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ESCET - Grado en Ciencias Ambientales
ESTAD´ISTICA 15 de diciembre, 2011
- (2 puntos) Con el fin de analizar si la medida de limitar la velocidad de los veh´ıculos a 110 km/h permite ahorrar combustible, se ha tomado una muestra de 88 veh´ıculos. Cada veh´ıculo ha recorrido el trayecto Madrid- Valencia con una velocidad media de 110 km/h y el trayecto Valencia- Madrid con una velocidad media de 120 km/h. Se han registrado los consumos de combustible de cada veh´ıculo tanto en el trayecto de ida como en el de vuelta.
a) (0.6 puntos) Plantear un contraste de hip´otesis que permita determinar si el consumo medio de combustible disminuye significativamente cuando se circula a 110 km/h. b) (1.4 puntos) ¿Qu´e tipo de test se utilizar´a para contrastar esta hip´otesis? ¿En qu´e distri- buci´on se basar´a este contraste?
Soluci´on-. Tenemos una muestra de consumos de combustible de 88 veh´ıculos para el trayecto de ida y otra muestra de consumos de los mismos 88 veh´ıculos para el trayecto de vuelta. Llamemos
μ 110 = consumo medio en el trayecto de ida a una velocidad de 110 μ 120 = consumo medio en el trayecto de vuelta a una velocidad media de 120
a) El contraste que permite determinar si el consumo medio de combustible disminuye signifi- cativamente cuando se circula a 110 km/h es:
H 0 : μ 110 ≥ μ 120 H 1 : μ 110 < μ 120
O lo que es igual:
H 0 : μ 110 − μ 120 ≥ 0 H 1 : μ 110 − μ 120 < 0
b) Para resolver el contraste precedente, y dado que los datos que se han tomado corresponden a observaciones dependientes o apareadas, es decir, al mismo veh´ıculo se le ha medido el combustible consumido para un mismo trayecto a una velocidad media y a otra, se usar´a el test t para datos apareados o dependientes. Este test se basar´a en las diferencias de los consumos a 110 y a 120 respectivamente. La distribuci´on de este test se basa en una t de Student con n-1 grados de libertad, en nuestro caso en una t de Student con 87 grados de libertad.
- (2 puntos) Un pescador de la prefectura de Ibaraki (situada al sur de Fukushima) ha sometido a los peces que captur´o en su ´ultima salida al mar a un an´alisis de yodo-131 y otro de cesio-137. Con los datos resultantes (expresados en becquerelios por kilo, o Bq/kg) ha rellenado la siguiente tabla:
yodo-131 cesio- Media 2804.5 524. Desviaci´on t´ıpica 192.6 98. M´ınimo 2504.3 281. Cuartiles Q 1 2661.2 453. Q 2 2790.4 519. Q 3 2961.2 584. M´aximo 3215.7 732.
a) (0.6 puntos) ¿Cu´al de las dos sustancias radiactivas est´a m´as concentrada entorno a su media? Razonar la respuesta. b) (0.6 puntos) En uno de los atunes capturados se detectaron 2904.5 Bq/kg de yodo- y 624.9 Bq/kg de cesio-137. ¿Cu´al de las dos sustancias radiactivas presenta un nivel m´as extremo (an´omalo) en este pescado con respecto a la muestra analizada? c) (0.8 puntos) En el laboratorio han vuelto a revisar las medidas y se han dado cuenta de que el valor m´ınimo medido para el yodo-131 es err´oneo, en lugar de valer 2504.3, el valor verdadero es 2304.3. Comenta razonadamente c´omo cambian las medidas resumen de yodo-131 que aparecen en la tabla al actualizar el dato err´oneo.
Soluci´on-.
a) Para comparar la concentraci´on de los datos respecto a sus medias debemos usar el coeficiente de variaci´on, ya que a simple vista vemos que la desviaci´on t´ıpica del yodo-131 es mayor, pero tambi´en es mayor la magnitud media. Calculando el coeficiente de variaci´on, tenemos que: CVyodo =
syodo |y|
En cuanto a los niveles de cesio-137, su coeficiente de variaci´on es
CVc =
sc |c|
Dado que CVyodo < CV c puede afirmarse que los niveles de yodo-131 est´an m´as con- centrados entorno a su media que los niveles de cesio-137. b) Dado que los dos contaminantes tienen medias y desviaciones t´ıpicas muy diferentes, para poder comparar adecuadamente los niveles de ambas sustancias en el at´un capturado se debe tipificar el valor de cada sustancia por los estad´ısticos de la poblaci´on a la que pertenece. Los valores tipificados son:
zy =
2904 , 5 − y syodo
y para el cesio-137 tenemos que el valor tipificado es:
zc =
624 , 9 − c sc
b) En este caso nos dicen que para una muestra en concreta sabemos que P > 1 , 6 y nos pre- guntan por la probabilidad de que la densidad para esta muestra sea menor de 1.8, se trata de una probabilidad condicionada:
P (P < 1 , 8 |P > 1 ,6) =
P (1, 6 < P < 1 ,8)
P (P > 1 ,6)
Calculamos ambas probabilidades, la del numerador y la del denominador: La probabilidad del numerador:
P (1, 6 < P < 1 ,8) = P
< Z <
= P (0, 5 < Z < 1 ,5) =
La probabilidad del denominador:
P (P > 1 ,6) = P (Z >
) = P (Z > 0 ,5) = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0 ,69146 = 0, 3085
Y por tanto la probabilidad que nos piden es:
P (P < 1 , 8 |P > 1 ,6) =
P (1, 6 < P < 1 ,8)
P (P > 1 ,6)
c) En cada una de las 6 muestras analizadas nos fijamos en la caracter´ıstica tener una densidad superior a 1.6 g/cm^3 , la variable aleatoria
N = n´umero de muestras de las 6 que tienen una densidad superior a 1.6 g/cm^3
Se distribuye seg´un una Binom(p = 0, 3085 , n = 6), ya que P (P > 1 ,6) = 0, 3085 como ya hemos visto. Nos piden la probabilidad de que exactamente N tome el valor 3.
P (N = 3) =
× 0 , 30853 × (1 − 0 ,3085)^3 = 20 × 0 , 02936 × 0 ,33066 = 0, 19416
- (2 puntos) El nivel m´aximo aceptable de exposici´on a radiaci´on de microondas en Estados Unidos se ha establecido en un media de 10 microvatios por cent´ımetro cuadrado. Se teme que un gran transmisor de televisi´on pueda contaminar el aire del entorno inmediato, elevando el nivel de radiaci´on de microondas por encima del l´ımite de seguridad. Con el fin de contrastar esta hip´otesis se han tomado medidas de forma aleatoria sobre el n´umero de microvatios por cent´ımetro cuadrado en zonas pr´oximas al transmisor. Tras analizar con R estos datos se ha obtenido el siguiente resultado: One Sample t-test
data: Radiacion t = 2.2207, df =19, p-value = 0. alternative hypothesis: true mean is greater than 10 95 percent confidence interval: 10.23244 Inf sample estimates: mean of x
a) (0.5 puntos) ¿Qu´e contraste de hip´otesis se est´a resolviendo con esta salida de R? b) (0.5 puntos) ¿Cu´antas medidas de radiaci´on se han tomado para realizar el estudio? c) (1 punto) ¿Puede concluirse que el nivel medio de radiaci´on de microondas en las zonas pr´oximas al transmisor supera el l´ımite establecido legalmente? Trabaja con un nivel de error tipo I igual al 0.05. Razona la respuesta.
Soluci´on-. Se han realizado observaciones, de forma aleatoria, sobre el n´umero de microvatios por cent´ımetro cuadrado. Denotemos a estas medidas por x 1 ,... , xn. Y denotemos por
μ = valor esperado de microvatios por cent´ımetro cuadrado
a) El contraste resuelto en la salida de R es el siguiente:
H 0 : μ ≤ 10 H 1 : μ > 10
Es decir, se est´a contrastando si la media de las medidas de radiaci´on en la zona cercana al transmisor es mayor que 10, el valor m´aximo permitido seg´un la ley. b) Las medidas de radiaci´on que se han observado son n, y podemos saber cu´antas son ya que al tratarse de un test t de Student con n − 1 grados de libertad, resulta que
n = g.l. + 1 = 19 + 1 = 20
Por lo tanto se han observado 20 medidas de radiaci´on.
t =
i=1 ti 5
= 33, 4 s^2 t =
i=1 t
2 i 5
− 33 , 42 = 23, 44 st =
s^2 t = 4, 8415
c =
i=1 ci 5
= 201, 4 s^2 c =
i=1 c 2 i 5
− 201 , 42 = 2321, 04 sc =
s^2 c = 48, 177
stc =
i=1 tici 5
− 33 , 4 × 201 ,4 = 226, 44
rtc =
4 , 8415 × 48 , 177
Dado que rtc=0.9708, un valor bastante cercano a 1, tiene sentido construir la recta de regresi´on.
b) Vamos ahora a calcular la recta de regresi´on. Los coeficientes de la recta de regresi´on son:
b =
stc s^2 t
a = c − bt = 201, 4 − 9 , 66 × 33 ,4 = − 121 , 244
Por tanto la recta ajustada es:
c ˆ = − 121 ,244 + 9, 66 t,
c) Para obtener la previsi´on de cerveza vendida en la cafeter´ıa un d´ıa en el que haya 35oC sustituiremos en la recta de regresi´on estimada el valor de t = 35, es decir:
ˆc = − 121 ,244 + 9, 66 × 35 = 216, 86 litros
