++, encuentre la funci´on de gasto, G, tal que G (x, y) es el gasto cuando las cantidades compradas son (x, y).
Soluci´on: Sean gx^ y gy^ las funciones que dan el gasto en x e y, respectivamente, de modo que cuando las cantidades compradas son (x, y), se tiene G (x, y) = gx^ (x) + gy^ (y). Claramente, gx^ (x) = 3x. Adem´as: gy^ (y) =
4 y si y ≤ 10 40 + 2 (y − 10) si y > 10
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